《【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計】專題8 第39練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計】專題8 第39練（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第39練　隨機變量及其分布列 [題型分析高考展望]　隨機變量及其分布列是高考的一個必考熱點，主要包括離散型隨機變量及其分布列，期望與方差，二項分布及其應(yīng)用和正態(tài)分布.對本部分知識的考查，一是以實際生活為背景求解離散型隨機變量的分布列和期望；二是獨立事件概率的求解；三是考查二項分布. ?？碱}型精析 題型一　條件概率與相互獨立事件的概率 例1　(1)(2014課標全國Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 (2)(2014山東)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分.對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為，在D上的概率為；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為，在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求： ①小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率； ②兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望. 　 　 　 點評　(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.這是通用的求條件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝. (3)相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應(yīng)的公式計算求解. 變式訓(xùn)練1　(1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. (2)(2014陜西)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表： 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場價格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 ①設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列； ②若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率. 　 　 　 　 題型二　離散型隨機變量的期望和方差 例2　(2015山東)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分. (1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ； (2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 　 　 　 　 　 　 點評　離散型隨機變量的期望和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的期望和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應(yīng). 變式訓(xùn)練2　(2014遼寧)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示. 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立. (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X). 　 　 　 　 　 　 題型三　二項分布問題 例3　(2014湖北)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的頻率，并假設(shè)各年的入流量相互獨立. (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量X 40120 發(fā)電機最多可運行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？ 　 　 　 　 　 　 　 　 點評　應(yīng)用公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n-k的三個條件： (1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率. 變式訓(xùn)練3　甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立. (1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率； (2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 　 　 　 　 　 　 　高考題型精練 1.(2015成都模擬)甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是.現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為(　　) A. B. C. D. 2.在4次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率是，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D.以上全不對 3.先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別有1,2,3,4,5,6個點)，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“x＋y為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且x≠y”，則概率P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 4.小王參加了2015年春季招聘會，分別向A，B兩個公司投遞個人簡歷.假定小王得到A公司面試的概率為，得到B公司面試的概率為p，且兩個公司是否讓其面試是獨立的.記ξ為小王得到面試的公司個數(shù).若ξ＝0時的概率P(ξ＝0)＝，則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________. 5.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為________. 6.(2014浙江)隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________. 7.(2014安徽)甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立. (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望). 　 　 　 　 　 　 8.(2015德州模擬)已知甲箱中只放有x個紅球與y個白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2個紅球、1個白球與1個黑球(球除顏色外，無其他區(qū)別).若從甲箱中任取2個球，從乙箱中任取1個球. (1)記取出的3個顏色全不相同的概率為P，求當P取得最大值時x，y的值； (2)當x＝2時，求取出的3個球中紅球個數(shù)ξ的期望E(ξ). 　 　 　 　 　 　 　 　 　 9.(2014福建)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額. (1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求： ①顧客所獲的獎勵額為60元的概率； ②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望. (2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 10.(2015安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望). 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第39練　隨機變量及其分布列 常考題型精析 例1　A [已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝＝0.8.] (2)解?、儆汚i為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i＝0,1,3)， 則P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝. 記Bj為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為j分”(j＝0,1,3)， 則P(B3)＝，P(B1)＝，P(B0)＝1－－＝. 記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”. 由題意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3， 由事件的獨立性和互斥性，得 P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3) ＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3) ＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3) ＝＋＋＋＝， 所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為. ②由題意，隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6， 由事件的獨立性和互斥性，得 P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝＝， P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1) ＝＋＝， P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝＝， P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3) ＝＋＝， P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3) ＝＋＝， P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝＝. 可得隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＋6＝. 