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習(xí)題五 5-1 振動(dòng)和波動(dòng)有什么區(qū)別和聯(lián)系?平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程有什么不同?又有什么聯(lián)系?振動(dòng)曲線和波形曲線有什么不同? 解: (1)振動(dòng)是指一個(gè)孤立的系統(tǒng)(也可是介質(zhì)中的一個(gè)質(zhì)元)在某固定平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時(shí)間的周期性函數(shù)，即可表示為；波動(dòng)是振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過程，此時(shí)介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動(dòng)，因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標(biāo)位置，又是時(shí)間的函數(shù)，即． (2)在諧振動(dòng)方程中只有一個(gè)獨(dú)立的變量時(shí)間，它描述的是介質(zhì)中一個(gè)質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律；平面諧波方程中有兩個(gè)獨(dú)立變量，即坐標(biāo)位置和時(shí)間，它描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標(biāo)和時(shí)間變化的規(guī)律． 當(dāng)諧波方程中的坐標(biāo)位置給定后，即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程，而波源持續(xù)不斷地振動(dòng)又是產(chǎn)生波動(dòng)的必要條件之一． (3)振動(dòng)曲線描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為，橫軸為；波動(dòng)曲線描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置，隨時(shí)間變化的規(guī)律，其縱軸為，橫軸為．每一幅圖只能給出某一時(shí)刻質(zhì)元的位移隨坐標(biāo)位置變化的規(guī)律，即只能給出某一時(shí)刻的波形圖，不同時(shí)刻的波動(dòng)曲線就是不同時(shí)刻的波形圖． 5-2 波動(dòng)方程=cos［()+］中的表示什么?如果改寫為=cos ()，又是什么意思?如果和均增加，但相應(yīng)的［()+］的值不變，由此能從波動(dòng)方程說明什么? 解: 波動(dòng)方程中的表示了介質(zhì)中坐標(biāo)位置為的質(zhì)元的振動(dòng)落后于原點(diǎn)的時(shí)間；則表示處質(zhì)元比原點(diǎn)落后的振動(dòng)位相；設(shè)時(shí)刻的波動(dòng)方程為 則時(shí)刻的波動(dòng)方程為 其表示在時(shí)刻，位置處的振動(dòng)狀態(tài)，經(jīng)過后傳播到處．所以在中，當(dāng)，均增加時(shí)，的值不會(huì)變化，而這正好說明了經(jīng)過時(shí)間，波形即向前傳播了的距離，說明描述的是一列行進(jìn)中的波，故謂之行波方程． 5-3 波在介質(zhì)中傳播時(shí)，為什么介質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能具有相同的位相，而彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能卻沒有這樣的特點(diǎn)? 解: 我們?cè)谟懻摬▌?dòng)能量時(shí)，實(shí)際上討論的是介質(zhì)中某個(gè)小體積元內(nèi)所有質(zhì)元的能量．波動(dòng)動(dòng)能當(dāng)然是指質(zhì)元振動(dòng)動(dòng)能，其與振動(dòng)速度平方成正比，波動(dòng)勢(shì)能則是指介質(zhì)的形變勢(shì)能．形變勢(shì)能由介質(zhì)的相對(duì)形變量(即應(yīng)變量)決定．如果取波動(dòng)方程為，則相對(duì)形變量(即應(yīng)變量)為.波動(dòng)勢(shì)能則是與的平方成正比．由波動(dòng)曲線圖(題5-3圖)可知，在波峰，波谷處，波動(dòng)動(dòng)能有極小(此處振動(dòng)速度為零)，而在該處的應(yīng)變也為極小(該處)，所以在波峰，波谷處波動(dòng)勢(shì)能也為極小；在平衡位置處波動(dòng)動(dòng)能為極大(該處振動(dòng)速度的極大)，而在該處的應(yīng)變也是最大(該處是曲線的拐點(diǎn))，當(dāng)然波動(dòng)勢(shì)能也為最大．這就說明了在介質(zhì)中波動(dòng)動(dòng)能與波動(dòng)勢(shì)能是同步變化的，即具有相同的量值． 題5-3圖 對(duì)于一個(gè)孤立的諧振動(dòng)系統(tǒng)，是一個(gè)孤立的保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，即振子的動(dòng)能與勢(shì)能之和保持為一個(gè)常數(shù)，而動(dòng)能與勢(shì)能在不斷地轉(zhuǎn)換，所以動(dòng)能和勢(shì)能不可能同步變化． 5-4 波動(dòng)方程中，坐標(biāo)軸原點(diǎn)是否一定要選在波源處? =0時(shí)刻是否一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻? 