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______________________________________________________________________________________________________________ 眼科病床的合理安排 摘要 本文是關(guān)于某醫(yī)院眼科門診對不同病人類型的病床分配問題的研究。在充分理解題意的基礎(chǔ)上，我們提出了合理的假設(shè)。通過對問題的深入分析，我們將本題歸結(jié)為排隊論問題，但由于本問題的限制條件有星期對手術(shù)安排的影響，比較特殊，所以我們區(qū)別于一般的排隊論模型，建立了基于排隊論FCFS的改進(jìn)模型。 問題一是關(guān)于評價指標(biāo)的確定。我們查閱了與排隊論相關(guān)的資料，并結(jié)合題意，得到了適用于本題的評價指標(biāo)體系，包括病人等待及逗留時間、等待隊長、系統(tǒng)繁忙概率、病人等待概率等指標(biāo)。 對于問題二。我們仔細(xì)分析了題中給出的病人出入院時間，得到：隊長其實一直處于動態(tài)穩(wěn)定的過程當(dāng)中，但如果醫(yī)院一開始就按照FCFS的原則進(jìn)行安排，則不會有雖平衡長達(dá)100人左右的等待隊長，而且病人普遍等待時間過長（平均約有16天）。對病人來說，只要等待和逗留時間短，滿意度依然是高的，同時會減少等待隊長。所以我們建立了目標(biāo)為降低病人等待和逗留時間的優(yōu)化模型，并用mathematic5.0編程用優(yōu)化模型，不僅可以根據(jù)當(dāng)前情況對第二天入院病人作出安排，還對2008-7-13至2008-9-11間入院并出院的病人進(jìn)行計算，得到結(jié)果比醫(yī)院的原方案共節(jié)省961天，平均每人節(jié)省2-3天，優(yōu)化程度較大。 問題三為提前預(yù)計允許服務(wù)的任務(wù)。在問題二的基礎(chǔ)上，我們只要對用優(yōu)化模型已經(jīng)求出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類統(tǒng)計，并根據(jù)不同情況作出頻數(shù)圖，即可根據(jù)當(dāng)前情況為各種病人提供大致可入院的時間。 問題四為根據(jù)增加的限制條件討論安排方案是否變化的任務(wù)。我們在問題二的基礎(chǔ)上增加了周六周日不手術(shù)的限制，結(jié)果表明手術(shù)安排方案不必調(diào)整。 問題五為求最優(yōu)方案的模型。此問我們建立優(yōu)化模型的等待時間盡量少的目標(biāo)函數(shù)和限制條件，用lingo求解，但是結(jié)果顯示無適合解，這說明，如果要分配每類病人的床位數(shù)而使等待時間最少，需要增加少量床位（至少3張）。 最后，在評價模型的基礎(chǔ)上，我們又提出了兩個分別對問題二、五的改進(jìn)模型和兩個分別對問題二、三的改進(jìn)方向。為了更方便地根據(jù)對二問的安排，我們建立了一個對等待中病人的入院優(yōu)先級進(jìn)行打分的模型，根據(jù)不同類的病人，分星期對入院的影響和等待時間的長短進(jìn)行打分，其中由于星期對白內(nèi)障入院影響較大，其分?jǐn)?shù)的權(quán)值也會隨之改變，而星期對其他的病人的優(yōu)先級分?jǐn)?shù)則無貢獻(xiàn)，另保證了外傷病人優(yōu)先級最高。最后只要對排隊中的病人進(jìn)行打分并降序排列，取前次日出院人數(shù)的病人安排入住。對問題五的改進(jìn)中，我們計算了增加3張到10張的床位，分別求得各床位數(shù)量的具體情況，用問題一的體系進(jìn)行評價，得到交友解為增加3張，分配給白內(nèi)障、青光眼、視網(wǎng)膜疾病和外傷（應(yīng)急需要，故也設(shè)置）分別有23張、15張、42張、2張，比例分別約為28%、19%、51%、2%。對問題二改進(jìn)方向上，我們提出了一種圖解的思路，用極坐標(biāo)直觀方便地可解得所需解。對問題三的改進(jìn)方向上，可以用蒙特卡洛法模擬近期在院病人的出院情況，從而更有針對性，更有效地預(yù)測病人可入院時間。 關(guān)鍵詞：眼科門診；床位安排； 排隊論； 優(yōu)先級； 計算機模擬 1. 問題重述 某醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。各類手術(shù)的相關(guān)情況如下： 白內(nèi)障手術(shù)較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術(shù)。 其他眼科疾病比較復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時間較長。這類疾病手術(shù)時間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。 該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First come, First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學(xué)建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。各類病人的情況(2008年7月13日至2008年9月11日)見原題。 現(xiàn)有以下問題： 問題一：試分析確定合理的評價指標(biāo)體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。 問題二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標(biāo)體系作出評價。 問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據(jù)當(dāng)時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術(shù)時間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整? 