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5.2.1控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)分析,5.2控制系統(tǒng)分析,1、階躍響應(yīng),格式1：給定系統(tǒng)模型num、den（或a、b、c、d）,求系統(tǒng)階躍響應(yīng)并作圖，時(shí)間t由系統(tǒng)自動(dòng)設(shè)定。格式2：同上，只是時(shí)間t由人工給定（等間隔）。格式3：返回輸出變量y、狀態(tài)變量x的值，不作圖。格式4：返回的變量中包括或者不包括t，不作圖。,例：求下面系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)num=[4];den=[1,1,4];step(num,den)計(jì)算峰值max(y)計(jì)算峰值時(shí)間[y,x,t]=step(num,den);tp=spline(y,t,max(y)),例：求如下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)a=[0,1;-6,-5];b=[0;1];c=[1,0];d=0;[y,x]=step(a,b,c,d)plot(t,x);holdonplot(y),解：1、假設(shè)將自然頻率固定為ωn＝1，ζ＝0,0.1,0.2,0.3,…1,2,3,5。wn=1;zetas=[0:0.1:1,2,3,5];t=0:0.1:12;holdonfori=1:length(zetas)Gc=tf(wn^2,[1,2*zetas(i)*wn,wn^2]);step(Gc,t)endholdoff,或者：wn=1;zetas=[0:0.1:1,2,3,5];t=[0:0.1:12]holdonforzet=zetasnum=wn.^2;den=[1,2*zet*wn,wn.^2];step(num,den,t)endholdoff,2、將阻尼比ζ的值固定在ζ＝0.55，則可以繪制出在各個(gè)自然頻率ωn下的階躍響應(yīng)曲線，wn=[0.1:0.1:1];z=0.55;t=0:0.1:12;holdonfori=1:length(wn)Gc=tf(wn(i)^2,[1,2*z*wn(i),wn(i)^2]);step(Gc,t)endholdoff,2、脈沖響應(yīng),以上各函數(shù)的功能為給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。各種格式同6.1.1中的階躍響應(yīng)。,例：求下面系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)：num=[4];den=[1,1,4];impulse(num,den),G=tf(4,[1,2,3,4]);Gc=tf([1,3],[1,3]);H=tf(1,[0.01,1]);Go=Gc*G;Gc=feedback(Go,H);impulse(Go);figure,impulse(Gc);,3、零輸入響應(yīng),格式1：給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣a、b、c、d和初始條件x0,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，并作圖。時(shí)間t由系統(tǒng)自動(dòng)產(chǎn)生。格式2：同格式1，時(shí)間t由用戶給定。格式3：返回輸出變量y、狀態(tài)變量x及時(shí)間t值，不作圖。,例：已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和脈沖響應(yīng)。a=[0,1;-10,-2];b=[0;1];c=[1,0];d=[0];x0=[1,0];subplot(1,2,1);initial(a,b,c,d)subplot(1,2,2);impulse(a,b,c,d),4、一般響應(yīng),給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，求任意輸入信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)。格式1：給定系統(tǒng)模型參數(shù)、控制輸入信號(hào)u和等時(shí)間間隔t，求系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，并作圖。格式2：給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型時(shí)，計(jì)算帶初始條件x0的時(shí)間響應(yīng)，并作圖。格式3：返回輸出變量y和狀態(tài)變量x，不作圖。,例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：輸入正弦信號(hào)時(shí)，觀察輸出信號(hào)的相位差。num=[1];den=[1,1];t=0:0.01:10;u=sin(2*t);holdonplot(t,u,‘:’)lsim(num,den,u,t),例：有一二階系統(tǒng)，求出周期為4秒的方波的輸出響應(yīng),num=[251];den=[123];t=(0:.1:10);period=4;u=(rem(t,period)>=period./2);%看rem函數(shù)功能lsim(num,den,u,t);,在控制系統(tǒng)分析中，為了避開直接求解高階多項(xiàng)式的根時(shí)遇到的困難，在實(shí)踐中提出了一種圖解求根法，即根軌跡法。所謂根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)的某一個(gè)（或幾個(gè)）參數(shù)從－∞到＋∞時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在復(fù)平面上描繪的一些曲線。應(yīng)用這些曲線，可以根據(jù)某個(gè)參數(shù)確定相應(yīng)的特征根。在根軌跡法中，一般取系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K作為可變參數(shù)。由于根軌跡是以K為可變參數(shù)，根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)畫出來(lái)的，因而它能反映出開環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)（特征根）之間的關(guān)系,5.2.2線性系統(tǒng)的根軌跡,1．pzmap功能：繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。格式：[p,z]=pzmap(A,B,C,D)[p,z]=pzmap(num,den)pzmap(p,z)說(shuō)明：對(duì)SISO系統(tǒng)，pzmap函數(shù)可繪制出傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)；對(duì)MIMO系統(tǒng)，pzmap函數(shù)可繪制系統(tǒng)的特征向量和傳遞零點(diǎn)。