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微分方程建模（動態(tài)模型）,背景及問題特點：,動態(tài)模型目的,描述對象特征隨時間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規(guī)律,預報對象特征的未來性態(tài),研究控制對象特征的手段,微分方程建模,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù),根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設,按照內在規(guī)律或用類比法建立微分方程,當我們描述實際對象的某些特性隨時間（或空間）而演變的過程，并分析它的變化規(guī)律，預測它的未來性態(tài)時，通常要建立對象的動態(tài)模型,一、簡單的一階微分方程,,1、簡單的微分方程應用題,例1一個星期天，某人駕車在正午時分離開A處，下午3點20分到達B處。如速度計所指示的那樣，他從靜止開始，均勻地加速，當他到達B處時，速度為60mi/h，從A到B有多遠？,解：由速度計均勻加速可知，速度是時間的線性函數(shù)。又因為速度是距離關于時間的導數(shù)所以立即可得,兩邊積分得,再由題中條件可知,解得b=0，c=0，a=18，A到B的距離s=100mi,這是個簡單的例子，但由此可以了解到微分方程建模的思路,一、簡單的一階微分方程,例2細菌的增長率與總數(shù)成正比。如果培養(yǎng)的細菌總數(shù)在24h內由100增長為400，那么，前12h后總數(shù)是多少？,解：第一句話說的是任何瞬間都成立的事實；第二句話給出的是特定瞬間的信息。如果我們用y（t）表示總數(shù)，第一句話告訴我們,A，K這兩個常數(shù)可以由第二句話提供的信息計算出來,它的通解為,解得,故,接下來介紹建立微分方程的若干準則,二、若干準則,1、以上兩個例子遵循如下模式,對于涉及一個依賴于時間t的量y的情況，建立一個給出dy/dt，y與t之間關系的方程，它在任何特定時刻t都成立，對這個方程積分，便得到一個只含y，t而不含dy/dt得新方程。這個新方程中含有積分常數(shù)，并且對任何特定的t仍然成立。問題中給出的僅在一些特定時刻成立的信息將用來計算這些積分常數(shù)以及任何其它參數(shù)。最后，我們得到一個函數(shù)y(t)，對任何其它的t值，可立刻算出y(t)。,2、若干準則,1）轉化,在實際問題當中，有許多表示導數(shù)的常用詞，如速率，增長，衰變，以及邊際等?！案淖儭?、“變化”“增加”、“減少”，這些詞就是信號，注意什么在變。,二、若干準則,想想你考慮的問題是否遵循什么原則或物理定律，是應用已知定律？還是推導問題的合適結果？這些問題的回答將直接引導你如何處理問題。不少問題遵循以下模式：,凈變化率=輸入率-輸出率,2）微分方程,微分方程是一個在任何時刻都必須正確的瞬時表達式。如果看到了表示導數(shù)的關鍵詞，你就尋找y，dy/dt，t之間的關系，可以先由文字公式入手：凈變化率=輸入率-輸出率，再變?yōu)榉匠獭?3）單位,一旦認定那些項應該列入方程，那就要注意這些項的單位一致。并且有些系數(shù)的單位不是自動生成的,4）給定的條件,這是關于系統(tǒng)在某一特定時刻的信息，由這些條件可以確定方程中有關參數(shù)。,三、舉例,例3將室內一支讀數(shù)為60的溫度計放到室外，10min后溫度計的讀數(shù)為70，又過了10min，讀數(shù)為76，利用牛頓冷卻定律計算室外溫度。,牛頓冷卻定律:將溫度為T的物體放入處于常溫m的介質中T的變化速率正比與T與周圍介質的溫度差。,解:由牛頓冷卻定律可知：dT/dt與T-m成比例,即,結合給定的三個條件,方程的解為：T=Aekt+m,計算出A,K,m,習題,2、結合例3，如果空氣的溫度是20且沸騰的水在20min內冷卻到60，水溫降到30要多少時間？