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專題一合情推理,初中階段考查合情推理的試題通常由數(shù)字規(guī)律類、圖形規(guī)律類及數(shù)形結合類等形式呈現(xiàn),無論是哪一類,本質(zhì)都是在考查觀察、分析、猜想、歸納、驗證等諸方面能力.多年來,各地中考都非常重視這個知識的考查,安徽數(shù)學中考更是如此,幾乎每年都有這類試題.如2015年第13題,2016年第18題,2017年第19題,2018年第18題(注:本書的9個專項提升只追述到近4年安徽中考,不再往前贅述).分析近幾年這類試題的變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)數(shù)形結合類的試題難度較大.,類型1,類型2,類型3,數(shù)字規(guī)律類合情推理典例1(2018安徽第18題)觀察以下等式:,按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個等式:;(2)寫出你猜想的第n個等式:(用含n的等式表示),并證明.,類型1,類型2,類型3,類型1,類型2,類型3,【名師點撥】(1)繼續(xù)實驗:原題中只寫了5個等式,如果分析后仍找不出規(guī)律,可以按照已知的5個等式的規(guī)律再寫出第6個、第7個等式,…,從而積累數(shù)學活動經(jīng)驗,有利于總結歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律;(2)檢驗猜想:如本題歸納出猜想的等式“”后,應該代入數(shù)字檢驗它的正確性,即檢驗當“n=1,n=2,n=3”時所得等式與已知等式是否相同;(3)證明要求:在注意這類問題證明格式的特殊要求的同時,還應注意化簡的原則是“化繁為簡”,即左邊復雜則化簡左邊,右邊復雜則化簡右邊,兩邊都復雜則兩邊都化簡.(4)改變數(shù)據(jù):對于數(shù)字變化類合情推理試題,大多是命題者先確定一個代數(shù)式(或等式),再令“n=1,n=2,n=3,…”,從而命制出試題.比如試題命制者先確定代數(shù)式n2-1,就可以寫出數(shù)據(jù)0,3,8,15,24,…,這時第n個數(shù)據(jù)當然是n2-1.知道了這一點,如果找不到規(guī)律,就可以適當改變原數(shù)據(jù)(最后還原),我們把這個經(jīng)驗稱之為改變數(shù)據(jù).,類型1,類型2,類型3,圖形規(guī)律類合情推理典例2我們把正六邊形的頂點及其對稱中心稱作如圖(1)所示基本圖的特征點,顯然這樣的基本圖共有7個特征點,將此基本圖不斷復制并平移,使得相鄰兩個基本圖的一邊重合,這樣得到圖(2),圖(3)…….,……,類型1,類型2,類型3,(1)觀察以上圖形并完成下表:,猜想:在圖(n)中,特征點的個數(shù)為(用n表示);,類型1,類型2,類型3,(2)如圖,將圖(n)放在直角坐標系中,設其中第一個基本圖的對稱中心O1的坐標為(x1,2),則x1=;圖(2013)的對稱中心的橫坐標為.,【解析】(1)用代數(shù)式表達特征點的個數(shù),觀察可知,用(5n+2)表示;(2)找出規(guī)律可知,圖(2013)的對稱中心是O1007,求出其橫坐標即可.,類型1,類型2,類型3,【答案】(1)由題意可知,圖(1)中特征點有7個;圖(2)中特征點有12個,12=7+51;圖(3)中特征點有17個,17=7+52;則圖(4)中特征點有7+53=22個;由以上猜想圖(n)中特征點有7+5(n-1)=(5n+2)個.(2)過點O1作O1M⊥y軸于點M,,類型1,類型2,類型3,【名師點撥】繼續(xù)堅持典例1【名師點撥】中的四個經(jīng)驗,這里再強調(diào)一點:表格中的數(shù)據(jù)“7,12,17,22,…”是結果數(shù)據(jù),不利于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,我們應該根據(jù)圖形變化規(guī)律記錄過程數(shù)據(jù),如記為“7,7+5,7+5+5,7+5+5+5,…”,這樣就容易發(fā)現(xiàn)圖(n)的特征點的個數(shù)為7+5(n-1)=5n+2,我們稱之為記錄過程數(shù)據(jù).,類型1,類型2,類型3,命題拓展考向探究平面直角坐標系中的圖形變化規(guī)律在平面直角坐標系中,一螞蟻從原點O出發(fā),按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動,每次移動1個單位.其行走路線如下圖所示.,(1)填寫下列各點的坐標:A1(,),A3(,),A12(,);(2)寫出點A4n的坐標(n是正整數(shù));(3)指出螞蟻從點A100到A101的移動方向.,類型1,類型2,類型3,【答案】(1)A1(0,1),A3(1,0),A12(6,0).(2)由題圖知,螞蟻的運動是以4為周期,每行走路程為4個單位時,其沿x軸方向前進2個單位,故A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0),…,A4n(2n,0).(3)由(2)及100=425知,螞蟻從點A100到A101的移動方向是向上.,類型1,類型2,類型3,數(shù)形結合類合情推理,類型1,類型2,類型3,類型1,類型2,類型3,再根據(jù)這個規(guī)律,完成下列問題:①按此規(guī)律,第n個圖形的面積為()2-2;(用含n的式子填空)②比較兩個猜想,寫出你發(fā)現(xiàn)的結論并驗證.,類型1,類型2,類型3,類型1,類型2,類型3,【名師點撥】了解幾個常見的規(guī)律問題,并掌握其合并方法.如:①1+2+3+…+n=;②;③1+21+22+23+…+2n=2n+1-1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1.(2018湖南張家界)觀察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,則2+22+23+24+25+…+22018的末位數(shù)字是()A.8B.6C.4D.0【解析】21的末位數(shù)字為2,21+22的末位數(shù)字為6,21+22+23的末位數(shù)字為4,21+22+23+24的末位數(shù)字為0,21+22+23+24+25的末位數(shù)字為2,從而發(fā)現(xiàn)周期為4,20184的余數(shù)是2,因此2+22+23+24+25+…+22018的末位數(shù)字與21+22的末位數(shù)字相同,為6.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.用棋子擺出下列一組圖形:按照這種規(guī)律擺下去,第n個圖形用的棋子個數(shù)為()A.3nB.6nC.3n+6D.3n+3【解析】借助圖形特點,可以發(fā)現(xiàn):第一個圖形用的棋子個數(shù)為31+3;第二個圖形用的棋子個數(shù)為32+3;第三個圖形用的棋子個數(shù)為33+3,…,第n個圖形用的棋子個數(shù)為3n+3.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.