當(dāng)不帶輸出變量引用時(shí)，pzmap函數(shù)可在當(dāng)前圖形窗口中繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，其中極點(diǎn)用“”表示，零點(diǎn)用“o”表示。P為極點(diǎn)的列向量，z為零點(diǎn)的列向量。,num=[0.05,0.045];den=conv([1,-1.8,0.9],[1,5,6]);pzmap(num,den);title(‘Pole-ZeroMap’),2．rlocus功能：求系統(tǒng)根軌跡。格式：[R,K]=rlocus(num,den)[R,K]=rlocus(num,den,k)[R,K]=rlocus(A,B,C,D)[R,K]=rlocus(A,B,C,D,k)說(shuō)明：rlocus函數(shù)可計(jì)算SISO開環(huán)模型的Evans根軌跡，根軌跡以反饋增益的函數(shù)形式給出了閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡（假定為負(fù)反饋）。,3．rlocfind功能：計(jì)算給定一組根的根軌跡增益。格式：[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D,P)[K,poles]=rlocfind(num,den)[K,poles]=rlocfind(num,den,P)說(shuō)明：函數(shù)rlocfind可計(jì)算出與根軌跡上極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)根軌跡增益。rlocfind既適用連續(xù)系統(tǒng),也適用離散時(shí)間系統(tǒng)[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)可在圖形窗口根軌跡圖中顯示十字光標(biāo)，當(dāng)用戶選擇其中一點(diǎn)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的增益由K記錄，與增益有關(guān)的所有極點(diǎn)記錄在poles中。,解：先繪制根軌跡圖，然后用rlocfind函數(shù)在圖中選擇極點(diǎn)位置，得到反饋增益。G=tf([0.05,0.045],conv([1,-1.8,0.9],[1,5,6]))rlocus(G),K=rlocfind(G),例：已知開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的根軌跡，并分析其穩(wěn)定性,num=[12];den1=[143];den=conv(den1,den1);figure(1)rlocus(num,den)[k,p]=rlocfind(num,den),figure(2)k=55;num1=k*[12];den=[143];den1=conv(den,den);[num,den]=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title(impulseresponse(k=55))figure(3)k=56;num1=k*[12];den=[143];den1=conv(den,den);[num,den]=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title(impulseresponse(k=56)),5.2.3控制系統(tǒng)頻域分析,頻率特性的定義：設(shè)某穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻率的正弦函數(shù)，其振幅與輸入正弦信號(hào)的振幅之比A(w)稱為幅頻特性，其相位與輸入正弦信號(hào)的之差稱為相頻特性。系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)之間具有以下重要關(guān)系：,反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：如果開環(huán)系統(tǒng)有P個(gè)極點(diǎn)在右半平面，相應(yīng)于頻率ω從-∞→+∞變化時(shí)，開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞（－1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N等于右半根平面內(nèi)的開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)P，那么閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。1、控制系統(tǒng)頻域Bode圖,系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率曲線，又稱為伯德(bode)圖。這種方法用兩條曲線分別表示幅頻特性和相頻特性。橫坐標(biāo)為w，按對(duì)數(shù)log(w)分度。對(duì)數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)表示，單位為“度”。而對(duì)數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)為：L(w)=20log(w)，單位為dB。,功能：對(duì)數(shù)頻率作圖函數(shù)，即伯德圖作圖。格式1：給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型作bode圖，頻率w由系統(tǒng)自動(dòng)給出。當(dāng)系統(tǒng)模型以狀態(tài)空間模型給出時(shí)，需指定第幾個(gè)輸入iu，SISO時(shí)iu省缺。格式2：給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型作bode圖，頻率w的范圍由人工給出，w的單位為rad/s，可以由函數(shù)logspace得到對(duì)數(shù)等分的w值。格式3：返回變量的值，不作圖。其中m為頻率特性G(jw)的幅值，p為頻率特性的幅角，w為頻率變化范圍。