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第10章單因素方差分析One-factoranalysisofvariance,用6種培養(yǎng)液培養(yǎng)紅苜蓿，每一種培養(yǎng)液做5次重復(fù)，測定5盆苜蓿的含氮量，結(jié)果如下表（單位:mg）．問用6種不同培養(yǎng)液培養(yǎng)的紅苜蓿含氮量差異是否顯著？,方差分析(analysisofvariance－ANOVA)是由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。方差分析是一種特殊的假設(shè)檢驗(yàn)，是用來判斷多組數(shù)據(jù)之間平均數(shù)差異顯著性的．它不同于t檢驗(yàn)之處在于：它把所有數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對所有各組間是否有差異做出判斷，如果沒有顯著性差異，則認(rèn)為各組平均數(shù)相同；如果發(fā)現(xiàn)有差異，再進(jìn)一步比較是哪組數(shù)據(jù)與其它數(shù)據(jù)不同．,在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時(shí)，可以在平均數(shù)的所有對之間做t檢驗(yàn)，但這樣做會(huì)提高犯I型錯(cuò)誤的概率，因而是不可取的。方差分析可以防止該問題的出現(xiàn)。如對5個(gè)平均數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，若做t檢驗(yàn)，則需做10次，假設(shè)每一次檢驗(yàn)接受零假設(shè)的概率為0.95，那么10次都接受零假設(shè)的概率為（0.95）10=0.60，（至少有1次）拒絕零假設(shè)的概率為0.40，犯I型錯(cuò)誤的概率明顯平加,方差分析中常用基本概念（一）試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalindex)為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測定的性狀或觀測的項(xiàng)目。（二）試驗(yàn)因素(experimentalfactor)試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素試驗(yàn)；若同時(shí)研究兩個(gè)或兩個(gè)以上的因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱為兩因素或多因素試驗(yàn)。按是否可控制因素可分為：固定因素和隨機(jī)因素．,固定因素：可準(zhǔn)確控制且其水平固定后效應(yīng)也固定，比如：溫度、化學(xué)藥物濃度等．隨機(jī)因素：因素水平不能嚴(yán)格控制或者說即使其水平可控制但其效應(yīng)也不固定．比如：動(dòng)物的窩別、農(nóng)家肥的效果等．試驗(yàn)因素常用大寫字母A、B、C、…等表示。（三）因素水平(leveloffactor)試驗(yàn)因素所處的某些特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。比如：不同的溫度；溶液不同濃度等．（四）重復(fù)(repeat)在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。,第一節(jié)單因素方差分析的基本原理,一、線性模型二、固定線性模型三、隨機(jī)線性模型四、多重比較五、基本假定,（一）線性模型假設(shè)某單因素試驗(yàn)有a個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有na個(gè)觀測值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表7-1所示。,一、線性模型,表7-1單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)模式,各處理總和、平均數(shù)、大總和、總平均數(shù)是計(jì)算的一級數(shù)據(jù)，在本章我們采用了黑點(diǎn)符號體系法表示，要注意熟悉和掌握。,可以分解為表示第i個(gè)處理觀測值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將再進(jìn)行分解，其中μ表示全試驗(yàn)觀測值的總體平均數(shù)(overallmean)，是第i個(gè)處理的效應(yīng)(treatmenteffect),表示處理i對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，σ2）。,上式就稱為單因素試驗(yàn)的線性統(tǒng)計(jì)模型（linearstatisticalmodel）亦稱數(shù)學(xué)模型。方差分析的目的就是要檢驗(yàn)處理效應(yīng)的大小和有無。（二）方差分析的基本思路將總的變差分解為構(gòu)成總變差的各個(gè)部分。即將a個(gè)處理的觀測值作為一個(gè)整體看待，把觀察值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源的總體方差估計(jì)值；通過這些估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體均值是否相等。方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。,二固定模型fixedmodel:因素固定、效應(yīng)也固定反應(yīng)到線性模型中即為常數(shù)．可要求1.