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______________________________________________________________________________________________________________ 用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式初探 摘要: 本文通過用待定系數(shù)法分析求解9個(gè)遞推數(shù)列的例題，得出適用待定系數(shù)法求其通項(xiàng)公式的七種類型的遞推數(shù)列，用于解決像觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項(xiàng)相消法和公式法等不能解決的數(shù)列的通項(xiàng)問題。 關(guān)鍵詞:變形 對(duì)應(yīng)系數(shù) 待定 遞推數(shù)列 數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，推導(dǎo)通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列必由之路，特別是根據(jù)遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，對(duì)教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)來說都是一大難點(diǎn)，遞推公式千奇百怪，推導(dǎo)方法卻各不相同，靈活多變。對(duì)學(xué)生的觀察、分析能力要求較高，解題的關(guān)鍵在于如何變形。常見的方法有觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項(xiàng)相消法和公式法。但是對(duì)比較復(fù)雜的遞推公式，用上述方法難以完成，用待定系數(shù)法將遞推公式進(jìn)行變形，變成新的數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列。下面就分類型談?wù)勅绾卫么ㄏ禂?shù)法求解幾類數(shù)列的遞推公式。 一、 型（為常數(shù)，且） 例題1.在數(shù)列中，,,試求其通項(xiàng)公式。 分析：顯然，這不是等差或等比數(shù)列，但如果在的兩邊同時(shí)加上1，整理為，此時(shí)，把和看作一個(gè)整體，或者換元，令，那么，即，，因此，數(shù)列或就是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列 ，或者，進(jìn)一步求出。 啟示：在這個(gè)問題中，容易看出在左右兩邊加上1就構(gòu)成了新的等比數(shù)列，那不易看出在左右兩邊該加幾后構(gòu)成新的等比數(shù)列時(shí)，該怎么辦呢？ 其實(shí)，已知，可變形為的形式，然后展開括號(hào)、移項(xiàng)后再與相比較，利用待定系數(shù)法可得。 這樣，對(duì)于形如（其中為常數(shù)，且）的遞推數(shù)列，先變?yōu)榈男问剑归_、移項(xiàng)，利用待定系數(shù)法有 ， 即 則數(shù)列首項(xiàng)為等比數(shù)列 因此，形如這一類型的數(shù)列，都可以利用待定系數(shù)法來求解。 那么，若變?yōu)?是關(guān)于非零多項(xiàng)式時(shí)，該怎么辦呢？是否也能運(yùn)用待定系數(shù)法呢？ 二 型 例題2.在數(shù)列中，,,試求其通項(xiàng)公式。 分析：按照例題1的思路，在兩邊既要加上某一常數(shù)同時(shí)也要加上n的倍數(shù)，才能使新的數(shù)列有一致的形式。先變?yōu)?，展開比較得 進(jìn)一步 則數(shù)列是的等比數(shù)列，所以 ， 同樣，形如的遞推數(shù)列，設(shè)展開、移項(xiàng)、整理，比較對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，列出方程 解得 即 則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列。于是就可以進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。 同理，若其中是關(guān)于n的多項(xiàng)式時(shí)，也可以構(gòu)造新的等比數(shù)列，利用待定系數(shù)法求出其通項(xiàng)。比如當(dāng)=時(shí)，可設(shè) 展開根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相等求解方程即可。 為n的三次、四次、五次等多項(xiàng)式時(shí)也能用同樣的思路和方法進(jìn)行求解。 而如果當(dāng)是n的指數(shù)式，即時(shí)，遞推公式又將如何變形呢？ 三 例題3.在數(shù)列中，,,試求其通項(xiàng)。 分析1：由于與例題1的區(qū)別在于2n是指數(shù)式，可以用上面的思路進(jìn)行變形，在兩邊同時(shí)加上變?yōu)榧? 則數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，則 分析2：如果將指數(shù)式先變?yōu)槌?shù)，兩邊同除 就回到了我們的類型一。進(jìn)一步也可求出。 例題4.在數(shù)列中，,,試求的通項(xiàng)。 分析：若按例題3的思路2，在兩邊同時(shí)除以，雖然產(chǎn)生了、，但是又增加了，與原式并沒有大的變化。所以只能運(yùn)用思路1，在兩邊同時(shí)加上10整理 進(jìn)一步 則數(shù)列是首項(xiàng)為15，公比為3的等比數(shù)列 即 啟示：已知數(shù)列的首項(xiàng)， 1） 當(dāng),即由例題3知，有兩種思路進(jìn)行變換，利用待定系數(shù)法構(gòu)造首項(xiàng)和公比已知或可求的等比數(shù)列。 思路一：在兩邊同時(shí)除以，將不含的項(xiàng)變?yōu)槌?shù)，即 為前面的類型一，再用類型一的待定系數(shù)法思想可得數(shù)列最終求解出的通項(xiàng)。 思路二：在兩邊同時(shí)加上的倍數(shù)，最終能變形為 對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得 ，即 即 求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。 2） 當(dāng)時(shí)，即 由例4可知只能在選擇思路二，兩邊既要加的倍數(shù)，也要加常數(shù)，最終能變形為 比較得x，y的方程組 于是 求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。 四：其中可以為常數(shù)、n的多項(xiàng)式或指數(shù)式）以=0為例。 例題5.在數(shù)列中，,試求的通項(xiàng)。 分析：這是三項(xiàng)之間遞推數(shù)列，根據(jù)前面的思路，可以把看做常數(shù)進(jìn)行處理，可變?yōu)?，先求出?shù)列的通項(xiàng) 然后利用累加法即可進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。 