將一些相同的“○”按如圖所示擺放,觀察每個圖形中的“○”的個數(shù),若第n個圖形中“○”的個數(shù)是78,則n的值是()A.11B.12C.13D.14,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.觀察下面“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律,根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a的值為()A.23B.75C.77D.139【解析】由圖可知:上邊的數(shù)與左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù),上邊的數(shù)為連續(xù)的奇數(shù),左邊的數(shù)為21,22,23,…,26,由此可得a,b.∵上邊的數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7,9,11,左邊的數(shù)為21,22,23,…,∴b=26=64,∵上邊的數(shù)與左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù),∴a=11+64=75.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.(2018山東德州)我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中,用下圖的三角形解釋二項式(a+b)n的展開式的各項系數(shù),此三角形稱為“楊輝三角”.(a+b)0………………1(a+b)1……………11(a+b)2…………121(a+b)3………1331(a+b)4……14641(a+b)5…15101051……根據(jù)“楊輝三角”,請計算(a+b)8的展開式中從左起第四項的系數(shù)為()A.84B.56C.35D.28,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,【解析】找規(guī)律發(fā)現(xiàn)(a+b)4的第四項系數(shù)為4=3+1;(a+b)5的第四項系數(shù)為10=6+4;(a+b)6的第四項系數(shù)為20=10+10;(a+b)7的第四項系數(shù)為35=15+20,∴(a+b)8的第四項系數(shù)為21+35=56.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.(2018四川綿陽)將全體正奇數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:1357911131517192123252729…根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣中第25行的第20個數(shù)是()A.639B.637C.635D.633【解析】依題可得第25行的第一個數(shù)為1+2+4+6+8+…+224=1+2=601,∴第25行的第20個數(shù)為601+219=639.,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.觀察下列的“蜂窩圖”:則第n個圖案中“”的個數(shù)是.(用含有n的代數(shù)式表示)【解析】根據(jù)規(guī)律,第1個圖案中有4個,以后依次增加3個,故第n個圖案中“”的個數(shù)是3n+1.,3n+1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.一個小球從距地面1m高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半再落下.(1)小球第3次著地時,經(jīng)過的總路程為m;(2)小球第n次著地時,經(jīng)過的總路程為m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.如圖,在平面直角坐標系中,直線l:y=x-1與x軸交于點A1,如圖所示依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,…,正方形AnBnCnCn-1,使得點A1,A2,A3,…,An在直線l上,點C1,C2,C3,…,Cn在y軸正半軸上,請解決下列問題:(1)點A6的坐標是,點B6的坐標是;(2)點An的坐標是,正方形AnBnCnCn-1的面積是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:(1)由題意,A1(1,0),A2(2,1),A3(4,3),A4(8,7),A5(16,15),A6(32,31),…∴An(2n-1,2n-1-1)(n為正整數(shù)).觀察圖形可知,點Bn是線段CnAn+1的中點,∴點Bn的坐標是(2n-1,2n-1),∴B6的坐標是(32,63).(2)由(1)得An(2n-1,2n-1-1)(n為正整數(shù)),∴正方形AnBnCnCn-1的面積是(2n-1)2=22n-2(n為正整數(shù)).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.觀察下列式子:①20+1=12;②42+1=32;③86+1=72;④1614+1=152;…(1)請按規(guī)律寫出第⑤個式子:;(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個式子,并驗證其正確性.解:(1)3230+1=312.(2)第n個等式為2n(2n-2)+1=(2n-1)2.左邊=2n2n-2n2+1=22n-2n+1+1,右邊=(2n)2-22n1+1=22n-2n+1+1,∴左邊=右邊,∴等式成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.畢達哥拉斯學派對“數(shù)”與“形”的巧妙結合作了如下研究:,請寫出第六層各個圖形的幾何點數(shù),并歸納出第n層各個圖形的幾何點數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:∵三角形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1,2,3,∴第六層的幾何點數(shù)是6,第n層的幾何點數(shù)是n.∵正方形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1=21-1,3=22-1,5=23-1,∴第六層的幾何點數(shù)是26-1=11,第n層的幾何點數(shù)是2n-1.∵五邊形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1=31-2,4=32-2,7=33-2,∴第六層的幾何點數(shù)是36-2=16,第n層的幾何點數(shù)是3n-2.∵六邊形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1=41-3,5=42-3,9=43-3,∴第六層的幾何點數(shù)是46-3=21,第n層的幾何點數(shù)是4n-3.,