波動(dòng)方程寫成=cos()時(shí)，波源一定在坐標(biāo)原點(diǎn)處嗎?在什么前提下波動(dòng)方程才能寫成這種形式? 解: 由于坐標(biāo)原點(diǎn)和開始計(jì)時(shí)時(shí)刻的選全完取是一種主觀行為，所以在波動(dòng)方程中，坐標(biāo)原點(diǎn)不一定要選在波源處，同樣，的時(shí)刻也不一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻；當(dāng)波動(dòng)方程寫成時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)也不一定是選在波源所在處的．因?yàn)樵诖颂帉?duì)于波源的含義已做了拓展，即在寫波動(dòng)方程時(shí)，我們可以把介質(zhì)中某一已知點(diǎn)的振動(dòng)視為波源，只要把振動(dòng)方程為已知的點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn)，即可得題示的波動(dòng)方程． 5-5 在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長(zhǎng)上，描述各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的什么物理量不同，什么物理量相同? 解: 取駐波方程為，則可知，在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長(zhǎng)上，描述各質(zhì)點(diǎn)的振幅是不相同的，各質(zhì)點(diǎn)的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的，即振幅變化規(guī)律可表示為．而在這同一半波長(zhǎng)上，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相則是相同的，即以相鄰兩波節(jié)的介質(zhì)為一段，同一段介質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)都有相同的振動(dòng)位相，而相鄰兩段介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位相則相反． 5-6 波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)和觀察者向波源運(yùn)動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應(yīng)，這兩種情況有何區(qū)別? 解: 波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，波面將被擠壓，波在介質(zhì)中的波長(zhǎng)，將被壓縮變短，(如題5-6圖所示)，因而觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到的完整數(shù)目()會(huì)增多，所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，波面形狀不變，但觀察者測(cè)到的波速增大，即，因而單位時(shí)間內(nèi)通過觀察者完整波的數(shù)目也會(huì)增多，即接收頻率也將增高．簡(jiǎn)單地說，前者是通過壓縮波面(縮短波長(zhǎng))使頻率增高，后者則是觀察者的運(yùn)動(dòng)使得單位時(shí)間內(nèi)通過的波面數(shù)增加而升高頻率． 題5-6 圖多普勒效應(yīng) 5-7 一平面簡(jiǎn)諧波沿軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)=1.0 m，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率為=2. 0 Hz，振幅＝0.1m，且在=0時(shí)恰好通過平衡位置向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，求此平面波的波動(dòng)方程． 解: 由題知時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為，故知原點(diǎn)的振動(dòng)初相為,取波動(dòng)方程為則有 5-8 已知波源在原點(diǎn)的一列平面簡(jiǎn)諧波，波動(dòng)方程為=cos()，其中，，為正值恒量．求： (1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長(zhǎng)； (2)寫出傳播方向上距離波源為處一點(diǎn)的振動(dòng)方程； (3)任一時(shí)刻，在波的傳播方向上相距為的兩點(diǎn)的位相差． 解: (1)已知平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程 () 將上式與波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 比較，可知： 波振幅為，頻率， 波長(zhǎng)，波速， 波動(dòng)周期． (2)將代入波動(dòng)方程即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程 (3)因任一時(shí)刻同一波線上兩點(diǎn)之間的位相差為 將，及代入上式，即得 ． 5-9 沿繩子傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為=0.05cos(10)，式中,以米計(jì)，以秒計(jì)．