對(duì)于形如的遞推數(shù)列，可以設(shè)展開，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，列方程 于是數(shù)列就是以為首項(xiàng)，y為公比的等比數(shù)列，不難求出的通項(xiàng)進(jìn)一步利用相關(guān)即可求出。 同理，當(dāng)為非零多項(xiàng)式或者是指數(shù)式時(shí)，也可結(jié)合前面的思路進(jìn)行處理。問題的關(guān)鍵在于先變形 然后把看做一個(gè)整體就變?yōu)榱饲懊娴念愋汀? 五：型，為正項(xiàng)數(shù)列 例題6.在數(shù)列中，，試求其通項(xiàng)。 分析：此題和前面的幾種類型沒有相同之處，左邊是一次式，而右邊是二次式，關(guān)鍵在于通過變形，使兩邊次數(shù)相同，由于，所以可聯(lián)想到對(duì)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，即 就是前面的類型一了，即 變形得 對(duì)于類似的遞推數(shù)列，由于兩邊次數(shù)不一致，又是正項(xiàng)數(shù)列，所以可以利用對(duì)數(shù)性質(zhì)，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得 然后就是前面的類型一了，就可以利用待定系數(shù)法進(jìn)一步構(gòu)造數(shù)列為已知首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列了。求出最終就可以得出的通項(xiàng)。 同樣，如果將中的p換為指數(shù)式時(shí)，同樣可以利用相同的方法。即： 兩邊取對(duì)數(shù) 變?yōu)轭愋投? 即可進(jìn)一步得出的通項(xiàng)。 以上是一些整式型的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，接下來再看看比較復(fù)雜的分式型遞推數(shù)列。 六： 例題7.在數(shù)列中，，試求其通項(xiàng)。 分析：這是一個(gè)分式型數(shù)列，如果去分母變?yōu)楹缶蜔o法進(jìn)行處理了。兩邊同時(shí)取倒數(shù) 就是前面的類型一了。 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，不難求出 例題8.在數(shù)列中，，試求其通項(xiàng)。 分析：此題比例題7的區(qū)別多了常數(shù)項(xiàng)，兩邊取倒 左右兩邊與并不一致。但可以對(duì)照例題7的思路，取倒數(shù)之后分母會(huì)具有一致的結(jié)構(gòu)，根據(jù)等式和分式的性質(zhì)，我們可在兩邊同時(shí)加上某一常數(shù)，整理： 此時(shí)如果，那么遞推式左邊和右邊分母就一致了。解方程得 因此 此時(shí)可選擇其中一個(gè)遞推式按照例題7的方式進(jìn)行處理，這里選擇，兩邊取倒 回到了類型一 根據(jù)類型一的方法易求出： 現(xiàn)在我們將兩式相比： 則數(shù)列是我已知首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，進(jìn)一步化簡(jiǎn)求出。 通過以上兩個(gè)例題可知，形如這一類型的遞推數(shù)列，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高。 1、如果右邊分子缺常數(shù)項(xiàng)，即，那么直接對(duì)兩邊取倒數(shù)即可得： 此時(shí)，若，那就是我們熟悉的等差數(shù)列，若，那就是前面的類型一——用待定系數(shù)法求解。 2、 若，就需要先變形，使左邊和右邊分子結(jié)構(gòu)一致。兩邊同時(shí)加上某一個(gè)常數(shù)() 然后令，解出的值。 而另一種思路是直接設(shè)變形之后為 然后展開，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得二元方程組 求出。 兩種思路都是解的一元二次方程，設(shè)其解為。 若時(shí)，那就只能利用例題7的方法，兩邊取倒數(shù)，部分分式整理即可轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋鸵弧? 最終求出。 當(dāng)時(shí)，可以選擇其中的一個(gè)按照上面的方式進(jìn)行求解，但是此時(shí)計(jì)算量頗大，于是直接將兩式相比得： 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。進(jìn)一步求出。 七： 例題9.在數(shù)列中，，試求其通項(xiàng)。 分析：本題屬于分式非線性遞推式，與類型五又有相似之處，所以我們可以結(jié)合類型五、六的思路，進(jìn)行變換： 兩邊同時(shí)加上某個(gè)常數(shù)，設(shè)最終變?yōu)椋? 與原式比較，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得 解方程得 即有： 對(duì)單個(gè)式子進(jìn)行處理，無從下手，兩式相比得 然后，兩邊取對(duì)數(shù)得： 則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列。 進(jìn)一步解得 顯然，按照例題9的思路，形如這一類型的參數(shù)必須滿足一定的條件，所得方程應(yīng)有兩個(gè)不相等的實(shí)根。 現(xiàn)在來探討應(yīng)該滿足哪些條件？ 設(shè)，即： 所以 對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得 方程要滿足 設(shè)方程的兩根為則有 兩式相比得 兩邊取對(duì)數(shù)得 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。 求出的通項(xiàng)再整理一下就得出了的通項(xiàng)，問題就得以解決了。 本文主要是通過例題的分析講解，并進(jìn)行歸納總結(jié)概括而形成的，是我在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，通過平時(shí)自己的一些積累和參考其他作者的思路，對(duì)用待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的初步探討和認(rèn)識(shí)。例題的深度層層深入，前面的類型是后面的基礎(chǔ)，特別是第一種類型，是學(xué)習(xí)其他幾種類型的充分依據(jù)，其他的類型最終都會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)榈谝环N類型之后再進(jìn)行求解。 參考文獻(xiàn) [1]李春雷 用不動(dòng)點(diǎn)法探究遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2006.05期 [2]用待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2007.07期 [3]例析待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2009.07期 -可編輯修改-