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第四章桿件的變形計(jì)算,第一節(jié)拉（壓）桿的軸向變形,EA稱為拉（壓）桿的抗拉（壓）剛度,泊松比,階梯形直桿受力如圖所示，已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2，BC段,A2=240mm2，桿件材料的彈性模量E=200GPa。試求該桿總變形量。解（1）求AB、BC段軸力FNAB=40kN（拉）FNBC=-20kN（壓）（2）求AB、BC段伸長(zhǎng)量,（3）AC桿總伸長(zhǎng),例4-1,圖示桁架，鋼桿AC橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E=200GPa。木桿BC橫截面A2=25000mm2，楊氏模量E=10GPa。求鉸節(jié)點(diǎn)C的位移。,,,（2）求AC、BC兩桿的變形。,例4-2,解（1）求AC、CB兩桿的軸力。,（3）求C點(diǎn)位移。,練習(xí),已知拉桿CD:l=2m，d=40mm，E=200GPaAB為剛性梁，求B點(diǎn)位移。,第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角,,在圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，各橫截面繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，相距為dx的兩個(gè)相鄰截面間有相對(duì)轉(zhuǎn)角dφ,上式稱為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，用來(lái)表示扭轉(zhuǎn)變形的大小，其單位是rad/m。,當(dāng)GIP越大，則θ越小，故稱GIP為圓軸的抗扭剛度。兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角,當(dāng)Mx/GIP為常量時(shí)，上式為,某機(jī)器傳動(dòng)軸AC如圖所示，已知軸材料的切變模量G=80GPa，軸直徑d=45mm。求AB、BC及AC間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角,最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。解（1）內(nèi)力分析,（2）變形分析,AB段,BC段,例4-3,為軸的抗扭強(qiáng)度,當(dāng)軸的截面為矩形時(shí)，兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式為,為與比值h/b有關(guān)的系數(shù)，可查表得,已知:n=200r/min，PA=200kW，PB=90kW，PC=50kW，PD=60kW,G=200GPa,dAC=0.06m，dBC=dAD=0.04m。,解:1.求外力扭矩;2.求內(nèi)力扭矩,畫(huà)內(nèi)力圖;3.各段變形及總變形；4.求最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。,練習(xí),試求:(1)軸兩端截面相對(duì)轉(zhuǎn)角(2)最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角,,解答,已知:n=200r/min，PA=60kW，PB=150kW，PC=90kW，G=200GPa,dAB=0.06m，dBC=0.04m。,試求:(1)軸兩端截面相對(duì)轉(zhuǎn)角(2)最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角,第三節(jié)梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程,一、梁的變形當(dāng)梁在平面內(nèi)彎曲時(shí)，梁的軸線從原來(lái)沿軸方向的直線變成一條在平面內(nèi)的連續(xù)、光滑的曲線，該曲線稱為梁的撓曲線。橫截面形心沿豎向位移w，稱為該截面的撓度;而截面法向方向與軸的夾角θ稱為該截面的轉(zhuǎn)角。截面形心C點(diǎn)的豎向位移w,一般可表為x的函數(shù)，這一關(guān)系式稱為撓曲線方程,符號(hào)規(guī)定：撓度：向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角：截面法線與軸夾角逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)，即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時(shí)轉(zhuǎn)角為正。,二、撓曲線近似微分方程,在純彎曲梁的情況下，梁的中性層曲率與梁的彎矩之間關(guān)系為,橫力彎曲時(shí)，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時(shí)，剪力對(duì)梁的變形影響可以忽略不計(jì),撓曲線與轉(zhuǎn)角之間近似有,撓曲線的斜率近似等于截面的轉(zhuǎn)角,由微分學(xué)可知，,按彎矩的符號(hào)規(guī)定，當(dāng)M>0時(shí)，梁的上部受壓，下部受拉，撓曲線上凹，由微分學(xué)知，在圖示坐標(biāo)下，w”為正；當(dāng)M<0，梁下部受壓，上部受拉，撓曲線下凹，w”為負(fù).可去掉號(hào)。,當(dāng)梁小變形時(shí),代入前面的式子，得,梁的撓曲線近似微分方程,可得,第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形,將上式梁的撓曲線近似微分方程積分一次，就得到轉(zhuǎn)角方程，再積分一次得到撓曲線方程。對(duì)等直梁，EIZ為常量，有,積分常數(shù)C、D，可由梁的邊界條件來(lái)確定,等直懸臂梁受均布載荷如圖所示，試建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。,（2）列撓曲線近似微分方程,（3）積分,解（1）彎矩方程,例4-4,（4）確定積分常數(shù),由邊界條件，當(dāng)x=0，,分別代入前面的式子得,（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程,（6）求自由端撓度和轉(zhuǎn)角,一簡(jiǎn)支梁上點(diǎn)C處作用力F，設(shè)EI為常數(shù)。試建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求梁內(nèi)最大撓度及轉(zhuǎn)角。,解（1）求支反力和列彎矩方程。,（2）列出撓曲線近似微分方程并積分。,例4-5,（3）確定積分常數(shù)。,（4）列轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。,(5)確定最大撓度及轉(zhuǎn)角,最大撓度應(yīng)發(fā)生在AC段上處，將θ=0代入式（9），求出x1,將其代入式（10）求得最大撓度絕對(duì)值,梁的中點(diǎn)的撓度,當(dāng)作用點(diǎn)C與梁的中點(diǎn)越接近，最大撓度與中點(diǎn)撓度兩者相差越小，若C點(diǎn)靠近支座B，則兩者相差最大兩者相差不超過(guò)2.6%?？梢?jiàn)在簡(jiǎn)支梁中，只要撓曲線上無(wú)拐點(diǎn)，可用中點(diǎn)撓度來(lái)代替其最大撓度。,練習(xí),第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形,在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其它載荷無(wú)關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，便得到了這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。,例4-6求圖示梁撓曲線方程，并求中點(diǎn)撓度及最大轉(zhuǎn)角。已知，M=ql2/2，梁的抗彎剛度為EI。,解（1）求撓曲線方程。,（2）求最大轉(zhuǎn)角和中點(diǎn)撓度。,例4-7一外伸梁，簡(jiǎn)支段AB受均布荷載的作用，而外伸段自由端C作用一集中力，求C處撓度和轉(zhuǎn)角。,解采用逐段剛化的方法:首先剛化AB段，這樣BC可作為一懸臂梁來(lái)研究，C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角為,再剛化BC段，將力F平移到B，得F’及力偶M。力F’對(duì)梁的變形沒(méi)有影響，力偶M引起AB段變形，使B處產(chǎn)生轉(zhuǎn)角.,同樣，q引起了AB段變形，使C點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角和位移：,將上述變形相加，便得到原梁的變形,例4-8在簡(jiǎn)支梁上部分作用均布載荷，求梁跨中點(diǎn)撓度.,解在微段dx的載荷可作為一集中力，在該集中力作用下由表4-2可查得跨度中點(diǎn)的撓度為,跨度中點(diǎn)的撓度應(yīng)為上式的積分,求中點(diǎn)C撓度,練習(xí),Fl,