求： (1)波的波速、頻率和波長(zhǎng)； (2)繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度； (3)求=0.2m處質(zhì)點(diǎn)在=1s時(shí)的位相，它是原點(diǎn)在哪一時(shí)刻的位相?這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在=1.25s時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)? 解: (1)將題給方程與標(biāo)準(zhǔn)式 相比，得振幅，頻率，波長(zhǎng)，波速． (2)繩上各點(diǎn)的最大振速，最大加速度分別為 (3)m處的振動(dòng)比原點(diǎn)落后的時(shí)間為 故,時(shí)的位相就是原點(diǎn)()，在時(shí)的位相， 即 π． 設(shè)這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在s時(shí)刻到達(dá)點(diǎn)，則 5-10 如題5-10圖是沿軸傳播的平面余弦波在時(shí)刻的波形曲線．(1)若波沿軸正向傳播，該時(shí)刻，，，各點(diǎn)的振動(dòng)位相是多少?(2)若波沿軸負(fù)向傳播，上述各點(diǎn)的振動(dòng) 位相又是多少? 解: (1)波沿軸正向傳播，則在時(shí)刻，有 題5-10圖 對(duì)于點(diǎn)：∵，∴ 對(duì)于點(diǎn)：∵，∴ 對(duì)于點(diǎn)：∵，∴ 對(duì)于點(diǎn)：∵，∴ (取負(fù)值：表示點(diǎn)位相，應(yīng)落后于點(diǎn)的位相) (2)波沿軸負(fù)向傳播，則在時(shí)刻，有 對(duì)于點(diǎn)：∵，∴ 對(duì)于點(diǎn)：∵，∴ 對(duì)于點(diǎn)：∵，∴ 對(duì)于點(diǎn)：∵，∴ (此處取正值表示點(diǎn)位相超前于點(diǎn)的位相) 5-11 一列平面余弦波沿軸正向傳播，波速為5ms-1，波長(zhǎng)為2m，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如題5-11圖所示． (1)寫出波動(dòng)方程； (2)作出=0時(shí)的波形圖及距離波源0.5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線． 解: (1)由題5-11(a)圖知，m，且時(shí)，，∴， 又，則 題5-11圖(a) 取 ， 則波動(dòng)方程為 (2) 時(shí)的波形如題5-11(b)圖 題5-11圖(b) 題5-11圖(c) 將m代入波動(dòng)方程，得該點(diǎn)處的振動(dòng)方程為 如題5-11(c)圖所示． 5-12 如題5-12圖所示，已知=0時(shí)和=0.5s時(shí)的波形曲線分別為圖中曲線(a)和(b) ，波沿軸正向傳播，試根據(jù)圖中繪出的條件求： (1)波動(dòng)方程； (2)點(diǎn)的振動(dòng)方程． 解: (1)由題5-12圖可知，，，又，時(shí)，，∴，而，，∴ 故波動(dòng)方程為 (2)將代入上式，即得點(diǎn)振動(dòng)方程為 題5-12圖 5-13 一列機(jī)械波沿軸正向傳播，=0時(shí)的波形如題5-13圖所示，已知波速為10 ms -1，波長(zhǎng)為2m，求： (1)波動(dòng)方程； (2) 點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線； (3) 點(diǎn)的坐標(biāo)； (4) 點(diǎn)回到平衡位置所需的最短時(shí)間． 解: 由題5-13圖可知，時(shí)，，∴，由題知， ，則 ∴ (1)波動(dòng)方程為 題5-13圖 (2)由圖知，時(shí)，，∴(點(diǎn)的位相應(yīng)落后于點(diǎn)，故取負(fù)值) ∴點(diǎn)振動(dòng)方程為 (3)∵ ∴解得 (4)根據(jù)(2)的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如題5-13圖(a)，則由點(diǎn)回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角 題5-13圖(a) ∴所屬最短時(shí)間為 5-14 如題5-14圖所示，有一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為=cos()． (1)分別就圖中給出的兩種坐標(biāo)寫出其波動(dòng)方程； (2)寫出距點(diǎn)距離為的點(diǎn)的振動(dòng)方程． 解: (1)如題5-14圖(a)，則波動(dòng)方程為 如圖(b)，則波動(dòng)方程為 題5-14圖 (2) 如題5-14圖(a)，則點(diǎn)的振動(dòng)方程為 如題5-14圖(b)，則點(diǎn)的振動(dòng)方程為 5-15 已知平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為(SI)． (1)寫出=4.2 s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)式，并求此時(shí)離原點(diǎn)最近一個(gè)波峰的位置，該波峰何時(shí)通過原點(diǎn)? (2)畫出=4.2 s時(shí)的波形曲線． 解:(1)波峰位置坐標(biāo)應(yīng)滿足 解得 (…) 所以離原點(diǎn)最近的波峰位置為． ∵ 故知, ∴ ，這就是說該波峰在前通過原點(diǎn)，那么從計(jì)時(shí)時(shí)刻算起，則應(yīng)是，即該波峰是在時(shí)通過原點(diǎn)的． 