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工程中的不確定性統(tǒng)計(jì)與概率,了解統(tǒng)計(jì)與概率的基本知識(shí)數(shù)據(jù)表達(dá)方法離散和連續(xù)分布正態(tài)分布及查表單獨(dú)事件和多重事件的概率從散亂數(shù)據(jù)中獲得其變化規(guī)律。統(tǒng)計(jì)與概率在統(tǒng)計(jì)過程控制以及公差上的應(yīng)用。,學(xué)習(xí)目標(biāo)：,概述,不確定性是人類生產(chǎn)生活中的重要組成部分。在工程設(shè)計(jì)中，如果能夠?qū)Σ淮_定性進(jìn)行量化分析并能預(yù)測(cè)不確定性的水平，將對(duì)設(shè)計(jì)和制造產(chǎn)生重大影響。,工程設(shè)計(jì)中的不確定性可以分成兩種:概率問題：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)模型的參數(shù)是已知的，我們可以根據(jù)這些參數(shù)來推導(dǎo)出系統(tǒng)的行為。統(tǒng)計(jì)問題：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)模型的參數(shù)是未知的，需要通過對(duì)獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析來獲得這些參數(shù)。,假設(shè)某公司年產(chǎn)1000臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，其中5臺(tái)為次品。次品可以通過100%的檢測(cè)程序得到消除。如果更換一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)需要$10,000，而檢測(cè)一臺(tái)需要$100，相應(yīng)的費(fèi)用為:檢測(cè):1000*$100=$100,000更換:5*$10,000=$50,000顯然，更換的費(fèi)用低。如果次品數(shù)超過10，檢測(cè)將會(huì)更經(jīng)濟(jì)。因此,公司必須對(duì)加工工程有一個(gè)很好的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以便獲得發(fā)生次品概率的大小，從而決定采用哪種方案（檢測(cè)或更換）更加經(jīng)濟(jì)。在工程設(shè)計(jì)的整個(gè)過程中，都將應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率。,例,統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表示最簡單的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以從一個(gè)量的重復(fù)測(cè)量得到，如：人的身高、體重、氣溫等。這樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)通常是一列數(shù)字，而這樣的一列數(shù)字一般是很抽象的，需要通過可視化的方法加以形象表達(dá)。,常用的可視化表達(dá)方法：直方圖直方圖是用來表達(dá)數(shù)據(jù)最簡單的方法。直方圖將數(shù)據(jù)按區(qū)間組合，并以圖形形式顯示出來。累積分布以圖形形式顯示小于指定值的數(shù)據(jù)數(shù)量。,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表達(dá)方法,一個(gè)班28個(gè)學(xué)生的成績數(shù)據(jù)如下：70,73,74,76,76,76,76,77,77,77,78,78,79,79,83,83,84,85,86,87,89,89,90,90,92,92,93,97成績數(shù)據(jù)已經(jīng)按大小順序排列。將它們分成6個(gè)區(qū)間，有：區(qū)間學(xué)生數(shù)累積數(shù)70-74:3375-79:111480-84:31785-89:52290-94:52795-99:128,例,Distribution,圖形化的表示使得我們對(duì)數(shù)據(jù)有更深入的理解。為了能夠更簡單地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，必須采用一些更加實(shí)用的參數(shù)。下面將定義一些常用的統(tǒng)計(jì)術(shù)語,1、均值:,3、方差：標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)的平方,4、標(biāo)準(zhǔn)偏差:,對(duì)離散分布:,2、眾數(shù):一組中出現(xiàn)最頻繁的數(shù),5、極差：xi中最大值與最小值之間的差,分母上的N-1往往會(huì)帶來混淆。原因：當(dāng)用有限采樣來評(píng)估大的群體時(shí)，采用N-1能得到更好評(píng)估效果。,方差,對(duì)于前面的例子:70,73,74,76,76,76,76,77,77,77,78,78,79,79,83,83,84,85,86,87,89,89,90,90,92,92,93,97N=28均值為82.35方差為51.20標(biāo)準(zhǔn)偏差為7.15極差為：97-70=27,課堂練習(xí)(5分鐘),課堂練習(xí)1,給出如下數(shù)據(jù):51,53,54,56,56,56,56,57,57,57,58,59,63,63,64,65,66,67,69,69,70,72,72,72,73,76(a)用六個(gè)區(qū)間繪制直方圖.(b)繪制累積分布圖.,課堂練習(xí)1,給出如下數(shù)據(jù):51,53,54,56,56,56,56,57,57,57,58,59,63,63,64,65,66,67,69,69,70,72,72,72,73,76(a)用六個(gè)區(qū)間繪制直方圖.(b)繪制累積分布圖.,525762677277,,,121086420,,,,,,,,51-553356-6091261-6541666-7052171-7542576-80126,區(qū)間NCN,課堂練習(xí)1,在一個(gè)數(shù)據(jù)分布中，數(shù)據(jù)xi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi，有：,均值:,方差:,離散分布:,注意一個(gè)給定分布的均值與方差以及用有限采樣評(píng)估該分布所得到的均值與方差之間的差別。,均值:,方差:,整體,有限采樣,增加測(cè)量數(shù)據(jù)和區(qū)間數(shù)量。繪制頻數(shù)圖。,f=測(cè)量數(shù)據(jù)的頻數(shù),f,f,,連續(xù)分布,連續(xù)分布:,假設(shè)分布中的數(shù)據(jù)量足夠大，我們可以將區(qū)間劃分得任意小。在極限狀態(tài)下，我們可以說概率密度函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。這樣處理能極大地方便計(jì)算。有時(shí)，即使數(shù)據(jù)量有限，我們也會(huì)采用連續(xù)分布來處理。