變式訓(xùn)練1　B [P(A)＝＝，P(AB)＝＝， P(B|A)＝＝.] (2)解　①設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6 元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， ∵利潤＝產(chǎn)量市場價格－成本. ∴X所有可能的取值為 50010－1 000＝4 000,5006－1 000＝2 000， 30010－1 000＝2 000,3006－1 000＝800. P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)(1－0.4)＝0.3， P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P() ＝(1－0.5)0.4＋0.5(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.50.4＝0.2， 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 ②設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i＝1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨立，由①知， P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)， 3季的利潤均不少于2 000元的概率為 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為 P(1C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2) ＝30.820.2＝0.384， 所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512＋0.384＝0.896. 例2　解　(1)個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345； (2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為C＝84， 隨機變量X的取值為：0，－1,1， 因此P(X＝0)＝＝， P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝1－－＝， 所以X的分布列為 X 0 －1 1 P 則E(X)＝0＋(－1)＋1＝. 變式訓(xùn)練2　解　(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”.因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)50＝0.6， P(A2)＝0.00350＝0.15， P(B)＝0.60.60.152＝0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為 P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C0.63＝0.216， 則X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝30.6＝1.8， 方差D(X)＝30.6(1－0.6)＝0.72. 例3　解　(1)依題意，得p1＝P(40120)＝＝0.1. 由二項分布，得在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為 p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝()4＋4()3()＝0.947 7. (2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元). ①安裝1臺發(fā)電機的情形. 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 0001＝5 000. ②安裝2臺發(fā)電機的情形. 依題意，當40120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 0003＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3 4000.2＋9 2000.7＋15 0000.1 ＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺. 變式訓(xùn)練3　解　(1)設(shè)“甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利”分別為事件A，B，C，則P(A)＝＝， P(B)＝C2＝， P(C)＝C22＝. (2)X的可能的取值為0,1,2,3. 則P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝， P(X＝1)＝P(C)＝， P(X＝2)＝C22＝， P(X＝3)＝3＋C2＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 高考題型精練 1.A [設(shè)甲命中目標為事件A，乙命中目標為事件B，丙命中目標為事件C，則目標被擊中的事件可以表示為A∪B∪C，即擊中目標表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生. ∴P()＝P()P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝＝. 故目標被擊中的概率為1－P()＝1－＝.] 2.A [設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p， ∵事件A全不發(fā)生為事件A至少發(fā)生一次的對立事件，∴1－(1－p)4＝，即(1－p)4＝. 故1－p＝或1－p＝－(舍去)，即p＝.] 3.B [正面朝上的點數(shù)(x，y)的不同結(jié)果共有CC＝36(種).事件A：“x＋y為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個互斥事件，其中P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. 事件B為“x，y中有偶數(shù)且x≠y”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且x≠y”，所以P(AB)＝＝. P(B|A)＝＝.] 4. 解析　由題意，得P(ξ＝2)＝p， P(ξ＝1)＝(1－p)＋p＝， ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P p 由＋＋p＝1，得p＝. 所以E(ξ)＝0＋1＋2p＝. 5.0.128 解析　由題設(shè)，分兩類情況：①第1個正確，第2個錯誤，第3、4個正確，由乘法公式得P1＝0.80.20.80.8＝0.102 4； ②第1、2個錯誤，第3、4個正確， 此時概率P2＝0.20.20.80.8＝0.025 6. 由互斥事件概率公式得 P＝P1＋P2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128. 6. 解析　設(shè)P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 則解得 所以D(ξ)＝＋0＋1＝. 7.解　用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”. 則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5. (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) ＝()2＋()2＋()2＝. (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝， P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3) ＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝， P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4) ＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P E(X)＝2＋3＋4＋5＝. 8.解　(1)由題意知P＝＝≤2＝， 當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立， 所以，當P取得最大值時，x＝y(tǒng)＝3. (2)當x＝2時，即甲箱中有2個紅球與4個白球，所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3. 則P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， 所以，紅球個數(shù)ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 于是E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 9.解　(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X. ①依題意，得P(X＝60)＝＝， 即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為. ②依題意，得X的所有可能取值為20,60. P(X＝60)＝，P(x＝20)＝＝， 即X的分布列為 X 20 60 P 所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)＝20＋60＝40(元). (2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1. 對于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2. 以下是對兩個方案的分析： 對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為 X1 20 60 100 P X1的期望為E(X1)＝20＋60＋100＝60， X1的方差為D(X1)＝(20－60)2＋(60－60)2＋(100－60)2＝. 對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為 X2 40 60 80 P X2的期望為E(X2)＝40＋60＋80＝60， X2的方差為D(X2)＝(40－60)2＋(60－60)2＋(80－60)2＝. 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2. 10.解　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A. P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) ＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P E(X)＝200＋300＋400＝350.