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第一部分夯實基礎提分多,第五單元四邊形,第23課時矩形、菱形、正方形,1．性質(zhì),BC,基礎點巧練妙記,互相平分且相等,ab,2.判定(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；(2)有三個角都是直角的四邊形是矩形；(3)對角線相等的平行四邊形是矩形．,,1．下列關于矩形的說法，正確的是()A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對角線互相垂直且平分D．矩形的對角線相等且互相平分,D,,2．如圖，AB∥CD，∠A＝∠B＝90，AB＝3cm，BC＝2cm，則AB與CD之間的距離為________cm.,第2題圖,2,1．性質(zhì),相等,平分,BD,,2.判定(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)四條邊都相等的平行四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．,,3．下列四邊形中不一定為菱形的是()A.對角線相等的平行四邊形B.每條對角線平分一組對角的四邊形C.對角線互相垂直的平行四邊形D.用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形,A,,4．如圖，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ACB＝60，則對角線AC的長為()A．12B．9C．6D．3,第4題圖,D,,5．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，則四邊形CODE的周長是________．,第5題圖,8,,6．一個平行四邊形的一條邊長為5，兩條對角線的長分別為6和8，則它的面積為________．,24,1．性質(zhì),相等,垂直平分,2.判定(1)有一個角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(3)對角線相等且互相垂直平分的平行四邊形是正方形；(4)四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形是正方形．,,7．如圖，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，則四邊形EFGH的面積是()A．30B．34C．36D．40,第7題圖,B,直角,相等,相等,直角,命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．命題分為題設和結(jié)論兩部分．真命題：如果題設成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題．,假命題：如果題設成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是另一個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是另一個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題．,例1如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，連接BE，∠F＝45.(1)求證：四邊形ABCD是矩形；,重難點精講優(yōu)練,例1題圖,【思維教練】要證四邊形ABCD是矩形，根據(jù)已知條件?ABCD的性質(zhì)推出∠F＝∠DAE，由AF是∠BAD的平分線易得∠DAB＝90，結(jié)合矩形的判定方法，從而得證；,例1題圖,證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵∠F＝45，∴∠DAE＝45，∵AF是∠BAD的平分線，∴∠EAB＝∠DAE＝45，∴∠DAB＝90，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形；,例1題圖,,(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．,例1題圖,解：如解圖，過點B作BH⊥AE于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90，∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6，在Rt△ADE中，∠DAE＝45，∴∠DEA＝∠DAE＝45，∴AD＝DE＝8，∴BC＝8，,例1題解圖,,例1題解圖,練習1(2017咸寧)如圖，點O是矩形紙片ABCD的對稱中心，E是BC上一點，將紙片沿AE折疊后，點B恰好與點O重合，若BE＝3，則折痕AE的長為________．,練習1題圖,6,【解析】由折疊可知，∠BAE＝∠OAE，∠EOA＝∠B＝90，∵O是矩形ABCD的對稱中心，∴OA＝OC，∴EO是AC的垂直平分線，易證∠ECO＝∠EAO，在三角形ABC中，可利用三角形內(nèi)角和為180，求得∠BAE＝30，,練習1題圖,在直角三角形ABE中，∠B＝90，∠BAE＝30，由30所對的直角邊是斜邊的一半，可得到AE＝6.,,1．矩形判定的一般思路：（1）一個內(nèi)角為90（2）對角線相等四邊形+有三個內(nèi)角是直角,,平行四邊形+,,,2．應用矩形性質(zhì)計算的一般思路：(1)根據(jù)矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角三角形，可用勾股定理或解直角三角形求線段的長；(2)又根據(jù)矩形對角形相等且互相平分，故可借助對角線的關系得到全等三角形；,,(3)矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形，在矩形性質(zhì)相關的計算和證明中要注意這個結(jié)論的運用，建立能夠得到線段或角度的等量關系．,例2如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點E，交CB的延長線于點F，連接AF，BE.(1)求證：△AGE≌△BGF；,【思維教練】要證△AGE≌△BGF，根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判定方法AAS即可求證；,例2題圖,證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥CF，∴∠AEG＝∠BFG，∵AB的垂直平分線交AD于點E，∴AG＝BG，又∵∠AGE＝∠BGF，∴△AGE≌△BGF(AAS)；,例2題圖,(2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由．,【思維教練】要判斷四邊形AFBE的形狀，由(1)易得AE＝BF，AE∥BF，可推出四邊形AFBE為平行四邊形，結(jié)合EF垂直平分AB推出AE＝BE，從而得證．,例2題圖,解：四邊形AFBE為菱形．理由：由(1)得AE＝BF，AE∥BF,則四邊形AFBE為平行四邊形，又∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴四邊形AFBE為菱形．,例2題圖,練習2(2017孝感)如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于點H，則線段BH的長為________．,練習2題圖,,,,菱形判定的一般思路：(1)一組鄰邊相等(2)對角線互相垂直四邊形+四邊相等,,平行四邊形+,,菱形,,2．菱形的計算：(1)求角度時，應注意菱形的四條邊相等和對角相等、鄰角互補等，可利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的相交性質(zhì)，轉(zhuǎn)化要求的角，直到找到與已知的角存在的關系；,,(2)求長度(線段或者周長)時，應注意使用等腰三角形的性質(zhì)．若菱形中有一個角為60，則連接另外兩點的對角線所分割的兩個三角形為等邊三角形，故在計算時，可借助等邊三角形的性質(zhì)求線段長；(3)求面積時，可利用菱形的兩條對角線互相垂直，面積等于對角線之積的一半求解．,例2如圖，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．(1)求證：△ABE≌△DCE；,【思維教練】要證△ABE≌△DCE，根據(jù)正方形ABCD和等邊△EBC的性質(zhì)推出AB＝CD，∠ABE＝∠DCE，結(jié)合全等三角形的判定方法SAS即可求證；,例2題圖,證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90，∵△EBC是等邊三角形，∴EB＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60，∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB＝30，即∠ABE＝∠DCE＝30，,在△ABE和△DCE中，AB=BC∠ABE=∠DCE=30EB=EC∴△ABE≌DCE(SAS).,,(2)求∠AED的度數(shù)．,【思維教練】由已知條件推出△ABE、△CDE、△ADE都是等腰三角形，求得∠EAB＝∠CDE＝75，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解∠AED的度數(shù)．,解：∵四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，∴△ABE、△CDE、△ADE都是等腰三角形，∵∠ABE＝∠DCE＝30，∴∠EAB＝(180－30)2＝75，同理∠CDE＝75，∴∠EAD＝∠EDA＝90－75＝15，∴∠AED＝180－215＝150.,,練習3題圖,A,練習3題解圖,,練習3題解圖,,練習3題解圖,,