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課時23多邊形與平行四邊形,第五單元四邊形,中考對接,1.[2018懷化]若一個多邊形的每一個外角都是36,則這個多邊形的邊數(shù)是.,2.[2018郴州]如果一個正多邊形的每個外角為60,那么這個正多邊形的內(nèi)角和是.,720,10,3.[2018衡陽]如圖23-1,?ABCD的對角線相交于點O,且AD≠CD,過點O作OM⊥AC,交AD于點M,連接CM.如果△CDM的周長為8,那么?ABCD的周長是.圖23-1,【答案】16【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC.∵OM⊥AC,∴AM=MC.∴△CDM的周長為AD+CD=8,∴平行四邊形ABCD的周長是28=16.,4.[2018株洲]如圖23-2,在平行四邊形ABCD中,連接BD,且BD=CD,過點A作AM⊥BD于點M,過點D作DN⊥AB于點N,且DN=3,在DB的延長線上取一點P,滿足∠ABD=∠MAP+∠PAB,則AP=.圖23-2,【答案】6【解析】∵BD=CD,AB=CD,∴BD=BA.又∵AM⊥BD,DN⊥AB,∴AM=DN=3.又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠PAB,∴∠P=∠MAP,∴△APM是等腰直角三角形,∴AP=AM=6.,5.[2018岳陽]如圖23-3,在平行四邊形ABCD中,AE=CF.求證:四邊形BFDE是平行四邊形.圖23-3,考點自查,3,相等,相等,平分,易錯警示,【失分點】1.正多邊形的每條邊長都相等,每個內(nèi)角的度數(shù)都相等,每個外角的度數(shù)都相等.2.平行四邊形的對角線互相平分,但不垂直.,1.如圖23-5,點E,F在平行四邊形ABCD的對角線BD上,BE=DF,若平行四邊形ABCD的面積是20cm2,△ABE的面積是3cm2,則平行四邊形AECF的面積是cm2.,2.[2019原創(chuàng)](1)九邊形的內(nèi)角和等于;(2)正九邊形的每一個內(nèi)角都等于,每一個外角都等于;(3)如果一個多邊形的內(nèi)角和等于900,那么這個多邊形的邊數(shù)是;(4)如果一個正多邊形的每個外角都是30,那么這個多邊形的邊數(shù)是;(5)如果一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和,那么這個多邊形的邊數(shù)是.,8,1260,140,40,7,12,4,【答案】C【解析】設(shè)所求多邊形的邊數(shù)為n.由題意,得(n-2)180=3602,解得n=6,則這個多邊形是六邊形.故選C.,例1[2017臨沂]若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,則這個多邊形是()A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形,,拓展1[2018濟寧]如圖23-6,在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300,DP,CP分別平分∠EDC,∠BCD,則∠P=()A.50B.55C.60D.65,【答案】C【解析】∵在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300,∴∠EDC+∠BCD=240.又∵DP,CP分別平分∠EDC,∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120.∴在△CDP中,∠P=180-(∠PDC+∠PCD)=180-120=60.故選C.,圖23-6,拓展2[2018山西]圖23-7①是我國古代建筑中的一種窗格,其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消溶,形狀無一定規(guī)則,代表一種自然和諧美,圖②是從圖①冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=.圖23-7,【答案】360【解析】如圖,延長CD,DE,則∠1=∠7,∠2=∠6.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠7+∠6+∠3+∠4+∠5=360.,拓展3[2018上海]通過畫出多邊形的對角線,可以把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題.如果從某個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線共有2條,那么該多邊形的內(nèi)角和是.,【答案】540【解析】從某個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線共有2條,則將多邊形分割為3個三角形,所以該多邊形的內(nèi)角和是3180=540.,例2[2018聊城]如果一個正方形被截掉一個角后,得到一個多邊形,那么這個多邊形的內(nèi)角和是.,【答案】540或360或180【解析】正方形的內(nèi)角和是(4-2)180,若邊數(shù)增加1,則新的多邊形的內(nèi)角和是(4+1-2)180=540.若所得新的多邊形的角不變,則新的多邊形的內(nèi)角和是(4-2)180=360.若所得新的多邊形的邊數(shù)減少1,則新的多邊形的內(nèi)角和是(4-1-2)180=180.因此所成的新多邊形的內(nèi)角和是540或360或180.,拓展1[2018南京]如圖23-8,五邊形ABCDE是正五邊形.若l1∥l2,則∠1-∠2=.,【答案】72【解析】在五邊形ABCDE中,過點B作BF∥l1.∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠ABC=108,∵BF∥l1,l1∥l2,∴BF∥l2,∴∠CBF=180-∠1,∠ABF=∠2,∴180-∠1+∠2=∠ABC=108,∴∠1-∠2=72.,,圖23-8,拓展2[2018臨安]用一條寬相等的足夠長的紙條,打一個結(jié),如圖23-9①,然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖23-9②的正五邊形ABCDE,其中∠BAC=.,拓展3[2017邵陽]如圖23-10所示的正六邊形ABCDEF,連接FD,則∠FDC的度數(shù)為.,【答案】90【解析】∵在正六邊形ABCDEF中,∠E=∠EDC=120,EF=DE,∴∠EDF=∠EFD=30,∴∠FDC=90.,例3[2018貴陽]如圖23-11,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點F是DE的中點,AB與AG關(guān)于AE對稱,AE與AF關(guān)于AG對稱.(1)求證:△AEF是等邊三角形.(2)若AB=2,求△AFD的面積.,解:(1)證明:∵在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,∴∠DAE=∠AEB=90.∵點F是DE的中點,∴FE=AF.∵AE與AF關(guān)于AG對稱,∴AE=AF.∴AE=AF=EF.∴△AEF是等邊三角形.,例3[2018貴陽]如圖23-11,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點F是DE的中點,AB與AG關(guān)于AE對稱,AE與AF關(guān)于AG對稱.(2)若AB=2,求△AFD的面積.,拓展[2018黃岡]如圖23-12,在?ABCD中,分別以邊BC,CD為一邊作等腰三角形BCF,等腰三角形CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,連接AF,AE.(1)求證:△ABF≌△EDA.(2)延長AB與CF相交于點G,若AF⊥AE,求證:BF⊥BC.,證明:(1)在?ABCD中,AB=DC,BC=AD,∠ABC=∠ADC,AD∥BC.因為BC=BF,CD=DE,所以AB=DE,BF=AD.又因為∠CBF=∠CDE,∠ABF=360-∠ABC-∠CBF,∠EDA=360-∠ADC-∠CDE,所以∠ABF=∠EDA,又因為AB=DE,BF=AD,所以△ABF≌△EDA.(2)因為△ABF≌△EDA,所以∠EAD=∠AFB.因為AD∥BC,所以∠DAG=∠CBG,又因為∠FBG=∠AFB+∠BAF,所以∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠BAF+∠DAG=∠EAF=90,所以BF⊥BC.,例4[2018大慶]如圖23-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90,D,E分別是AB,AC的中點,連接CD,過點E作EF∥DC交BC的延長線于點F.(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形.(2)若四邊形CDEF的周長是25cm,AC的長為5cm,求線段AB的長度.,解:(1)證明:∵D,E分別是AB,AC的中點,F是BC延長線上的一點,∴ED是Rt△ABC的中位線,∴ED∥FC.又∵EF∥DC,∴四邊形CDEF是平行四邊形.(2)∵四邊形CDEF是平行四邊形,∴DC=EF.∵DC是Rt△ABC的斜邊AB上的中線,∴AB=2DC.∴四邊形DCFE的周長為AB+BC.∵四邊形DCFE的周長為25cm,∴BC=(25-AB)cm.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90,∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13.∴線段AB的長度為13cm.,[方法模型]平行四邊形的三種判定思路(1)若已知一組對邊平行,則可以證明這組對邊相等或另一組對邊平行.(2)若已知一組對邊相等,則可以證明這組對邊平行或另一組對邊相等.(3)若已知條件與對角線有關(guān),則可以證明對角線互相平分.,拓展1[2018玉林]在四邊形ABCD中,①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.從以上條件中選擇兩個條件使四邊形ABCD為平行四邊形的選法共有()A.3種B.4種C.5種D.6種,B,拓展2[2018恩施州]如圖23-14,點B,F,C,E在一條直線上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于點O.求證:AD與BE互相平分.,證明:連接BD,AE.∵AB∥ED,∴∠ABC=∠DEF.∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.∵FB=CE,∴BC=EF.在△ACB和△DFE中,∵∠ABC=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴△ACB≌△DFE(ASA),∴AB=DE.∵AB∥ED,∴四邊形ABDE是平行四邊形.∴AD與BE互相平分.,拓展3[2017鎮(zhèn)江]如圖23-15,點B,E分別在AC,DF上,AF分別交BD,CE于點M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.(1)求證:四邊形BCED是平行四邊形.(2)已知DE=2,連接BN,若BN平分∠DBC,求CN的長.,解:(1)證明:∵∠A=∠F,∴DE∥BC.∵∠1=∠2,且∠1=∠DMF,∴∠DMF=∠2,∴DB∥EC.∴四邊形BCED為平行四邊形.(2)∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠CBN.∵EC∥DB,∴∠CNB=∠DBN,∴∠CNB=∠CBN,∴CN=BC=DE=2.,