題5-15圖 (2)∵，∴，又處，時(shí)， 又，當(dāng)時(shí)，，則應(yīng)有 解得 ，故時(shí)的波形圖如題5-15圖所示 5-16 題5-16圖中(a)表示=0時(shí)刻的波形圖，(b)表示原點(diǎn)(=0)處質(zhì)元的振動(dòng)曲線，試求此波的波動(dòng)方程，并畫出=2m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線． 解: 由題5-16(b)圖所示振動(dòng)曲線可知,，且時(shí)，， 故知,再結(jié)合題5-16(a)圖所示波動(dòng)曲線可知，該列波沿軸負(fù)向傳播， 且，若取 題5-16圖 則波動(dòng)方程為 5-17 一平面余弦波，沿直徑為14cm的圓柱形管傳播，波的強(qiáng)度為18.010-3Jm-2s-1，頻率為300 Hz，波速為300ms-1，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)兩個(gè)相鄰?fù)嗝嬷g有多少波的能量? 解: (1)∵ ∴ (2) 5-18 如題5-18圖所示，和為兩相干波源，振幅均為，相距，較位相超前，求： (1) 外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度； (2) 外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度 解：（1）在外側(cè)，距離為的點(diǎn)，傳到該點(diǎn)引起的位相差為 （2）在外側(cè).距離為的點(diǎn)，傳到該點(diǎn)引起的位相差. 5-19 如題5-19圖所示，設(shè)點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為;點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為，本題中以m計(jì)，以s計(jì)．設(shè)＝0.4m，＝0.5 m，波速=0.2ms-1，求： (1)兩波傳到P點(diǎn)時(shí)的位相差； (2)當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向相同時(shí)，處合振動(dòng)的振幅； *(3)當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向互相垂直時(shí)，處合振動(dòng)的振幅． 解: (1) 題5-19圖 (2)點(diǎn)是相長(zhǎng)干涉，且振動(dòng)方向相同，所以 (3)若兩振動(dòng)方向垂直，又兩分振動(dòng)位相差為，這時(shí)合振動(dòng)軌跡是通過Ⅱ，Ⅳ象限的直線，所以合振幅為 5-20 一平面簡(jiǎn)諧波沿軸正向傳播，如題5-20圖所示．已知振幅為，頻率為波速為． (1)若=0時(shí)，原點(diǎn)處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運(yùn)動(dòng)，寫出此波的波動(dòng)方程； (2)若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等，試寫出反射波的波動(dòng)方程，并求軸上 因入射波與反射波干涉而靜止的各點(diǎn)的位置． 解: (1)∵時(shí)，，∴故波動(dòng)方程為 m 題5-20圖 (2)入射波傳到反射面時(shí)的振動(dòng)位相為(即將代入)，再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波損失，所以反射波在界面處的位相為 若仍以點(diǎn)為原點(diǎn)，則反射波在點(diǎn)處的位相為 ，因只考慮以內(nèi)的位相角，∴反射波在點(diǎn)的位相為，故反射波的波動(dòng)方程為 此時(shí)駐波方程為 故波節(jié)位置為 故 (…) 根據(jù)題意，只能取，即 5-20 一駐波方程為=0.02cos20cos750(SI)，求： (1)形成此駐波的兩列行波的振幅和波速； (2)相鄰兩波節(jié)間距離． 解: (1)取駐波方程為 故知 ，則， ∴ (2)∵所以相鄰兩波節(jié)間距離 5-22 在弦上傳播的橫波，它的波動(dòng)方程為=0.1cos(13+0.0079) (SI) 試寫出一個(gè)波動(dòng)方程，使它表示的波能與這列已知的橫波疊加形成駐波，并在=0處為波 節(jié)． 解: 為使合成駐波在處形成波節(jié)，則要反射波在處與入射波有的位相差，故反射波的波動(dòng)方程為 5-23 兩列波在一根很長(zhǎng)的細(xì)繩上傳播，它們的波動(dòng)方程分別為 =0.06cos()(SI), =0.06cos()(SI)． (1)試證明繩子將作駐波式振動(dòng)，并求波節(jié)、波腹的位置； (2)波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大? 解: (1)它們的合成波為 出現(xiàn)了變量的分離，符合駐波方程特征，故繩子在作駐波振動(dòng)． 令，則，k=0,1，2…此即波腹的位置； 令,則，…，此即波節(jié)的位置． (2)波腹處振幅最大，即為m；處的振幅由下式?jīng)Q定，即 5-24 汽車駛過車站時(shí)，車站上的觀測(cè)者測(cè)得汽笛聲頻率由1200Hz變到了1000 Hz，設(shè)空氣中聲速為330ms-1，求汽車的速率． 解: 設(shè)汽車的速度為，汽車在駛近車站時(shí)，車站收到的頻率為 汽車駛離車站時(shí)，車站收到的頻率為 聯(lián)立以上兩式，得 5-25 兩列火車分別以72kmh-1和54 kmh-1的速度相向而行，第一列火車發(fā)出一個(gè)600 Hz的汽笛聲，若聲速為340 ms-1，求第二列火車上的觀測(cè)者聽見該聲音的頻率在相遇前和相遇后分別是多少? 解: 設(shè)鳴笛火車的車速為，接收鳴笛的火車車速為，則兩者相遇前收到的頻率為 兩車相遇之后收到的頻率為