問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。 2. 模型假設(shè) 1. 問題開始時的隊長為0； 2. 看過門診的病人全部需要手術(shù)，而且不會因為等待時間過長而放棄手術(shù)； 3. 每個病人的住院天數(shù)從入院當(dāng)天的時候開始計算，到出院的前一天為止(不含出院當(dāng)天)。即前一個病人出院當(dāng)天病床可以接納新的病人。 3. 符號說明 符號 說明 S 病床數(shù) R 平均每天就診病人數(shù) T 平均住院時間 Pwait 病人等待的概率 病人平均等待時間 系統(tǒng)平均等待隊長 顧客平均逗留時間 系統(tǒng)平均隊長 眼病類型為i的病人所占的病床數(shù) t 日期代號(以2008-7-13為0) 第t天患者入院前空床位數(shù) 優(yōu)先級分?jǐn)?shù) 病人類型號說明： 1-單眼白內(nèi)障；2-雙眼白內(nèi)障；3-青光眼；4-視網(wǎng)膜疾??；5-外傷。 其余的符號在文中另外說明。 4. 問題的分析 根據(jù)題意可以得到該眼科醫(yī)院的手術(shù)安排管理的原則，且這些原則是不能改變的： 表1：手術(shù)安排管理原則 時間安排原則 術(shù)前準(zhǔn)備 術(shù)后觀察 備注 白內(nèi)障 周一或周三 1-2天 不定 白內(nèi)障(雙眼) 周一一只 周三另只 2-3天 3，4天 視網(wǎng)膜疾病 非周一、三 2-3天 較長 青光眼 非周一、三 較長 外傷 入院第二天 較長 若有病床，馬上入院 在數(shù)據(jù)處理上，由于日期的計算比較麻煩，而且在問題中有星期的約束，為方便計算，我們首先在數(shù)據(jù)處理時將日期改為編號，即以2008-7-13(星期日)開始為第0天，到2008-9-11（星期四）為止為第60天。 在數(shù)據(jù)采信上，由于第一天門診有以外傷，其第二天才入院，而根據(jù)題意，對待外傷的入院時間安排是如有病床，馬上入院，所以明顯地，一開始病床使用率已為100%。根據(jù)根據(jù)統(tǒng)計情況的圖一(每天出入院人數(shù)與隊長大小變化)所示，之前一段時間出入院的人數(shù)為零或很小，且入院人數(shù)總是大于出院人數(shù)，而隊長一開始增長速度極快，到第11天左右才達(dá)到平衡點，而之后的隊長數(shù)量則沒有上升，一直維持動態(tài)平衡(統(tǒng)計數(shù)據(jù)間附錄1)。究其原因，是因為一開始病床全滿，而這部分病人的出院沒有計算在內(nèi)，并且一開始并未入院的病人在這期間內(nèi)也入院并做好了手術(shù)，所以這使前10天的隊長沒有可信度，我們考慮將其忽略。 4.1. 問題一 這個問題屬于排隊論問題，對于一般的排隊問題，主要的指標(biāo)有：隊長、等待時間、忙期等；一般問題的具體指標(biāo)如下： 1) 系統(tǒng)中的顧客數(shù)(包括正在接受服務(wù)的顧客數(shù)目)的平均值； 2) 在隊列中等待服務(wù)的顧客數(shù)的平均值(不包括正在接受服務(wù)的顧客數(shù)目)； 3) 平均一顧客在系統(tǒng)中停留的時間(包括服務(wù)時間)； 4) 平均一顧客停留在列隊中的時間(不包括服務(wù)時間)； 5) 顧客到達(dá)系統(tǒng)平均速度-顧客到達(dá)系統(tǒng)間隔時間的均值； 6) 系統(tǒng)中服務(wù)臺的服務(wù)速度-服務(wù)臺對每一顧客服務(wù)時間的均值； 7) 系統(tǒng)忙期。 對于這個問題所需采用的指標(biāo)將在模型建立中作具體分析。 而根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到，病床使用率一直都是100%滿負(fù)荷，這樣病床的使用率已經(jīng)達(dá)到最大，似乎沒有提高效率的余地。然而比較住院的各段時間可以得到：在手術(shù)間期、術(shù)后觀察兩段時間上，醫(yī)院都是根據(jù)原則并結(jié)合各病人的情況安排時間的，沒有減少的空間；而在術(shù)前準(zhǔn)備上，青光眼、視網(wǎng)膜疾病和外傷三種病人的時間全部滿足要求(2-3天)，但是對于白內(nèi)障，尤其是雙眼白內(nèi)障的病人的準(zhǔn)備時間大多都過長，有的甚至達(dá)到7天，算上等待時間，白內(nèi)障病人在醫(yī)院的逗留時間甚至達(dá)到了十多天，根據(jù)題意要求的準(zhǔn)備時間只需要1-2天，其多余的天數(shù)對醫(yī)院來說相當(dāng)于空置，沒有充分利用，而且對病人也只是多付住院費用，使其對醫(yī)院的滿意度下降。計算減去這些多余天數(shù)，得到可能的最大有效床位使用率為94.13%，可能的最小有效床位使用率為90.54%(算法說明：在計算中，排除白內(nèi)障及雙眼準(zhǔn)備時間為1天或2天的病人，其他病人以1天為準(zhǔn)備時間的算為可能的最小值，以2天的算為可能的最大值)。 病人受到醫(yī)院服務(wù)的排隊論問題圖示如下： 接著，我們根據(jù)對隊長的分析，可以明顯的看出在數(shù)據(jù)可信的情況下，我們所求得的隊長是相對穩(wěn)定的，達(dá)到了一個動態(tài)平衡。所以在79張病床這個約束條件下，要想縮短隊長是不可能，所以我們對模型的優(yōu)化只能從其他方面入手。比如減少病人的平均等待時間，提高病人對醫(yī)院的滿意度等。 4.2. 問題二 在設(shè)置模型的過程中，由于其他病人都是按照排隊的原則進(jìn)行的，而外傷的病人則無需排隊時間，如圖2(不同病人的等待時間)可以看出：所有的外傷在門診的第二天就入院，而其他四種情況的病人都比較高，并且在同一水平附近呈動態(tài)平衡。所以在建立模型時，我們將問題分成兩部分，在排隊論里，外傷病人屬于優(yōu)先服務(wù)，而醫(yī)院對其他病人采取的為先到先服務(wù)，所以將兩類病人分開，即白內(nèi)障、白內(nèi)障雙眼、青光眼、視網(wǎng)膜疾病為一部分，外傷為單獨的另一部分。 