假設(shè)固定模型的零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：,故an個(gè)觀察值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。全部觀察值的總變異可以用總均方來度量，處理間變異和處理內(nèi)變異分別用處理間均方和處理內(nèi)均方來度量。,2.平方和與自由度的剖分,總均方的拆分是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和(totalsumofsquares，SST)，剖分成處理間平方和(sumofsquaresbetweentreatments，SSA)與處理內(nèi)平方和(sumofsquareswithintreatment，SSe)兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實(shí)現(xiàn)的。處理間均方（處理均方，MSA）處理內(nèi)均方（誤差均方，MSe）,總平方和的拆分,三種平方和的簡便計(jì)算公式如下：①等重復(fù)時(shí)：,②不等重復(fù)時(shí)：,?在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀察值要受這一條件約束，總自由度等于資料中觀察值的總個(gè)數(shù)減1，即an-1?？傋杂啥扔洖閐fT，則dfT=an-1。?在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即a-1。處理間自由度記為dfA，則dfA=a-1。,總自由度的拆分,?在計(jì)算處理內(nèi)平方和時(shí)，要受a個(gè)條件的約束，即，i=1,2,...a。故處理內(nèi)自由度為資料中觀察值的總個(gè)數(shù)減a，即an-a。處理內(nèi)自由度記為dfe，則dfe=an-a=a(n-1)。因?yàn)閚a-1=(a-1)+(na-a)=(a-1)+a(n-1)所以dfT=dfA+dfe綜合以上各式得：,各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方（誤差均方）,分別記為：MST(或ST2)、MSA(或SA2)和MSe(或Se2),即MST=ST2=SST/dfT;MSt=St2=SSt/dft;MSe=Se2=SSe/dfe注意：?在方差分析中不涉及總均方的數(shù)值，所以一般不必計(jì)算；?總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。,,3.期望均方(expectedmeansquaresEMS）若A是B的無偏估計(jì)，則稱B是A的數(shù)學(xué)期望。處理內(nèi)均方MSe是誤差方差?2的無偏估計(jì)值，即?2稱為MSe的數(shù)學(xué)期望。,4.統(tǒng)計(jì)量當(dāng)零假設(shè)成立時(shí)，處理效應(yīng)的方差為零，亦即各處理觀察值總體均數(shù)?i(i=1，2，…，a)相等時(shí)，處理間均方MSA與處理內(nèi)均方一樣，也是誤差方差?2的估計(jì)值。方差分析就是通過MSA與MSe的比較來推斷各處理平均數(shù)間差異的大?。瓼=MSA/MSeF具有兩個(gè)自由度：df1=dfA=a-1;df2=dfe=a(n-1)。,查附表7:?若F＜，即P＞0.05，不能否定H0，可認(rèn)為各處理間差異不顯著；?若≤F＜，即0.01＜P≤0.05,否定H0，接受HA，認(rèn)為各處理間差異顯著，標(biāo)記“*”;?若F≥，即P≤0.01，否定H0，接受HA，認(rèn)為各處理間差異極顯著，標(biāo)記“**”。,【例10.2】某試驗(yàn)研究不同藥物對腹水癌的治療效果，將患腹水癌的25只小白鼠隨機(jī)分為5組，每組5只。其中A1組不用藥作為對照，A2、A3為兩個(gè)不同的用中藥組，A4、A5為兩個(gè)不同的西藥組。各組小白鼠的存活天數(shù)如表7—2所示。表10—2用不同藥物治療腹水癌小白鼠的結(jié)果,這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)a=5,重復(fù)數(shù)n=5。第一步：計(jì)算一級數(shù)據(jù)（見表）；第二步：計(jì)算SSe、SSA、dfe、dfA矯正項(xiàng)C=x2../an總平方和處理間平方和=248274-2291.96=1905.44處理內(nèi)平方和SSe=SST-SSA=2183.04-1905.44=277.60,總自由度dfT=an-1=25-1=24處理間自由度dfA=a-1=5-1=4處理內(nèi)自由度dfe=dfT-dfA=24-4=20處理間均方MSA=SSt/dfA=1905.44/4=476.36處理內(nèi)均方MSe=SSe/dfe=277.60/20=13.88第三步：提出假設(shè)零假設(shè)為：H0:各處理組小鼠存活天數(shù)差異不顯著備擇假設(shè)為：HA:各處理組小鼠存活天數(shù)差異顯著,第四步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F=MSA/MSe=476.36/13.88=34.32**第五步：查表根據(jù)df1=dft=4，df2=dfe=20查附表7，得F0.01(4,20)=4.43第六步：做出推斷及生物學(xué)解釋：F＞F0.01(4,20)=4.43，P＜0.01。說明五個(gè)處理小白鼠存活天數(shù)差異極顯著，用不同藥物治療小白鼠腹水癌的療效是不同的。,在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表。表10—3例10.2資料的方差分析表,F值應(yīng)與相應(yīng)的被檢驗(yàn)因素齊行;在表的左下方注出顯著水平α。