,3、現(xiàn)有整整4000ml10的化學溶液，一位攝影師將一只盛有40ml90的水的塑料杯浮在溶液上，試將溶液的溫度表示為時間的函數(shù)，并與例3比較,習題解答,2、解,3、解這不是周圍介質保持常溫的情況，因此需要對例3做修改此時介質的體積是要考慮的，因為體積小者變涼或熱比體積大者變涼或熱要快或明顯。物理定律：具有有限體積和不同溫度的物體相遇，熱流守恒。即,本題中V1=1oz,V2=100oz,代入上式中解得,這是一個微分方程組,三、舉例,例4某人的食量是2500cal/天，其中1200cal用于基本新陳代謝在健身訓練中，他所消耗的大約是16cal/kg/天乘以他的體重。假設以脂肪形式儲存的熱量100%有用，而1kg脂肪含10000cal的熱量，求出這個人的體重是怎樣隨時間變化的。（大家先思考）,解：問題中沒有“導數(shù)”這樣十分關鍵的詞出現(xiàn)，但我們可以把注意力集中在最后的問題，它指出了體重(w)關于時間的函數(shù)。,,問題涉及的時間是每天，首先列出文字公式,每天重量的變化=輸入-輸出；,輸入是指：除去新陳代謝的凈重量吸收,輸出是指：訓練中的消耗WPE,三、舉例,結合以上分析可得：每天體重的變化=凈吸收量-WPE,每天的凈吸收量=2500cal-1200cal=1300cal,每天的凈輸出=16*wcal/天,每天體重的變化：dw/dt(kg/天),由于此時單位不一致，需要將單位化為一致。,這就用到了題中最后一句話，由此可得,Kg/天=凈cal/天除以10000cal/kg,將數(shù)據(jù)代入可得,dw/dt=(1300-16w)/10000,假設初始時刻t=0，w=w0可得方程的解,三、舉例,題目中提出的問題我們就回答了，現(xiàn)在我們再考慮一個可能附加的問題：“這個人體重會達到平衡嗎？”,由我們建立的微分方程我們便可以回答這個問題：,當t趨于無窮大時，上式第二項趨于0，所以w趨于1300/16,例5在一個巴基斯坦洞穴里，發(fā)現(xiàn)古人的人骨碎片，科學家將其帶回做碳14年代測定，分析表明碳14和碳12的比例僅僅是活體組織內的6.24%，確定此人生活在多少年前？,（碳14年代測定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素碳14這種放射性碳由與宇宙射線在高層大氣中撞擊引起，經(jīng)過一系列交換過程進入活組織中，直到在體內達到平衡，在活體中碳14和穩(wěn)定的碳12的數(shù)量成定比。死亡后交換停止，碳14以每年8千分之一的速度減少。）,三、舉例,例5求解：我們問題實際上是：“這個人死了多久？”。設t為死后年數(shù)，y(t)=C14/C12,則上文最后一句話給出了我們的微分方程(單位：mgC14/mgC12/yr),dy/dt=y/8000,放射性衰變的這種性質還可以描述為“放射性物質在任意時刻的衰變速度都與該物質現(xiàn)存的數(shù)量成比例.C14的比例數(shù)為每年1/8000,積分后解只帶一個常數(shù)，設t=0時，y=y0即活體中C14的比例,微分方程的通解為：,題中要我們求出：,時的t,將y代入上式解得t=22400yr,三、舉例,習題結合例5，計算C14的半衰期是多少？（數(shù)量衰減到一半的時間）,解由例5可知,三、舉例,例6一只裝滿水的圓柱型桶，底面半徑為10ft，高為20ft底部有一個直徑為1ft的孔，問桶流空要多少時間？,對孔的流速加一個假設：假設時刻t的流速依賴與此刻桶內水的高度h(t),顯然裝滿水時要比快流空時要快，進一步的假設無能量損失，那么當少量水流出時，頂部減少的勢能須等于等量的水流出小孔時的動能。即mgh=1/2mv2，則可得：v=(2gh)1/2,這是物理中的托利拆里定律，模型這樣假設看起來過于簡單但至少速度依賴與高度看來是合理的，接下來進行數(shù)學上的分析,解：隨著水從小孔流出，桶內水的體積不斷的減少，設A為桶的水平面積，B為孔的水平面積。