4.3. 問題三 病人希望盡早知道自己的住院時間?，F(xiàn)在我們要根據(jù)當(dāng)時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。我們可以通過已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)算出５類病人（單眼白內(nèi)障和雙眼白內(nèi)障分別算兩類）的平均康復(fù)時間，再由波動的時間范圍，取出隨機天數(shù)的區(qū)間，產(chǎn)生隨機數(shù)分別對每天出院的人數(shù)進(jìn)行預(yù)測，即可以預(yù)測病人大致入住醫(yī)院的區(qū)間了。 4.4. 問題四 周末不能做手術(shù)，但是可以看門診，對已經(jīng)住院的病人也可以進(jìn)行手術(shù)準(zhǔn)備，所以得到以下規(guī)定： 1) 雙眼白內(nèi)障病人和單眼白內(nèi)障病人約束條件不變，因為手術(shù)時間都在周一或者周三，所以沒有影響。 2) 對于外傷病人，周四周五看門診的病人，周五周六都不能動手術(shù)，但是考慮到時外傷，我們讓病人先住進(jìn)醫(yī)院，而手術(shù)全部推遲到周一。 3) 對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病的病人，因為他們的手術(shù)準(zhǔn)備時間在2~3天，我們假設(shè)為2天。且不在周一和周三動手術(shù)，周末也不行，所以能做手術(shù)時間為2，4，5可能入院的時間就在6，1，2。 4.5. 問題五 為了便于管理醫(yī)院病床安排采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案。我們通過對第一階段的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，因為白內(nèi)障病的治療時間是比較固定的，所以在治療的高峰時間段里占用病床的白內(nèi)障病人就會相對較多。類似地，在其他時間里白內(nèi)障病人相對較少，而其他病人人數(shù)較多，如果不改變治療順序的策略，僅僅對病床進(jìn)行相對固定的比例分配。管理變得方便了，但是病床的使用率會降低，對醫(yī)院的效率有較大的影響。我們建立一個模型，求得使得比例大致固定時的最短逗留時間。 5. 模型的建立與求解 5.1. 問題一 根據(jù)問題一的分析，以天為時間單位，如果不加任何約束，只按FCFS(First come, First serve)規(guī)則安排住院，為簡化模型假設(shè)患者到達(dá)過程為Poisson流，根據(jù)已給的數(shù)據(jù)平均每天有7人到達(dá)，住院時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要9.002865天。 設(shè)s:病床數(shù)；R：平均每天就診病人數(shù)；T：平均住院時間；load：系統(tǒng)到達(dá)負(fù)荷；Ls：系統(tǒng)平均隊長；Lq：系統(tǒng)平均等待隊長；Ws：顧客平均逗留時間；Wq：顧客平均等待時間; Pwait：系統(tǒng)繁忙概率。 我們通過分析已有的數(shù)據(jù)，求得基本的數(shù)據(jù)，然后通過編程求解出模型指標(biāo)的值，用它來判斷模型的好壞。(lingo軟件編程求解程序見附錄2) 5.2. 問題二 對于模型的建立，有以下限制條件： 1) 根據(jù)題意和問題的分析，得到： 表2：整理后的入院時間安排原則 病人種類 入院時間可能 時間安排原則 術(shù)前準(zhǔn)備 備注 白內(nèi)障 周六到周二 周一或周三 1-2天 白內(nèi)障 (雙眼) 周六、周日 周一一只 周三另只 1-2天 視網(wǎng)膜疾病 非周一、三 2-3天 青光眼 非周一、三 外傷 入院第二天 若有病床，馬上入院 2) 數(shù)據(jù)處理方法： 由于安排方案將會進(jìn)行調(diào)整，所以所有病人的入院時間都要根據(jù)診斷之后的術(shù)前準(zhǔn)備重新計算。 對于原已出院的病人（見第一組數(shù)據(jù)），如果其中術(shù)前準(zhǔn)備時間不符合上表要求，對其準(zhǔn)備時間重新賦值，對其賦值按60%為2天，40%為1天(因為60%的白內(nèi)障為雙眼)進(jìn)行MonteCarlo模擬；若術(shù)前準(zhǔn)備時間符合上表要求，則不對術(shù)前準(zhǔn)備時間重新賦值。另外術(shù)后觀察時間為原來的數(shù)據(jù)。 對于原入院但沒有出院的病人（見第二組數(shù)據(jù)），對術(shù)前準(zhǔn)備時間處理方法同上，而術(shù)后觀察時間根據(jù)比例進(jìn)行MonteCarlo模擬。 對于已門診但沒有入院的病人（見第三組數(shù)據(jù)），除了雙眼白內(nèi)障的手術(shù)準(zhǔn)備期為定值2以外，其他時間段長度均用MonteCarlo模擬。 模擬計算之后重新計算各指標(biāo)，比較新方案較原方案的合理程度。 表3：白內(nèi)障MonteCarlo模擬時所使用的概率 白內(nèi)障 術(shù)前準(zhǔn)備(天) 術(shù)后觀察(天) 1天 2天 2天 3天 4天 概率 40% 60% 30% 50% 20% 表4：雙眼白內(nèi)障MonteCarlo模擬時所使用的概率 白內(nèi)障 (雙眼) 術(shù)前準(zhǔn)備(天) 術(shù)后觀察(天) 1 2 2 3 4 概率 40% 60% 20% 65% 15% 表5：青光眼MonteCarlo模擬時所使用的概率 青光眼 術(shù)前準(zhǔn)備(天) 術(shù)后觀察(天數(shù)) 2 3 滿足正態(tài)分布 (范圍：4-12；方程按正態(tài)分布擬合得到) 概率 59% 41% 表6：視網(wǎng)膜疾病MonteCarlo模擬時所使用的概率 視網(wǎng)膜 疾病 術(shù)前準(zhǔn)備(天) 術(shù)后觀察(天) 2 3 滿足正態(tài)分布 (范圍：5-15；方程按正態(tài)分布擬合得到) 概率 62% 38% 表7：外傷MonteCarlo模擬時所使用的概率 外傷 術(shù)后觀察(天數(shù)) 概率 滿足正態(tài)分布 (范圍：5-15；方程按正態(tài)分布擬合得到) 用計算機模擬的結(jié)果見附錄2。 