,例：作如下系統(tǒng)的bode圖：n=[1,1];d=[1,4,11,7];bode(n,d),解：1、ωn為固定值，ζ變化時(shí)，wn=1;zet=[0:0.1:1,2,3,5];holdonfori=1:length(zet)num=wn^2;den=[1,2*zet(i)*wn,wn^2];bode(num,den);endholdoff,2、ζ為固定值，ωn變化時(shí)，wn=[0.1:0.1:1];zet=0.707;holdonfori=1:length(wn)num=wn(i)^2;den=[1,2*zet*wn(i),wn(i)^2];bode(num,den);endholdoff,例：系統(tǒng)傳函如下，求有理傳函的頻率響應(yīng)，然后在同一張圖上繪出以四階伯德近似表示的系統(tǒng)頻率響應(yīng),um=[1];den=conv([12],conv([12],[12]));w=logspace(-1,2);t=0.5;[m1,p1]=bode(num,den,2);p1=p1-t*w*180/pi;[n2,d2]=pade(t,4);numt=conv(n2,num);dent=(conv(den,d2));[m2,p2]=bode(numt,dent,w);subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(m1),w,20*log10(m2),g--);gridon;title(bodeplot);xlabel(frequency);ylabel(gain);subplot(2,1,2);semilogx(w,p1,w,p2,g--);gridon;xlabel(frequency);ylabel(phase);,2、計(jì)算控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度,格式1：給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，作bode圖，并在圖上標(biāo)注幅值裕度Gm和對(duì)應(yīng)的頻率wg，相角裕度Pm和對(duì)應(yīng)的頻率wp。格式2：返回對(duì)應(yīng)變量的值，不作圖。格式3：給定頻率特性參數(shù)：幅值m、相位p和頻率w，由插值法來(lái)計(jì)算幅值裕度Gm和對(duì)應(yīng)的頻率wg，相角裕度Pm和對(duì)應(yīng)的頻率wp。,n=[3.5];d=[1232];Gclose=cloop(n,d,1);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(n,d)step(Gclose)從運(yùn)行結(jié)果可知，系統(tǒng)的幅值裕量很接近穩(wěn)定的邊界點(diǎn)1，且相位裕量只有7.1578，所以盡管閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但其性能不會(huì)太好。同時(shí)可以看出在閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)中有較強(qiáng)的振蕩。如果系統(tǒng)的相角裕量>45，則稱該系統(tǒng)有較好的相角裕量，然而這樣的數(shù)值不是很絕對(duì)。,G=tf(100*conv([1,5],[1,5]),conv([1,1],[1,1,9]));[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G)G_close=feedback(G,1);step(G_close)從運(yùn)行結(jié)果可以看出，該系統(tǒng)有無(wú)窮大的幅值裕量，且相位裕量高達(dá)85.4365，所以系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)是較理想的。,3、控制系統(tǒng)nyquist曲線,幅相頻特性曲線，又稱為奈奎斯特(Nyquist)曲線或極坐標(biāo)圖。它以w為參變量，以復(fù)平面上的矢量表示G(jw)的一種方法。,格式1：給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，作極坐標(biāo)圖。頻率的范圍由系統(tǒng)自動(dòng)給定。格式2：給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，作極坐標(biāo)圖。頻率的范圍由用戶給定。格式3：返回極坐標(biāo)圖參數(shù)，不作圖。其中re為復(fù)變函數(shù)G(jw)的實(shí)部，im為復(fù)變函數(shù)G(jw)的虛部，w為頻率，單位為：rad/sec,例：二階系統(tǒng)為：令wn=1,分別作出z=2,1,0.707,0.5時(shí)的nyquist曲線。n=[1];d1=[1,4,1];d2=[1,2,1];d3=[1,0.707,1]；d4=[1,1,1];nyquist(n,d1);holdonnyquist(n,d2);nyquist(n,d3);nyquist(n,d4);,G=tf(1000,conv([1,3,2],[1,5]));nyquist(G);axis(square)該圖中（－1，j0）點(diǎn)附近Nyquist圖的情況不是很清楚，（選擇圖形窗口中的放大按鈕），從局部放大的圖形可以看出，Nyquist圖逆時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)2次，而原開環(huán)系統(tǒng)中沒(méi)有不穩(wěn)定極點(diǎn)，從而可以得出結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)有2個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn)。這也可以由下面的MATLAB語(yǔ)句來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證。G_close=feedback(G,1);roots(G_close.den{1})由運(yùn)行結(jié)果可知，系統(tǒng)有三個(gè)根，其中有兩個(gè)根位于右半s平面，由此可見(jiàn)該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,例：分別由w的自動(dòng)變量和人工變量作下列系統(tǒng)的nyquist曲線：>>n=[1];d=[1,1,0];>>nyquist(n,d);>>w=0.5:0.1:3;>>nyquist(n,d,w);,,例：一多環(huán)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如下，使用Nyquist頻率曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,k1=16.7/0.0125;z1=[0];p1=[-1.25-4-16];[num1,den1]=zp2tf(z1,p1,k1);[num,den]=cloop(num1,den1);[z,p,k]=tf2zp(num,den);pfigure(1)nyquist(num,den)figure(2)[num2,den2]=cloop(num,den);impulse(num2,den2);,4、控制系統(tǒng)nichols曲線,用開環(huán)頻率特性求系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性時(shí)，需要畫出系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。