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第25練　空間幾何體的三視圖及表面積與體積 [題型分析高考展望]　三視圖作為新課標新增加的內(nèi)容，是高考的熱點和重點：其考查形式多種多樣，選擇題、填空題和綜合解答題都有出現(xiàn)，而這些題目以選擇題居多；立體幾何中的計算問題考查的知識，涉及到三視圖、空間幾何體的表面積和體積以及綜合解答和證明. 專題6　立體幾何與空間向量常考題型精析 題型一　三視圖識圖 例1　(1)(2014湖北)在如圖所示的空間直角坐標系O－xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② (2)將正方體(如圖(1)所示)截去兩個三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 點評　畫法規(guī)則：(1)由幾何體的輪廓線定形狀，看到的畫成實線，看不到的畫成虛線. (2)正(主)俯一樣長，俯側(cè)(左)一樣寬，正(主)側(cè)(左)一樣高. 變式訓練1　(2014江西)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(　　) 題型二　空間幾何體的表面積和體積 例2　(1)(2015安徽)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　) A.1＋ B.2＋ C.1＋2 D.2 (2)(2015天津)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 點評　利用三視圖求幾何體的表面積、體積，需先由三視圖還原幾何體，三個圖形結(jié)合得出幾何體的大體形狀，由實虛線得出局部位置的形狀，再由幾何體的面積體積公式求解. 變式訓練2　(2014陜西)四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F(xiàn)，G，H. (1)求四面體ABCD的體積； (2)證明：四邊形EFGH是矩形. 　 　 　 　 　 　 　 高考題型精練 1.(2015課標全國Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2015重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋π B.＋π C.＋2π D.＋2π 3.(2014浙江)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是(　　) A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2 4.如圖是某簡單組合體的三視圖，則該組合體的體積為(　　) A.36(π＋) B.36(π＋2) C.108π D.108(π＋2) 5.(2014重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A.54 B.60 C.66 D.72 6.兩球O1和O2在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)部，且互相外切，若球O1與過點A的正方體的三個面相切，球O2與過點C1的正方體的三個面相切，則球O1和球O2的表面積之和的最小值為(　　) A.(6－3)π B.(8－4)π C.(6＋3)π D.(8＋4)π 7.已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30，則棱錐S—ABC的體積為(　　) A.3 B.2 C. D.1 8.(2015山東)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A. B. C. D.2π 9.(2014北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________. 10.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖是等邊三角形，俯視圖是半圓.現(xiàn)有一只螞蟻從點A出發(fā)沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點，則螞蟻所經(jīng)過路程的最小值為________. 11.(2015西安模擬)如圖所示是一幾何體的直觀圖及正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖. (1)若F為PD的中點，證明：AF⊥平面PCD； (2)證明：BD∥平面PEC. 　 　 12.如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D—ABC，如圖2所示. (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D—ABC的體積. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 專題6 立體幾何與空間向量 第25練　空間幾何體的三視圖及表面積與體積 常考題型精析 例1　(1)D　(2)B 解析　(1)由三視圖可知，該幾何體的正視圖是一個直角三角形(三個頂點的坐標分別是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且內(nèi)有一虛線(一頂點與另一直角邊中點的連線)，故正視圖是④；俯視圖即在底面的射影是一個斜三角形，三個頂點的坐標分別是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯視圖是②. (2)還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側(cè)面作垂線.D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線. 變式訓練1　B [該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選B.] 例2　(1)B　(2)π 解析　(1)由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖，如圖，∴該四面體的表面積為S表＝221＋2()2＝2＋，故選B. (2)由三視圖可知，該幾何體由相同底面的兩圓錐和圓柱組成，底面半徑為1 m，圓錐的高為1 m，圓柱的高為2 m，所以該幾何體的體積V＝2π121＋π122＝πm3. 