建立模型時，為避免從入院到手術(shù)時間過長的情況，我們將醫(yī)院安排的”FCFS”原則作略微的變動：先來的病人先安排，即”FCFP”(First come,First plan)。另外外傷在原日期數(shù)據(jù)中全部是第二天入院，今除非第二天沒出院的病人而延期至后天，否則仍保留盡早安排外傷病人的原則；如果有些病人安排入院時，如白內(nèi)障病人安排在周六、周日，而當(dāng)天沒有出院病人，則將提安排在前一天(周五、周六)，到最好修正為從之前有空床的時候開始一直到周六空置該病床。 假設(shè)第二天有個人出院，前一天有個人入院，則第二天的空床位數(shù) 首先對外傷患者進(jìn)行處理，將門診時間在k天以前且沒有入院的外傷患者按門診時間進(jìn)行排序，開始搜索，若則安排其入院，同時，如此繼續(xù)下去，直至外傷患者處理完。 然后對白內(nèi)障雙眼患者進(jìn)行處理，將門診時間在k天以前且沒有入院的白內(nèi)障雙眼患者按門診時間進(jìn)行排序，開始搜索，若同時滿足以下條件： 1） 2）t除7的余數(shù)為6，即當(dāng)天為周六 則安排其入院，同時，如此繼續(xù)下去，直至白內(nèi)障雙眼患者處理完。 再對白內(nèi)障單眼患者進(jìn)行處理，將門診時間在t天以前且沒有入院的白內(nèi)障單眼患者按門診時間進(jìn)行排序，開始搜索，若同時滿足以下條件： 1） 2）t除7的余數(shù)為6或1，即當(dāng)天為周六或周一 則安排其入院，同時，如此繼續(xù)下去，直至白內(nèi)障單眼患者處理完。 最后對患者進(jìn)行處理，將門診時間在t天以前且沒有入院的青光眼和視網(wǎng)膜疾病患者按門診時間進(jìn)行排序，開始搜索，若同時滿足以下條件： 1) 2) t除7的余數(shù)不為5或0，即當(dāng)天不為周五或周日 則安排其入院，同時，如此繼續(xù)下去，直至青光眼和視網(wǎng)膜疾病患者處理完。 模型的解我們通過Mathematica編程求得(程序見附錄3)，流程圖如下：(編程中用符號k代替符號t) 圖3 問題二的程序流程圖 5.3. 問題三 根據(jù)問題二中的算法求得的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見附錄2）用MATLAB畫得等待入院時間頻數(shù)圖。最終根據(jù)統(tǒng)計頻數(shù)圖可以求得患者允許入院的等待天數(shù)。 按1~5類病人平均康復(fù)時間(統(tǒng)一按第一次手術(shù)時間至出院時間計算)可以得出分別為3,5,8,10,6天,然后按在前后2~3天的波動,分別取隨機天數(shù)的區(qū)間如下： [1,3],[3,7],[6,10],[7,13],[4,8],通過產(chǎn)生隨機數(shù)對每天出院人數(shù)進(jìn)行預(yù)測,從而進(jìn)一步預(yù)測病人大致入住的區(qū)間?，F(xiàn)在通過mathematica軟件編程實現(xiàn)，得到數(shù)據(jù)見附錄6。 5.4. 問題四 由于第二問中的程序要將模型進(jìn)行優(yōu)化，加入了一些約束條件。而現(xiàn)在我們規(guī)定在周末不做手術(shù)，所以，我們只需根據(jù)第二問的程序，在里面更改一些約束條件即得解。其中原定的優(yōu)先級順序并不改變，周末不做手術(shù)的約束條件對單雙眼白內(nèi)障病人是沒有影響的。而在確定外傷病人優(yōu)先的順序時需要加入新的約束條件，要除去周末不能做手術(shù)的情況；青光眼和視網(wǎng)膜疾病的處理方法相同，只是約束條件有點差別，他們要除去周末和周一周三不能做手術(shù)，所以入院時間就相對固定一些了。 具體要增加的表達(dá)式如下： 1) 對于外傷病人，采取讓病人先住進(jìn)來，在能夠進(jìn)行手術(shù)的時候就開始手術(shù)。當(dāng)日期與7的余數(shù)為5或者6時，手術(shù)時間x[i,3]=入院時間x[i,4]+7+1-日期k除以7的余數(shù)； 2) 對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病的病人，加上約束條件：日期k除以7的余數(shù)不等于4或5。 5.5. 問題五 經(jīng)分析可得：題中給出的方案的方案到后期隊長大小維持可動態(tài)平衡，唯一的缺點是隊長基數(shù)大，導(dǎo)致等待時間較長。而二三問中的優(yōu)化模型所優(yōu)化的對象是等待時間，故可以使用原數(shù)據(jù)為模型所解。 即設(shè)變量S(i)為眼病代碼為i的病人分配得到的床位數(shù)，則有。 題中說明的目標(biāo)函數(shù)是平均等待及治療時間盡量少，式子中R(i)為平均每天眼病代碼為i的病人就診人數(shù)，W_s(i)為眼病代碼為i的病人平均逗留時間，則目標(biāo)函數(shù)為： 而，而R(i)、T(i)均為已知，用lingo編程即可求解(程序見)。 6. 結(jié)果分析 6.1. 問題一 用lingo軟件編程求解得： 系統(tǒng)平均隊長：Ls=63.15360 系統(tǒng)平均等待隊長：Lq=0.1335493 顧客平均逗留時間：Ws=9.021943 顧客平均等待時間：Wq=0.01907847 系統(tǒng)繁忙概率：Pwait=0.03386399 從各項指標(biāo)中不難看出，系統(tǒng)平均隊長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)平均等待隊長，這說明等待手術(shù)的隊長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于等待入院的隊長。