,當(dāng)區(qū)間數(shù)量趨于無窮大時(shí)，將有限求和換成求積分，則可得到連續(xù)分布的均值和方差。首先，我們標(biāo)準(zhǔn)化這個(gè)分布，使得概率密度函數(shù)滿足：,,x1和x2之間的測(cè)量數(shù)據(jù)所占的比例分?jǐn)?shù),連續(xù)分布:,均值:,方差:,連續(xù)分布:,則有：,幾種常見的分布,均勻分布正態(tài)分布,定義：均勻分布是指在分布中任何一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率是相同的。如圖在區(qū)間上的均勻分布的概率密度函數(shù)為：,均值,方差,變量代換,均勻分布:,,,正態(tài)分布,正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種分布，很多現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來描述，如：工藝誤差、測(cè)量誤差、材料特性、應(yīng)力分布、學(xué)生成績等都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布。,正態(tài)分布:,正態(tài)分布記為：N(μ,σ2)。通常正態(tài)分布是對(duì)稱的。,,不斷增大,正態(tài)分布的概率密度函數(shù)可以用下式表示:,正態(tài)分布也稱高斯分布,正態(tài)分布密度函數(shù),正態(tài)分布N(μ,σ2)，μ稱為位置參數(shù)，σ稱為形狀參數(shù)；當(dāng)固定σ，改變?chǔ)痰拇笮r(shí)，正態(tài)分布的密度曲線形狀不變，只是沿著X軸作平移變化；當(dāng)固定μ，改變?chǔ)业拇笮r(shí)，正態(tài)分布的密度曲線的對(duì)稱軸不變，而形狀在改變。σ越小，圖形越高越瘦；σ越大，圖形越矮越胖。,f(x),μ,σ,累積分布為:,給出了位于x左面的面積分?jǐn)?shù),為值小于（等于）x的概率。累積分布是均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的函數(shù)。,正態(tài)分布:,累積分布函數(shù)變成：,當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0,1)。正態(tài)分布通過變量變換，可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,其中：均值μ為0標(biāo)準(zhǔn)偏差σ為1,正態(tài)分布:,分布函數(shù),累積分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,正態(tài)分布的累積分布函數(shù)可以通過下面的變換從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中得到：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,通過查表，可以獲得累積正態(tài)分布的值,x.xx,,x.xx,,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,通常,F(z)表中的z>0.對(duì)于z<0，由于正態(tài)分布的對(duì)稱性，有F(-z)=1-F(z).,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,例-I,例-I,某值落在在均值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差范圍內(nèi)的概率是多少？,查表可得,F(1)=0.8413.,F(1)-F(-1)=0.8413-0.1587=0.6826,約30%左右的值落在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差范圍之外。,,,F(-1)=1-F(1)=1-0.8413=0.1587,,,,,,,,,,,,,F(-1),1-F(1),,,Example-I,例-II,例-II,某值落在在均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差范圍內(nèi)的概率是多少？,查表可得,F(2)=0.9772.,約5%左右的值落在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差范圍之外。,,,F(2)-F(-2)=F(2)-(1-F(2))=2*F(2)-1=2*0.9772-1=0.9544,,,,,,,,,,,,,F(-2),1-F(2),,,例-II,,,,例-III,例-III,例-III,某公司入庫250個(gè)連桿,抗張強(qiáng)度均值為45ksi(kilopoundsquareinch，千磅/平方英寸)，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5kpsi.假設(shè)抗張強(qiáng)度服從正態(tài)分布。(a)有多少連桿的抗張強(qiáng)度將低于39.5kpsi.,例-III,由于z<0,我們用公式：F(-1.10)=1-F(1.10)=1-0.8643=0.1357,（查表）.于是,250*0.1357=3434個(gè)連桿的抗張強(qiáng)度將低于39.5kpsi,先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換:,,,例-III,某公司入庫250個(gè)連桿,抗張強(qiáng)度均值為45ksi(kilopoundsquareinch，千磅/平方英寸)，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5kpsi.假設(shè)抗張強(qiáng)度服從正態(tài)分布。(b)有多少連桿的抗張強(qiáng)度位于39.5kpsi和59.5kpsi之間？,例-III,由表,F(2.9)=0.9981,所以抗張強(qiáng)度大于的概率為1-0.9981=0.0019.抗張強(qiáng)度位于39.5kpsi和59.5kpsi之間的概率為:1-0.1357-0.0019=0.8624.于是有250*0.8624=216個(gè)連桿的抗張強(qiáng)度位于39.5kpsi和59.5kpsi之間。,先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換:,,,課堂練習(xí)(5分鐘),課堂練習(xí)2,500根鋼棒的長度服從正態(tài)分布。其均值為11cm，標(biāo)準(zhǔn)偏差為1cm。試估計(jì)長度大于10cm的鋼棒的數(shù)量.,課堂練習(xí)2,500根鋼棒的長度為正態(tài)分布。其均值為11cm，標(biāo)準(zhǔn)偏差為1cm。試估計(jì)長度小于10cm的鋼棒的數(shù)量.,由于z<0,用以下公式F(-1)=1-F(1)=1-0.8413=0.1587,（查表）于是，有500*0.1587=79根鋼棒的長度小于10cm,,,課堂練習(xí)2,先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換:,本講結(jié)束謝謝！,