,應(yīng)用舉例：例4調(diào)查了5個(gè)不同小麥品系的株高，結(jié)果見下表，問該5個(gè)小麥品系株高間的差異是否顯著？,為了簡化計(jì)算，將每一個(gè)原始數(shù)據(jù)均減去65，列成下表,1.提出假設(shè)：H0：HA：2．計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F：=147.32=131.74SSe＝SST－SSA＝15.58MSA＝SSA／(a-1)＝32.72MSe＝SSe／(an-a)＝0.78F＝MSA／MSe＝41.953．查附表3得：F4,20,0.05＝2.87，F(xiàn)4,20,0.01＝4.43。F＞F4,20,0.01，拒絕H0，說明5個(gè)不同小麥品系的株高差異極顯著。,,,,,,,將以上結(jié)果列為方差分析表：,三、隨機(jī)模型Randommodel:因素隨機(jī)、效應(yīng)不固定是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布不再為常數(shù)，且服從正態(tài)分布1.假設(shè)隨機(jī)模型的零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：,2.總平方和與總自由度的剖分：同固定模型3.數(shù)學(xué)期望：4.統(tǒng)計(jì)量F:注意：在做生物學(xué)解釋時(shí)，固定模型中的結(jié)論只適用于檢查的那幾個(gè)因素水平；隨機(jī)模型中的結(jié)論可推廣到這一因素的各個(gè)水平,四、多重比較(multiplecomparisons)（一）為什么要進(jìn)行多重比較？F值顯著或極顯著，否定了無效假Ho，表明試驗(yàn)的總變異主要來源于處理間的變異，試驗(yàn)中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異。但并不意味著每兩個(gè)處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些沒有顯著差異。因而，有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。,（二）概念統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。（三）常用的多重比較方法多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。1、最小顯著差數(shù)法(LSD法，Leastsignificantdifference)此法的基本原理是：在處理間F檢驗(yàn)顯著的前提下,先計(jì)算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)LSDα,然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與其比較，作出結(jié)論。,最小顯著差數(shù)由下式計(jì)算：式中為在F檢驗(yàn)中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值,均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤則下式算得。其中MSe為F檢驗(yàn)中的誤差均方，n為各處理內(nèi)的重復(fù)數(shù)。,顯著水平取0.05和0.01時(shí)，從t值表查出代入，即可求得LSD0.05和LSD0.01利用LSD法進(jìn)行多重比較時(shí)，步驟如下:?列出平數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；?計(jì)算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01;?將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與計(jì)算出的LSD0.05、LSD0.01比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。,【例10.2】dfe=20,n=5,MSe=13.88查t值表得t0.05(dfe)=t0.05(20)=2.086，t0.01(dfe)=t0.01(20)=2.845所以顯著水平為0.05與0.01的最小的顯著差數(shù)為：表10-4五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(LSD法)),將表10—4中的10個(gè)差數(shù)與LSD0.05、LSD0.01比較：小于LSD0.05者不顯著；介于LSD0.05與LSD0.01之間者顯著，標(biāo)記“*”；大于LSD0.01者極顯著，標(biāo)記“**”。檢驗(yàn)結(jié)果除差數(shù)1.6不顯著、5.2顯著外，其余各差數(shù)極顯著。表明所用的藥物不論中西藥對小白鼠腹水癌都有一定療效，除中藥A3與西藥A4的療效差異不顯著外，其余藥物間的療效都有顯著或極顯著差異。,說明：LSD實(shí)質(zhì)上就是t檢驗(yàn)法：它是將t檢驗(yàn)中由所求得的t的絕對值與臨界值的比較轉(zhuǎn)化為將各對均數(shù)差值的絕對值與最小顯著差數(shù)的比較，從而做出統(tǒng)計(jì)推斷的．,2、最小顯著極差法(LSR法，Leastsignificantranges)LSR法的特點(diǎn)：把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差。因此，若有k個(gè)平均數(shù)相互比較，就有k-1種秩次距(k,k-1,k-2,…,2)，因而需求得k-1個(gè)最小顯著極差R(α,k），以作為判斷各秩次距(k)平均數(shù)的極差是否顯著的標(biāo)準(zhǔn)。