從患者平均逗留時間和等待時間也可以看出以上問題，這與之前的問題分析相吻合，醫(yī)院要提高病床的使用效率就要減少患者在住院期間不必要的逗留，即減少不必要的手術(shù)準(zhǔn)備時間，如果某一患者錯過了某一天的手術(shù)時間那么應(yīng)該推遲入院時間，留出空的病床給其他患者。系統(tǒng)的繁忙概率很低，說明病床服務(wù)系統(tǒng)的效率很低。 6.2. 問題二 從Mathematica編程求得的解(詳見附錄4)中不難看出，以我們的方案安排患者入院與原方案相比，可以總共節(jié)省961天，平均每人可以節(jié)省2天多，對原方案的優(yōu)化程度較大。 6.3. 問題三 圖4 等待入院時間頻數(shù)圖 分析等待入院時間圖，得出白內(nèi)障、白內(nèi)障雙眼患者在門診后的12到13天內(nèi)就能入院，青光眼、視網(wǎng)膜疾病患者要么在門診當(dāng)天入院，要么在門診后的5到7天內(nèi)就能入院，外傷患者基本上在門診當(dāng)天就能入院。 6.4. 問題四 見附錄7，列出了在該條件下病人出入醫(yī)院的情況，并用mathematic5.0（程序見附錄7）計算出了病人在醫(yī)院的等待時間、住院天數(shù)和總的逗留時間（數(shù)據(jù)見附錄8）。通過計算和比較可得 表8：mathematic5.0對問題四的求解結(jié)果 住院天數(shù) 逗留時間 總和 平均數(shù) 總和 平均數(shù) 修改前 3142 9.00286533 6880 19.71347 修改后 2933 8.404011461 6762 19.37536 差 209 0.598853868 118 0.338109 總的住院天數(shù)減少了209天，總逗留時間減少了118天。平均每人在醫(yī)院的等待時間久減少了0.338109天！這樣大大提高了病人的等待時間，也就是提高了醫(yī)院的效率。 而從變量Bed的數(shù)據(jù)： {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,40,2,6,7,10,6,2,5,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}可以看出，病床現(xiàn)在可以空出來很多，周末不安排手術(shù)可能會使部分病人的等待時間增加到很長，但是可以看到，到2008-09-11時空出來了很多病床，這也說明醫(yī)院的效率大大提高了。 通過比較問題二和問題四的答案，發(fā)現(xiàn)問題四的等待時間比問題二中的時間短，但是實際上問題四中在周末不能做手術(shù)，約束條件增加了，效率應(yīng)該下降才對的。然而現(xiàn)在的結(jié)果是效率反升不降。其實這是因為我們在處理數(shù)據(jù)的時候?qū)㈦p眼白內(nèi)障的病人住院時間往后推了很多，在調(diào)整的初期階段等待時間當(dāng)然是要變長的，但是隨著時間往后推移，空出來的病床會增多，從而使得整體的住院時間變短?？傊畯恼w上還是提高了醫(yī)院體系的效率。 6.5. 問題五 用lingo11.0在主頻為1.80GHz，內(nèi)存為512MB的計算機上計算(程序見附錄9)，結(jié)果(數(shù)據(jù)見附錄10)顯示外傷病床數(shù)為零，這顯然是不合理的，而且有時導(dǎo)致系統(tǒng)剩余量為負(fù)，這說明病床數(shù)不夠，需要增加，簡單計算的至少需要82張病床才能滿足要求，在改進(jìn)中進(jìn)行具體計算。 7. 模型評價 7.1. 模型優(yōu)點 問題一中我們應(yīng)用了排隊論模型；問題二中我們建立了自己的算法通過Mathematica編程求得了較優(yōu)的病床安排方案，用問題一中的指標(biāo)去衡量問題二中求得的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)以問題二中的方案安排病床將節(jié)省大量的等待時間；問題三我們簡化了模型，通過每類眼病患者的等待入院時間頻數(shù)圖確定每類病人大致需要等待幾天才能入院，從而大致確定患者入住時間區(qū)間，可以有效減少不必要的計算。 對問題二理解并深入，從建立模型、改進(jìn)模型，到最后改進(jìn)方向，從常規(guī)方法到圖解方法，做得比較全面。 7.2. 模型缺點 問題一中缺乏一定的衡量標(biāo)準(zhǔn)；問題二中求得的只是較優(yōu)解，可能存在更好的解；問題三只能預(yù)測一部分人，總有患者的入院時間安排是例外的；問題四是建立在問題二的基礎(chǔ)上的，因此與問題二有相同的缺點。 8. 模型改進(jìn)及推廣 8.1. 模型改進(jìn)方案 問題二： 為了便于根據(jù)第二天由于部分病人出院產(chǎn)生的空床數(shù)量確定第二天安排哪一些病人入院。我們建立了一個評價優(yōu)先級的模型，即用模型對當(dāng)天在等待的病人的入院優(yōu)先級各自評分，優(yōu)先級最靠前的病人第二天可以入院。模型采取滿分10分制，外傷病人就是10分，其他病人則需打分評定。 模型評分影響因素： l 星期影響 第二天的星期對病人的優(yōu)先級影響集中表現(xiàn)在白內(nèi)障患者，尤其是雙眼白內(nèi)障患者上。因為做雙眼白內(nèi)障手術(shù)的只能在周一和周三，如果一個病人在周一入院，最快也要到周二才能做好術(shù)前準(zhǔn)備，這樣這個病人就要在醫(yī)院一直等到下周一才能手術(shù)，期間白白浪費了5天。而可能這5天中就能治愈另一例單眼白內(nèi)障或者外傷患者。單眼白內(nèi)障患者亦有相同情況出現(xiàn)。如此一來，就會導(dǎo)致隊長越來越大，而病床的有效使用率卻很低。 模型中將周一到周日分別用1-7的數(shù)字表示，則星期的函數(shù)是一個T=7的周期函數(shù)。 雙眼白內(nèi)障患者：構(gòu)造分段函數(shù)——周一到周五為一段，增長平緩，周六、周日為一段，維持較高水平；單眼白內(nèi)障患者：構(gòu)造分段函數(shù)——周六到下周周二為一段，維持較高水平，周三到周五為一段，維持較低水平；對其他的患者星期影響則基本沒有。 