2019年高考試題真題1數(shù)學(xué)理（北京卷）解析版[高考復(fù)習(xí)]
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絕密★啟用前 2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù) 學(xué)（理）（北京卷） 本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1.已知復(fù)數(shù)z=2+i，則 A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即得. 【詳解】∵ 故選D. 【點(diǎn)睛】本容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查. 2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)程序框圖中的條件逐次運(yùn)算即可. 【詳解】運(yùn)行第一次， ， ， 運(yùn)行第二次， ， ， 運(yùn)行第三次， ， ， 結(jié)束循環(huán)，輸出 ，故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查. 3.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點(diǎn)（1,0）到直線l的距離是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求解距離即可. 【詳解】直線的普通方程為,即,點(diǎn)到直線的距離,故選D. 【點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線的距離,屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查. 4.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則 A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b 【答案】B 【解析】 【分析】 由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式. 【詳解】橢圓的離心率,化簡(jiǎn)得, 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查. 5.若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值為 A. ?7 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其最值即可. 【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示. 設(shè), 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最大值5.故選C. 【點(diǎn)睛】本題是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的基本題型,根據(jù)“畫?移?解”等步驟可得解.題目難度不大題,注重了基礎(chǔ)知識(shí)?基本技能的考查. 6.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為m1的星的亮度為E2（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出，然后將對(duì)數(shù)式換為指數(shù)式求再求 【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足 , 令 ， ， ， ， 故選D. 【點(diǎn)睛】考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算. 7.設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】 【分析】 由題意結(jié)合向量的減法公式和向量的運(yùn)算法則考查充分性和必要性是否成立即可. 【詳解】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴ |+|>|||+|>|-| |+|2>|-|2?>0與 的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C. 【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的模?夾角與數(shù)量積,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想. 8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論： ①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）； ②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)； ③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3. 其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】 將所給方程進(jìn)行等價(jià)變形確定x的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個(gè)數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍，利用圖形的對(duì)稱性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍. 詳解】由得,,, 所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(guò)(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確. 由得,,解得,所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò). 結(jié)論②正確. 如圖所示,易知, 四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說(shuō)法③錯(cuò)誤. 故選C. 【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程?曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用,屬于難題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力考查,滲透“美育思想”. 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 9.函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】 將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可. 【詳解】函數(shù),周期為 【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題. 10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________． 【答案】 (1). 0. (2). -10. 【解析】 【分析】 首先確定公差,然后由通項(xiàng)公式可得的值，進(jìn)一步研究數(shù)列中正項(xiàng)?負(fù)項(xiàng)的變化規(guī)律,得到和的最小值. 【詳解】等差數(shù)列中,,得,公差,, 由等差數(shù)列的性質(zhì)得時(shí),,時(shí),大于0,所以的最小值為或,即為. 【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?求和公式?等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識(shí)?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查. 11.某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為__________． 【答案】40. 【解析】 【分析】 畫出三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體，應(yīng)用割補(bǔ)法求幾何體的體積. 【詳解】在正方體中還原該幾何體，如圖所示 幾何體的體積V=43-（2+4）24=40 【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)有二，一是不能正確還原幾何體；二是計(jì)算體積有誤.為避免出錯(cuò)，應(yīng)注重多觀察、細(xì)心算. 12.已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________． 【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m. 【解析】 【分析】 將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析. 【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題： （1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m. 正確； （2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.不正確，有可能m在平面α內(nèi)； （3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α. 【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力. 13.設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________． 【答案】 (1). -1; (2). . 【解析】 【分析】 首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)的解析式可得a的取值范圍. 【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù),則， 對(duì)任意的恒成立. 若函數(shù)是上的增函數(shù),則恒成立,. 即實(shí)數(shù)的取值范圍是 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調(diào)性?利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過(guò)程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題.注重重點(diǎn)知識(shí)?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查. 14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%． ①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________． 【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 【分析】 （1）將購(gòu)買的草莓和西瓜加錢與120進(jìn)行比較，再根據(jù)促銷規(guī)則可的結(jié)果； （2）根據(jù)、分別探究. 【詳解】（1）x=10，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130元. （2）設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為y元， 元時(shí)，李明得到的金額為y80%，符合要求. 元時(shí)，有（y-x）80%≥y70%成立， 即8（y-x）≥7y，x≤，即x≤（）min=15元. 所以x的最大值為15. 【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力，有一定難度. 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。 15.在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B–C）的值． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值； (Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值. 【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：. (Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：， 結(jié)合正弦定理可得：， 很明顯角C為銳角，故， 故. 【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 16.如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且． （Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值； （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由． 【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析； (Ⅱ) ； (Ⅲ)見(jiàn)解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論； (Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值； (Ⅲ)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi). 【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD， 由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A， 由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD. (Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 易知：， 由可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為， 由可得， 設(shè)平面AEF的法向量為：，則 ， 據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：， 很明顯平面AEP的一個(gè)法向量為， ， 二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為. (Ⅲ)易知，由可得， 則， 注意到平面AEF的一個(gè)法向量為：， 其且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi). 17.改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下： 交付金額（元） 支付方式 （0,1000] （1000,2000] 大于2000 僅使用A 18人 9人 3人 僅使用B 10人 14人 1人 （Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率； （Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)見(jiàn)解析； (Ⅲ)見(jiàn)解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意利用古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值； (Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可. (Ⅲ)由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可. 【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則： 該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率. (Ⅱ)由題意可知， 僅使用A支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占， 僅使用B支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占， 且X可能的取值為0,1,2. ，，， X分布列為： X 0 1 2 其數(shù)學(xué)期望：. (Ⅲ)我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下： 隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率。 學(xué)校是一個(gè)相對(duì)消費(fèi)穩(wěn)定的地方，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況每個(gè)月的消費(fèi)應(yīng)該相對(duì)固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”. 【點(diǎn)睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來(lái)設(shè)置問(wèn)題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān). 18.已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，?1）． （Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程； （Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)． 【答案】(Ⅰ) ，； (Ⅱ)見(jiàn)解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程； (Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論. 【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：， 故拋物線方程：，其準(zhǔn)線方程為：. (Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：. 故：. 設(shè)，則， 直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得， 易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：， 且：，， 則圓的方程為：， 令整理可得：，解得：， 即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn). 【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 19.已知函數(shù). （Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：； （Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值． 【答案】（Ⅰ）和. （Ⅱ）見(jiàn)解析； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程； (Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結(jié)論； (Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論分類討論即可求得a的值. 【詳解】（Ⅰ），令得或者. 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即； 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即； 綜上可得所求切線方程為和. （Ⅱ）設(shè)，，令得或者，所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)； 而，所以，即； 同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得. （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 所以是中的較大者， 若，即時(shí)，； 若，即時(shí)，； 所以當(dāng)最小時(shí)，，此時(shí). 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 20.已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)(i1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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