,常用的LSR法為Duncan法。檢驗(yàn)步驟：?列出平均數(shù)多重比較表；?由自由度dfe、秩次距k查“多重比較中的Duncan表”（附表7），計(jì)算最小顯著極差R0.05,k和R0.01,k；?將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差R0.05,k和R0.01,k比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。,對于【例10.1】，已算出=1.67，依dfe=20,k=2,3,4,5，由附表6查臨界r0.05(20,k)和r0.01(20,k)值，乘以，求得各最小顯著極差。所得結(jié)果列于表10—5。表10—5r值與R值,表10-6五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(Duncan法)),五、基本假定①效應(yīng)的可加性（additivity）②分布的正態(tài)性（normality）③方差的同質(zhì)性（homogeneity）,方差分析的基本步驟1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度。2.列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)。3.若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。,第二節(jié)單因素方差分析的基本步驟,一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析【例10.2】為了研究小白鼠患白血病后脾組織中DNA含量的變化，測定四組，每組各8只（即a=4,n=8）小白鼠脾組織中DNA的含量；第1組為正常脾，第2組為患自發(fā)性白血病的脾；第3組為患移植性白血病AK4的脾；第4組為患移植性白血病9421的脾。測定結(jié)果見表10—7。試檢驗(yàn)各組DNA含量差異是否顯著。,表10—7四組小白鼠脾組織中DNA含量1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度C=x2../an=398.12/(48)=4952.61,SSe=SST–SSA=133.40-89.72=43.68dfT=an-1=48-1=31dfA=a-1=4-1=3dfe=dfT-dfA=31-3=282.列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)，見表(10—8)。表10—8四組小白鼠脾中DNA含量方差分析表,根據(jù)df1=dfA=3,df2=dfe=28查臨界F值得：F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57因?yàn)镕＞F0.01(3,28),即P＜0.01，表明處理間DNA含量的差異達(dá)到1％顯著水平。3.多重比較采用Duncan法。各處理平均數(shù)多重比較表，見表10—9。因?yàn)镸Se=1.56,n=8,所以根據(jù)dfe=28，秩次距k=2,3,4由附表9查出α=0.05和α=0.01的各臨界r值,各r值乘以,即得各最小顯著極差。所得結(jié)果列于表10—9。,表10—9r值及LSR值表10—10各組DNA含量平均數(shù)多重比較表(Duncun法),檢驗(yàn)結(jié)果表明：正常脾中DNA含量極顯著高于患有各類白血病脾中DNA含量；患自發(fā)性白血病脾中DNA含量極顯著高于患移植性白血病9421，顯著高于患移植性白血病AK4；第三組第四組之間差異不顯著。四組中以正常脾DNA含量最高，第二組次之，第三、四組最低。也就是說各類白血病都將導(dǎo)致小白鼠脾中DNA含量明顯降低。,二、各處理重復(fù)數(shù)不相等的方差分析這種情況下方差分析步驟與各處理重復(fù)數(shù)相等的情況相同，只是在有關(guān)計(jì)算公式上略有差異。設(shè)處理數(shù)為a；各處理重復(fù)數(shù)為n1,n2,…,na；試驗(yàn)觀察值總數(shù)為N=Σni。則,【例10.3】五個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，30天后增重(kg)如表10—11所示。試比較品種間增重有無差異。表10—11五個(gè)品種豬30天增重,此例處理數(shù)a=5，各處理重復(fù)數(shù)不等?，F(xiàn)對此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析：1.計(jì)算各項(xiàng)平方和及其自由度,2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表10—12五品種育肥豬增重方差分析表臨界F值為F0.05（4，20）=2.87，F(xiàn)0.01（4，20）=4.43,因?yàn)?.99＞4.43，故P＜0.01，表明品種間差異極顯著。3.多重比較采用Duncan法，各處理平均數(shù)多重比較表見表10—12。,因各處理重復(fù)數(shù)不等，應(yīng)先計(jì)算出平均重復(fù)次數(shù)no,此例中：于是，標(biāo)準(zhǔn)誤為：根據(jù)dfe=20,秩次距k=2,3,4,5從附表6中查出α=0.05及α=0.01的臨界r值，并計(jì)算出最小顯極差，所得結(jié)果列于表10—13。,表10—13r值及R值表,表10—14五品種育肥豬平均增重多重比較表(Duncan法),多重比較結(jié)果表明:B1、B4品種的平均增重極顯著或顯著地高于B2、B5品種的平均增重，其余不同品種之間差異不顯著。可以認(rèn)為B1、B4品種增重最快，B2、B5品種增重較差，B3品種居中。,方差分析與兩樣本平均數(shù)t-test有何異同？,