表9：白內(nèi)障等候病人入院優(yōu)先級的星期部分初評 白內(nèi)障 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 單眼 7 6 -4 1 2 5 6 雙眼 -5 -2 1 3 5 7 6 l 等待時間長度 等待時間長度這一因素對出外傷以外所有患者都有作用。即一開始優(yōu)先級水平增長平緩，達(dá)到5天以后水平開始顯著上升，到25天以后增長速度明顯減慢，但優(yōu)先級維持高水平并趨向于滿分。 構(gòu)造方程，需要求a，b，c，d四個變量： 。 畫圖計算得到較為合理的值，a=1/3，b=0.105，c=0.125，d=3.75.圖像如下： 圖5 等候病人等待時間部分的優(yōu)先級分?jǐn)?shù)曲線 最終得： 對兩因素對各種病人的權(quán)重計算。對于非白內(nèi)障和外傷的病人，星期的影響基本沒有，為方便計算，星期影響權(quán)重為0，等待時間長度影響為1。 對雙眼白內(nèi)障患者，星期的權(quán)值在周六最大，周日較大，其他進(jìn)行合理的漸變。 對于單眼白內(nèi)障患者，周六到下周周二都較大，其他則較小。 由于周一到周日天數(shù)較少，這里不再模擬函數(shù)，而是直接給出數(shù)據(jù)： 表10：白內(nèi)障等候病人入院優(yōu)先級的星期部分初評權(quán)重 白內(nèi)障 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 單眼 0.6 0.5 0.2 0.2 0.2 0.4 0.5 雙眼 0.3 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 綜上所述，對于白內(nèi)障的星期影響這一部分已能計算出定值： 表11：白內(nèi)障等候病人入院優(yōu)先級的星期部分終評 白內(nèi)障 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 單眼 4.2 3 -0.8 0.2 0.4 2 3 雙眼 -1.5 -0.4 0 1.2 2.5 4.9 3.6 由于權(quán)值和評分對后面的結(jié)果又影響，而其由乘積得出星期影響這部分的分?jǐn)?shù)，所以誤差較大，二次比較一周內(nèi)天與天之間的差別，修正其值，如下表： 表12：白內(nèi)障等候病人入院優(yōu)先級的星期部分終評修正分 白內(nèi)障 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 單眼 3.5 3 -1.5 -0.6 0 3 3 雙眼 -2 -0.8 0 1 2.5 4 2 這樣，用對優(yōu)先級評分的方法進(jìn)行有限排序，從而可以較為合理地安排病人入院。用Matlab編程，流程圖如下：（程序見附錄11） 圖6 問題二改進(jìn)方案程序流程圖 問題五： 假定增加床的數(shù)量上限為10張，也就是說增加3張到10張，用病床總數(shù)量82張到89張各情況都計算一次。 外傷為急診，為保障病人健康，應(yīng)當(dāng)留有病床給外傷病人。 而結(jié)果(見附錄)中有外傷的病床數(shù)為零的，或者很大(超過10)的顯然不合理，而且系統(tǒng)隊長分布極不平衡，舍去，剩下82、86兩種情況，對比后發(fā)現(xiàn)，兩者總體水平相近，在差別相對較大的系統(tǒng)平均等待隊長、顧客平均等待時間上也只相差不到1，鑒于82床增加床位數(shù)量少，應(yīng)選擇82床的方案，白內(nèi)障、青光眼、視網(wǎng)膜疾病、外傷的數(shù)量大約為23、15、42、2，比例分別約為28%、19%、51%、2%，其中白內(nèi)障中雙眼單眼比約55:45，接近60:40病人數(shù)量比，顯得較為合理，予以接受。 8.2. 模型改進(jìn)方向 問題二： 用圖解方法，即把79張病床想象為79條從一極坐標(biāo)遠(yuǎn)點出發(fā)的時間線，把各病人根據(jù)病人的住院時間想象成長短不一的火柴棒，以門診時間和手術(shù)時間為節(jié)點限制，求在一定限制條件下在半徑為60的79更半徑軸上能放最多的棒數(shù)量的方案 問題三： 用蒙特卡洛法模擬當(dāng)天之后的數(shù)周內(nèi)到達(dá)的患者信息，這樣就能大致知道近期一個月時間里的患者信息，然后用問題二中的算法對已知信息數(shù)據(jù)求解較優(yōu)的病床安排方案，由此便可大致知道某位患者大致的入住時間區(qū)間。 原方案對于某天的某個患者不需要計算就可以預(yù)測，在計算方面會優(yōu)于方案二，但是方案一只能預(yù)測一部分人，總有患者的入院時間安排是例外的，方案二的預(yù)測具有更廣泛的適用性。 8.3. 模型的推廣 排隊是社會常見的現(xiàn)象，如病人看病、旅客買票、飛機登機等都要涉及到排隊問題。對排隊現(xiàn)象進(jìn)一步分析研究，可解決現(xiàn)實社會存在的一些重大問題。類似文章中的模型的實用性大、應(yīng)用廣泛，例如服務(wù)綱點設(shè)置，投資方向和人員配備等方面都可以?，F(xiàn)在，提高工作效率已經(jīng)成為了一個熱點問題，在有限的資源情況下，我們希望做出更多的事情。而且，社會也逐漸趨于人性化，人工智能等研究已經(jīng)成為了社會的熱點問題。在這個問題的研究中，目前已有許多研究者從各個不同角度對其作了一定研究，并已取得了一定進(jìn)展。而排隊論的研究目的是通過對排隊系統(tǒng)中概率規(guī)律的研究，使系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)控制，以最小費用實現(xiàn)系統(tǒng)的最大效益。并將該模型簡單地應(yīng)用在電子商務(wù)、售票系統(tǒng)、虛擬書店等方面，通過這些實例的研究，充分說明了該模型的有效性和合理性。 9. 參考文獻(xiàn) [1] 孫榮恒，李建平.排隊論基礎(chǔ).北京：科學(xué)出版社，2002 [2] 楊超.運籌學(xué).北京：科學(xué)出版社，2004 [3] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型3版.