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第6講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
題型一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值問題
例1 (13分)(2014安徽)設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.
規(guī)范解答
解 (1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.[1分]
令f′(x)＝0，
得x1＝，x2＝，x1
x2時(shí)，f′(x)<0；
當(dāng)x10.[4分]
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增.[5分]
(2)因?yàn)閍>0，所以x1<0，x2>0.[6分]
①當(dāng)a≥4時(shí)，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，
所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值；[8分]
②當(dāng)00解集出錯(cuò)，只得2分.
3.若(－∞，x1)和(x2，＋∞)中間用∪連接，扣1分.
第(2)問得分點(diǎn)
1.沒根據(jù)a≥4與04與00，f(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增.
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為
f(1)<，
即－1<，
解得－－11，
故當(dāng)x∈(1，)時(shí)，f′(x)<0，
當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(1，)單調(diào)遞減，在(，＋∞)單調(diào)遞增.
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為f()<.
而f()＝aln ＋＋>，
所以不合題意.[9分]
③若a>1，則f(1)＝－1＝<.[11分]
綜上，a的取值范圍是(－－1，－1)∪(1，＋∞).[12分]
評(píng)分細(xì)則
第(1)問得分點(diǎn)
1.若導(dǎo)函數(shù)求錯(cuò)，不得分.
2.若f′(1)＝0解錯(cuò)，只得2分.
第(2)問得分點(diǎn)
1.若沒求定義域，其他正確，不扣分.
2.沒進(jìn)行分類討論的，不得分.漏一類扣2分.
3.沒有結(jié)論的扣1分.
4.利用其他方法求解的，同樣得分.
第一步：整理函數(shù)式，對(duì)其求導(dǎo)數(shù)；
第二步：研究函數(shù)單調(diào)性，含參數(shù)的，要依題意對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；
第三步：應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性，解決題目涉及的問題，如存在性問題，恒成立問題，探索性問題等，主要依據(jù)是函數(shù)最值、單調(diào)性；
第四步：得出綜合結(jié)論；
第五步：回顧反思，查易錯(cuò)點(diǎn)，驗(yàn)規(guī)范性.
跟蹤訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在[，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
答案精析
第6講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
跟蹤訓(xùn)練1 解 (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝，f(2)＝，
又f′(x)＝＝，
f′(2)＝－.
所以，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為
y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.
(2)f′(x)＝
＝.
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
①當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝a.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
所以f(x)在區(qū)間，(a，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)，
在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)．
函數(shù)f(x)在x1＝－處取得極小值f，
且f＝－a2.
函數(shù)f(x)在x2＝a處取得極大值f(a)，且f(a)＝1.
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－，
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，a)
a
(a，－)
－
(－，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
所以f(x)在區(qū)間(－∞，a)，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．
函數(shù)f(x)在x1＝a處取得極大值f(a)，且f(a)＝1.
函數(shù)f(x)在x2＝－處取得極小值f(－)，
且f＝－a2.
綜上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－)，(a，
＋∞)，
極大值為1，極小值為－a2.
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，(－，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，－)，極大值為1，極小值為－a2.
跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，則切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
(2)g(x)＝2ln x－x2＋m，
則g′(x)＝－2x＝.
∵x∈[，e]，
∴當(dāng)g′(x)＝0時(shí)，x＝1.
當(dāng)0；
當(dāng)1
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高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科
【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科】第二篇
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