,則在任意時間間隔dt內，-Adh=Bds,ds為孔dt時間內水流的距離,問題是t=？時h=0。所以要求出h(t)。此時可通過上面的方程求出,三、舉例,將上面的方程改寫為：dh=-(B/A)ds,A,B可以算出但ds?,根據(jù)前面物理上的分析，將ds改為：ds=(ds/dt)dt=vdt,從而dh=-(B/A)vdt,計算出A=pi(10)2,B=pi(1/2)2,v=(2(32)h)1/2=8h1/2,解得2h1/2=[-8(1/2)2t/100]+k,由于t=0時，h=20，得k=2(20)1/2,故可以求出h=0時，t≈18h,習題8、一只底部開口面積為0.5cm2的圓錐型漏斗高為10cm，頂角為60，其內裝滿水，水流完要多少時間？,習題解答,8、解同例6水面的改變量=洞口的流量,四、習題,,4、一滴球形雨滴，以與它表面積成比例的速度蒸發(fā)，求其體積關于時間的函數(shù),解：體積有r3決定，表面積有r2決定，V=k1r3，S=k2r2=kV2/3由題意可得：dv/dt=-cv2/3,負號說明V減少分離變量得到V=((-ct+Q)/3)3,t=0時，V=V0.Q=V01/3,5、一只100升的水箱，盛滿了水和20g的鹽，將淡水以2升/min的速度抽入箱內，連續(xù)的攪拌混合液，并使箱內溶液保持在100升，問1h后鹽的濃度稀釋了多少？,解：設鹽的數(shù)量=S，S單位時間的減少量=抽入-排出。ds/dt=(0g/L)(2L/min)-((S/100)g/min)(2L/min)=-S/50解得S=ke(-1/50)t，t=0時，S=20,解得k=20。,四、習題,6、一只水桶，內盛有10L溶解了5g鹽的鹽水，將每升含2g鹽的鹽水以3L/min的速度灌入桶中，并攪拌均勻以同樣的速度流出a)8min后流出桶的鹽水中鹽的濃度是多少?b)足夠長時間后，桶內鹽有多少？,解：記S=鹽的數(shù)量則ds/dt=流入-流出=(2g/L)(3L/min)-(s/10)g/L)(3L/min)=6-(3s/10)解得S=20(1-ce(-3t/10))，由初始條件S(0)=5,得c=3/4,四、習題,7、污染物質的含量為2g/L的水以500L/min的速度流過處理箱。在箱內每分鐘處理掉2%的污染物，且水被徹底搖勻。處理箱可容納10000L的水，在處理場開張時，箱內裝滿純凈水，求流出的水中污染物濃度的函數(shù)？,解設p(t)=箱內污染物的數(shù)量dp/dt=流入-流出=(2g/L)(500L/min)-(p(t)g/10000L)(500L/min)-0.02p(t)g/min解得dp/dt=1000-0.07p及p=(10000/7)(1-ce-0.07t)由t=0時，p=0，得c=1,習題解答,,9、試建立在做了葡萄糖輸液后，人體內葡萄糖濃度的模型。當葡萄糖輸入時，自由葡萄糖的濃度勢必下降（由于與磷化為結合所致）濃度下降的速度與葡萄糖的數(shù)量成正比。用G表示葡萄糖的濃度，A表示輸入速度(mg/min),B表示體內液體的體積。尋求體內的葡萄糖濃度是否以及怎樣達到平衡？,解：G(t)為葡萄糖濃度，A為葡萄糖注入速度：單位mg/min速度=輸入-輸出dG/dt=(A/V)-KG平衡狀態(tài)下G(t)不做大的變化，即dG/dt=0，此時G=A/KV。當G>A/KV時,dG/dt0.此時可求出二階導數(shù)，并畫出G(t)得圖像。,G(t)的解析解為：,習題解答,10、上題中有不足之處，它假設體內液體的體積為常數(shù)，然而，由于體內含大約4600ml的血液，輸入500ml的葡萄糖后，體積的變化是不容忽視的，如何修改上述模型？,解合理的可變體積模型：V不再是常量，記S為每分鐘注入的溶液的體積：V=V0+St在S與A之間存在一種關系：在注入的溶液中葡萄糖的濃度為常數(shù)即：A/S=常數(shù)C,此時沒有平衡狀態(tài),此時方程變?yōu)?