北京：高等教育出版社，2003.8 [4] 李志林，歐宜貴.數(shù)學(xué)建模及典型案例分析.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2006.12 [5] 楊驊高及仁,程傳苗. 應(yīng)用排隊論理論合理安排醫(yī)院急診工作[J]. 中國醫(yī)院管理,1999,(6). [6] 張?zhí)m江,張建福.蒙特卡羅模擬法在排隊論中的應(yīng)用.交通與運輸，2008.12. 附錄 1. 每天出入院人數(shù)與隊長大小變化 門診日期 門診情況（人數(shù)） 門診 人數(shù) 入院 人數(shù) 出院 人數(shù) 空缺 隊長 白內(nèi)障 白內(nèi)障 (雙眼) 青光眼 視網(wǎng)膜 疾病 外傷 2008-7-13 1 1 1 3 1 7 0 0 0 [7] 2008-7-14 1 3 1 4 0 9 1 (1) 0 [15] 2008-7-15 3 2 2 3 0 10 0 0 0 [25] 2008-7-16 1 2 1 2 1 7 0 0 0 [32] 2008-7-17 1 6 1 3 1 12 1 (1) 0 [43] 2008-7-18 2 4 1 3 2 12 1 (1) 0 [54] 2008-7-19 3 1 2 3 1 10 2 1+(1) 0 [62] 2008-7-20 3 1 0 3 2 9 1 (1) 0 [70] 2008-7-21 2 5 0 0 2 9 2 (2) 0 [77] 2008-7-22 3 0 1 1 1 6 2 1+(1) 0 [81] 2008-7-23 5 2 2 5 2 16 1 (1) 0 [96] 2008-7-24 2 0 1 4 0 7 2 (2) 0 101 2008-7-25 1 2 0 2 0 5 4 (2) 0 102 2008-7-26 2 0 2 0 0 4 8 (7) 0 98 2008-7-27 2 2 1 2 2 9 11 1+(10) 0 96 2008-7-28 0 1 4 5 2 12 11 3+(8) 0 97 2008-7-29 1 1 2 1 0 5 9 2+(7) 0 93 2008-7-30 2 1 0 1 2 6 9 5+(4) 0 90 2008-7-31 0 1 4 4 2 11 8 1+(7) 0 93 2008-8-1 0 4 1 3 3 11 7 2+(5) 0 97 2008-8-2 1 1 0 4 0 6 12 5+(7) 0 91 2008-8-3 1 3 2 5 0 11 6 2+(4) 0 96 2008-8-4 1 3 0 1 1 6 6 2+(4) 0 96 2008-8-5 2 0 1 2 0 5 5 4+(1) 0 96 2008-8-6 4 5 0 4 1 14 9 8+(1) 0 101 2008-8-7 4 4 1 4 2 15 8 7+(1) 0 108 2008-8-8 0 1 1 5 1 8 15 15 0 101 2008-8-9 1 1 0 2 0 4 20 20 0 85 2008-8-10 2 2 1 1 2 8 9 9 0 84 2008-8-11 0 1 1 4 0 6 6 6 0 84 2008-8-12 3 3 0 1 0 7 2 2 0 89 2008-8-13 1 5 1 6 0 13 6 6 0 96 2008-8-14 0 3 1 1 1 6 9 9 0 93 2008-8-15 1 2 2 5 0 10 8 8 0 95 2008-8-16 1 3 0 2 1 7 13 13 0 89 2008-8-17 1 2 0 2 3 8 6 6 0 91 2008-8-18 4 4 1 1 2 12 4 4 0 99 2008-8-19 2 4 1 7 0 14 7 7 0 106 2008-8-20 2 1 0 4 2 9 10 10 0 105 2008-8-21 1 0 0 1 1 3 4 4 0 104 2008-8-22 1 2 0 1 1 5 8 8 0 101 2008-8-23 1 3 2 1 1 8 18 18 0 91 2008-8-24 0 2 2 3 0 7 11 11 0 87 2008-8-25 3 2 1 2 1 9 6 6 0 90 2008-8-26 2 1 0 2 2 7 3 3 0 94 2008-8-27 1 1 0 3 3 8 8 8 0 94 2008-8-28 1 3 1 4 0 9 12 12 0 91 2008-8-29 2 3 2 2 2 11 10 10 0 92 2008-8-30 1 2 1 5 0 9 14 14 0 87 2008-8-31 2 1 2 3 0 8 2 2 0 93 2008-9-1 1 3 1 5 1 11 6 6 0 98 2008-9-2 3 1 0 1 1 6 2 2 0 102 2008-9-3 2 1 0 5 1 9 5 5 0 106 2008-9-4 1 3 4 5 2 15 9 9 0 112 2008-9-5 1 7 1 1 3 13 13 13 0 112 2008-9-6 0 2 1 1 1 5 17 17 0 100 2008-9-7 0 1 0 2 0 3 10 10 0 93 2008-9-8 4 1 0 3 1 9 4 4 0 98 2008-9-9 2 0 2 1 2 7 5 5 0 100 2008-9-10 4 3 1 1 0 9 13 13 0 96 2008-9-11 1 4 2 5 1 13 7 7 0 102 注：(*)表示括號內(nèi)為2008-7-13前入院并在2008-7-13后出院的病人數(shù)量； [*]表示括號內(nèi)為不可采信的數(shù)據(jù)。 2. Lingo對問題一的分析計算 MODEL: S=79;!病床數(shù); R=7;!平均每天就診病人數(shù); T=9.002865;!平均住院時間; load=R*T;!系統(tǒng)到達(dá)負(fù)荷; Pwait=@peb(load,S); !病人等待的概率; W_q=Pwait*T/(S-load);!顧客平均等待時間; L_q=R*W_q;! 系統(tǒng)平均等待隊長; W_s=W_q+T;!顧客平均逗留時間; L_s=W_s*R;!