繪制曲線一般比較麻煩，因此希望通過(guò)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性來(lái)求閉環(huán)頻率特性。下面介紹的尼柯爾斯圖線就是為滿足這個(gè)要求而提出的。對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線，又稱為尼柯爾斯(Nichols)曲線。該方法是以w為參變量，為橫坐標(biāo)，L(w)=20log(w)為縱坐標(biāo)。,格式1：給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，nichols曲線作圖。頻率范圍由系統(tǒng)自動(dòng)給定，可由ngrid函數(shù)在圖上加網(wǎng)格。格式2：給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，nichols曲線作圖。頻率范圍由用戶給定，可由ngrid函數(shù)在圖上加網(wǎng)格。格式3：返回對(duì)應(yīng)變量值，不作圖。m為頻率特性G(jw)的幅值，p為頻率特性G(jw)的相位，w為頻率。,例：已知系統(tǒng)為：作該系統(tǒng)的nichols曲線。n=[1];d=[1,1,0];ngrid(‘new’);nichols(n,d);,例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：K=2、k=10時(shí)，分別作nichols曲線。n1=[2];n2=[10];d=[1,3,2,0];ngridnichols(n1,d);nichols(n2,d);nichols(n1,d);holdonnichols(n2,d);,num=1;den=conv(conv([10],[11]),[0.51]);subplot(1,2,1);nichols(num,den);grid;subplot(1,2,2);g=tf(num,den);bode(feedback(g,1,-1));grid;由圖可見(jiàn)，開環(huán)對(duì)數(shù)幅相特性曲線與的等幅值圖線相切，切點(diǎn)的頻率為。所以，閉環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性將出現(xiàn)諧振峰值,諧振頻率，,,,,①李雅普諾夫第一方法求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題最簡(jiǎn)單的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，并觀察是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn)(不穩(wěn)定極點(diǎn))。如果有這樣的極點(diǎn)，則系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)，否則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。若穩(wěn)定系統(tǒng)中存在實(shí)部等于0的極點(diǎn)，則系統(tǒng)稱為為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。,5.2.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,可以用三種方法直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性a.求傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的根，系統(tǒng)穩(wěn)定所有的根應(yīng)具有負(fù)實(shí)部。root(den)b.求系統(tǒng)矩陣的特征多項(xiàng)式的根，系統(tǒng)穩(wěn)定所有的根應(yīng)具有負(fù)實(shí)部。p=eig(a)c.求系統(tǒng)極點(diǎn)，或利用下列函數(shù)顯示系統(tǒng)零極點(diǎn)在s平面上的位置，可以圖形方式顯示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。pzmap(num,den)pzmap(a,b,c,d),例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：分別確定k=2和k=10時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。d1=[1,3,2,0];n1=[2];[nc1,dc1]=cloop(n1,d,-1);roots(dc1)d2=d1;n2=[10];[nc2,dc2]=cloop(n2,d2);roots(dc2),例：系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。a=[-4,-3,0;1,0,0;0,1,0];b=[1;0;0];c=[0,1,2];d=0;eig(a)>>rank(ctra(a,b))系統(tǒng)可控性判別矩陣的秩為3，滿秩。系統(tǒng)可通過(guò)狀態(tài)反饋配置極點(diǎn)使得系統(tǒng)穩(wěn)定。,②李雅普諾夫第二方法P=lyap(A,Q)求解李雅普諾夫矩陣方程。李雅普諾夫矩陣方程為：AP+PA’=-QA為系統(tǒng)矩陣，Q為任意給定實(shí)對(duì)稱矩陣，P為李雅普諾夫矩陣方程解的矩（陣實(shí)對(duì)稱矩陣）。李雅普諾夫第二方法為：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：對(duì)于任意給定對(duì)稱正定矩陣Q，如果存在一個(gè)實(shí)對(duì)稱正定矩陣P滿足李雅普諾夫矩陣方程，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)Xe=0處是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例：系統(tǒng)為：試由李雅普諾夫第二方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。a=[1,-3.5,4.5;2,-4.5,4.5;-1,1.5,-2.5];q=eye(3);p=lyap(a,q)det(p(1,1))det(p(1:2;1:2))det(p),作業(yè),1、求下列系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、零輸入響應(yīng)。,2、求下列系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)。u(t)y(t),G1(s),G2(s),,,,,,,,,3、繪制如下系統(tǒng)的伯德(bode)圖:,4、繪制如下系統(tǒng)的奈奎斯特(Nyquist)曲線:5、繪制如下系統(tǒng)的尼柯爾斯(Nichols)曲線:K=2、5、10,6.求系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度,