變式訓練2　解　由該四面體的三視圖可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC， ∴四面體ABCD的體積V＝221＝. (2)證明　∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形， 又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG. ∴四邊形EFGH是矩形. 高考題型精練 1.B [由正(主)視圖與俯視圖想象出其直觀圖，然后進行運算求解.如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝4πr2＋πr2＋4r2＋πr2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π， ∴r2＝4，r＝2，故選B.] 2.A [這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，V＝π122＋1＝π＋，選A.] 3.D [該幾何體如圖所示，長方體的長、寬、高分別為6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3 cm,4 cm，5 cm，所以表面積S＝[2(46＋43)＋36＋33]＋＝99＋39＝138(cm2).] 4.B [由俯視圖可知該幾何體的底面由三角形和半圓兩部分構(gòu)成，結(jié)合正(主)視圖和側(cè)(左)視圖可知該幾何體是由半個圓錐與一個三棱錐組合而成的，并且圓錐的軸截面與三棱錐的一個側(cè)面重合，兩個錐體的高相等. 由三視圖中的數(shù)據(jù)，可得該圓錐的底面半徑r＝6，三棱錐的底面是一個底邊長為12，高為6的等腰三角形，兩個錐體的高h＝＝6， 故半圓錐的體積V1＝π626＝36π. 三棱錐的底面積S＝126＝36， 三棱錐的體積V2＝Sh＝366＝72. 故該幾何體的體積V＝V1＋V2＝36π＋72 ＝36(π＋2).故選B.] 5.B [由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正(主)視圖和側(cè)(左)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的.在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示.在圖(1)中，直角梯形ABPA1的面積為(2＋5)4＝14，計算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面積為(2＋5)5＝.因為A1C1⊥平面A1ABP，A1P?平面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面積為53＝. 又Rt△ABC的面積為43＝6，矩形ACC1A1的面積為53＝15，故幾何體ABC－A1PC1的表面積為14＋＋＋6＋15＝60.] 6.A [設(shè)球O1，O2的半徑分別為r1，r2， 由題意知O1A＋O1O2＋O2C1＝， 而O1A＝r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝r2， ∵r1＋r1＋r2＋r2＝.∴r1＋r2＝， 從而S1＋S2＝4πr＋4πr＝4π(r＋r) ≥4π＝(6－3)π.] 7.C [如圖，過A作AD垂直SC于D，連接BD. 由于SC是球的直徑，所以∠SAC＝∠SBC＝90，又∠ASC＝∠BSC＝30，又SC為公共邊， 所以△SAC≌△SBC. 由于AD⊥SC，所以BD⊥SC. 由此得SC⊥平面ABD. 所以VS—ABC＝VS—ABD＋VC—ABD＝S△ABDSC. 由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30，SC＝4， 所以AC＝2，SA＝2，由于AD＝＝. 同理在Rt△BSC中也有BD＝＝. 又AB＝，所以△ABD為正三角形， 所以VS—ABC＝S△ABDSC＝()2sin 604＝，所以選C.] 8.C [過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝πAB2BC－πCE2DE＝π122－π121＝，故選C.] 9.2 解析　根據(jù)三視圖還原幾何體，得如圖所示的三棱錐P－ABC. 由三視圖的形狀特征及數(shù)據(jù)，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2. 底面為等腰三角形，AB＝BC， 設(shè)D為AC的中點，AC＝2，則AD＝DC＝1，且BD＝1， 易得AB＝BC＝，所以最長的棱為PC， PC＝＝2. 10.＋ 解析　如圖所示，側(cè)面展開圖為一個四分之一圓與一個等邊三角形，從點A出發(fā)沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點，螞蟻所經(jīng)過路程的最小值為|AA1|＝＝＝＋. 11.證明　(1)由幾何體的三視圖，可知底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4. 因為PA＝AD，F(xiàn)為PD的中點， 所以PD⊥AF. 又CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA＝A， 所以CD⊥平面ADP.所以CD⊥AF. 又CD∩DP＝D，所以AF⊥平面PCD. (2)取PC的中點M，連接AC，EM，AC與BD的交點為N，連接MN，所以MN＝PA，MN∥PA. 所以MN＝EB，MN∥EB. 故四邊形BEMN為平行四邊形. 所以EM∥BN. 又EM?平面PEC，BN?平面PEC， 所以BD∥平面PEC. 12.(1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC. 又平面ADC⊥平面ABC， 平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知BC為三棱錐B—ACD的高， BC＝2，S△ACD＝2， ∴VB—ACD＝S△ACDBC ＝22＝， 由等體積性可知，幾何體D—ABC的體積為.