系統(tǒng)平均隊長; END 3. Mathematica對實現(xiàn)第二問的程序 k=1; (處理的天數(shù)*) While[k￡54, (*對病人循環(huán)處理,i為循環(huán)變量*) Print["運行觀察K=",k]; Do[ (*對門診時間在K前且未入院的病人處理*) If[flag[[i]]?0&&R[[i,2]]0, X[[i,3]]=k;Bed[[k]]=Bed[[k]]-1;(*第K天每人院1人，病床少一張*) X[[i,4]]=X[[i,3]]+1;X[[i,5]]=0; X[[i,6]]=X[[i,3]]+R[[i,6]]-R[[i,3]]; xt=X[[i,6]]; flag[[i]]=1; Bed[[xt]]=Bed[[xt]]+1; ]; (*外傷病人處理完畢*) (*對雙白內(nèi)障病人處理*) If[R[[i,1]]?2&&Mod[k,7]?6&&Bed[[k]]>0, Print["k=",k,",有空床3"]; X[[i,3]]=k;Bed[[k]]=Bed[[k]]-1;(* 第K天每人院1人，病床少一張*) X[[i,4]]=X[[i,3]]+2;X[[i,5]]=X[[i,4]]+2; X[[i,6]]=X[[i,5]]+R[[i,6]]-R[[i,5]]; xt=X[[i,6]]; flag[[i]]=1; Bed[[xt]]=Bed[[xt]]+1; ]; (*對雙白內(nèi)障病人處理完畢*) (*對單白內(nèi)障病人處理*) If[R[[i,1]]?1&&(Mod[k,7]?1||Mod[k,7]?6)&&Bed[[k]]>0, Print["k=",k,",有空床4"]; X[[i,3]]=k;Bed[[k]]=Bed[[k]]-1;(* 第K天每人院1人，病床少一張*) X[[i,4]]=X[[i,3]]+2;X[[i,5]]=0; X[[i,6]]=X[[i,4]]+R[[i,6]]-R[[i,4]]; xt=X[[i,6]]; flag[[i]]=1; Bed[[xt]]=Bed[[xt]]+1; ]; (*對單白內(nèi)障病人處理完畢*) (*對青光眼及視網(wǎng)膜病人處理*) If[(R[[i,1]]?3||R[[i,1]]?4)&&(Mod[k,7]16&&Mod[k,7]11)&&Bed[[k]]>0, Print["k=",k,",有空床2"]; X[[i,3]]=k;Bed[[k]]=Bed[[k]]-1;(* 第K天每人院1人，病床少一張*) X[[i,4]]=X[[i,3]]+2;(*這是這里按術(shù)前兩天計算*) X[[i,5]]=0; X[[i,6]]=X[[i,4]]+R[[i,6]]-R[[i,4]]; xt=X[[i,6]]; flag[[i]]=1; Bed[[xt]]=Bed[[xt]]+1; ]; (*對青光眼及視網(wǎng)膜病人處理完畢*) ]; ,{i,1,349}];(*對病人循環(huán)處理至此結(jié)束*) Bed[[k+1]]=Bed[[k+1]]+Bed[[k]];Bed[[k]]=0; k=k+1; ]; 4. 對第二問中未知數(shù)據(jù)和不合理數(shù)據(jù)的模擬結(jié)果 病人 序號 類型 代碼 準(zhǔn)備 間期 觀察 病人 序號 類型 代碼 準(zhǔn)備 間期 觀察 病人 序號 類型 代碼 準(zhǔn)備 間期 觀察 1 5 1 0 4 178 4 2 0 13 355 4 3 0 9 2 4 2 0 12 179 4 2 0 9 356 2 2 2 3 3 1 2 0 3 180 4 2 0 11 357 4 2 0 11 4 4 2 0 8 181 1 2 0 4 358 4 2 0 12 5 3 2 0 9 182 4 2 0 12 359 2 2 2 3 6 4 3 0 13 183 2 2 2 3 360 2 2 2 3 7 2 2 2 3 184 3 2 0 7 361 4 2 0 7 8 4 3 0 8 185 2 2 2 3 362 1 1 0 3 9 2 2 2 2 186 3 2 0 8 363 4 2 0 10 10 1 2 0 2 187 4 2 0 9 364 4 2 0 12 11 4 3 0 10 188 2 1 2 3 365 4 2 0 10 12 2 2 2 3 189 1 2 0 3 366 4 2 0 7 13 2 2 2 3 190 2 2 2 3 367 4 2 0 9 14 3 2 0 6 191 4 2 0 9 368 2 2 2 3 15 4 2 0 11 192 4 2 0 12 369 4 2 0 8 16 4 2 0 8 193 4 2 0 13 370 2 1 2 3 17 4 2 0 14 194 4 3 0 9 371 2 2 2 3 18 1 1 0 2 195 2 2 2 4 372 4 2 0 9 19 3 2 0 7 196 4 3 0 8 373 3 2 0 7 20 2 1 2 3 197 2 2 2 3 374 3 2 0 8 21 4 2 0 11 198 5 1 0 7 375 2 1 2 3 22 3 2 0 8 199 2 2 2 3 376 4 3 0 6 23 1 1 0 2 200 1 2 0 3 377 2 2 2 2 24 1 1 0 2 201 4 3 0 10 378 2 2 2 3 25 2 2 2 3 202 4 3 0 5 379 3 3 0 8 26 4 3 0 10 203 1 2 0 3 380 4 3 0 10 27 3 3 0 7 204 1 2 0 2 381 2 2 2 4 28 1 2 0 4 205 3 3 0 6 382 4 3 0 11 29 5 1 0 4 206 4 3 0 13 383 4 3 0 8 30 2 2 2 3 207 1 2 0 3 384 2 2 2 3 31 4 3 0 10 208 2 1 2 3 385 3 3 0 10 32 2 1 2 3 209 1 1 0 2 386 4 3 0 8 33 4 3 0 11 210 4 2 0 10 387 4 3 0 7 34 4 3 0 10 211 1 1 0 2 388 3 3 0 9 35 1 1 0 4 212 2 1 2 4 389 2 2 2 3 36