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第四章三角形,4.2三角形及其性質(zhì),考點(diǎn)1三角形的分類,陜西考點(diǎn)解讀,三角形按邊的關(guān)系分類如下：,三角形按邊的關(guān)系分類如下：,陜西考點(diǎn)解讀,等腰三角形中至少有兩邊相等，而等邊三角形的三邊都相等，所以等邊三角形是特殊的等腰三角形。,【特別提示】,【提分必練】,1.已知一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2∶3，則這個(gè)三角形一定是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形,B,考點(diǎn)2三角形的三邊關(guān)系,陜西考點(diǎn)解讀,中考說明:1.探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。2.掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。,1.三角形的三邊關(guān)系定理及其推論(1)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和①大于第三邊。(2)推論：三角形的兩邊之差②小于第三邊。2.三角形的內(nèi)角和定理及其推論(1)三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180。,(2)推論：a.直角三角形的兩個(gè)銳角③互余。b.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。c.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的④內(nèi)角。,陜西考點(diǎn)解讀,【特別提示】,1.運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系時(shí)，不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段之和大于第三條線段即可。2.一個(gè)三角形有六個(gè)外角。要證明角的不等關(guān)系，常常要用到三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。,陜西考點(diǎn)解讀,【提分必練】,2.下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是()A.4cm，5cm，9cmB.8cm，8cm，15cmC.5cm，5cm，10cmD.6cm，7cm，14cm3.將一副直角三角板按如圖的位置放置，使含30角的三角板的一條直角邊和含45角的三角板的一條直角邊在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是()A.45B.60C.75D.85,B,C,考點(diǎn)3三角形的相關(guān)線段,陜西考點(diǎn)解讀,中考說明:1.理解三角形的中線、高線、角平分線等概念。2.探索并證明三角形的中位線定理。,陜西考點(diǎn)解讀,1.三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線。2.三角形的一條中線將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形。3.三角形的角平分線、中線都在三角形的內(nèi)部。銳角三角形的高在其內(nèi)部(如圖①)；直角三角形的兩條直角邊互為高，三條高的交點(diǎn)在直角三角形的直角頂點(diǎn)處(如圖②)；鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，三條高的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在三角形的外部(如圖③)。,陜西考點(diǎn)解讀,【特別提示】,陜西考點(diǎn)解讀,【提分必練】,4.如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式錯(cuò)誤的是()A.AB=2BFB.∠ACE=∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE,C,考點(diǎn)4特殊三角形的性質(zhì)與判定,陜西考點(diǎn)解讀,中考說明:1.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理。2.探索并掌握等腰三角形的判定定理。3.探索等邊三角形的性質(zhì)定理與判定定理。4.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理。5.探索勾股定理及其逆定理。,1.等腰三角形的性質(zhì)與判定(1)定義：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，如圖①，△ABC為等腰三角形。(2)性質(zhì)：①兩個(gè)底角相等，即∠B=∠C；②兩腰相等，即AB=AC；③等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，即直線AD；④三線合一：等腰三角形⑧頂角的平分線、⑨底邊上的高、底邊上的中線互相重合。(3)判定：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②有兩角相等的三角形是等腰三角形。(4)等腰三角形的面積計(jì)算公式：?，其中a是底邊長(zhǎng)，h是底邊上的高。,陜西考點(diǎn)解讀,2.等邊三角形的性質(zhì)與判定(1)定義：三邊都相等的三角形叫作等邊三角形，如圖②，△ABC為等邊三角形。(2)性質(zhì)：①三條邊相等，即AB=AC=BC；②三個(gè)角相等，且每個(gè)角都等于?60；③是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸。(3)判定：①三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60的?等腰三角形是等邊三角形。(4)等邊三角形的面積計(jì)算公式：?，a是等邊三角形的邊長(zhǎng)，h是等邊三角形的高。,陜西考點(diǎn)解讀,3.直角三角形的性質(zhì)與判定(1)性質(zhì)：①直角三角形的兩個(gè)銳角?互余；②在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的?一半；③直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的?一半。(2)勾股定理:直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a，b的平方和等于斜邊長(zhǎng)c的平方，即a2+b2=c2。(3)常用關(guān)系式:如圖，由三角形的面積公式，得ABCD=ACBC。(4)判定：①有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；②如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊長(zhǎng)的平方和等于第三邊長(zhǎng)的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。,陜西考點(diǎn)解讀,【特別提示】,陜西考點(diǎn)解讀,1.若題目中沒有明確指出三角形的邊是底還是腰，沒有明確指出三角形的角是頂角還是底角時(shí)，要進(jìn)行分類討論。2.底角為頂角2倍的等腰三角形，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形。3.等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合。4.運(yùn)用勾股定理的前提是在直角三角形，且必須在同一個(gè)直角三角形中。勾股定理把“數(shù)”和“形”有機(jī)地結(jié)合起來，是數(shù)形結(jié)合思想方法的典型。,【知識(shí)延伸】,射影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系纳溆昂托边叺谋壤许?xiàng)，如圖。,【提分必練】,陜西考點(diǎn)解讀,5.如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC=45，則∠ACE等于()A.15B.30C.45D.606.如圖，在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC，垂足為D，E是邊BC的中點(diǎn)，AD=ED=3，則BC的長(zhǎng)為()A.B.C.6D.,A,D,考點(diǎn)5三角形的五心,陜西考點(diǎn)解讀,【提分必練】,陜西考點(diǎn)解讀,三角形的重心把中線分為2∶1的兩部分(重心到頂點(diǎn)的距離占2份，重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離占1份)。,【特別提示】,7.如圖，在△ABC中，∠A=66，點(diǎn)I是內(nèi)心，則∠BIC的大小為()A.114B.122C.123D.132,C,重難點(diǎn)1三角形中的重要線段(重點(diǎn)),重難突破強(qiáng)化,例1(2018西安蓮湖區(qū)模擬)如圖，在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=9，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，則△ACD的周長(zhǎng)是()A.11B.14C.15D.20,B,【解析】∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴△ACD的周長(zhǎng)為AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=9+5=14。故選B。,重難點(diǎn)2特殊三角形的相關(guān)計(jì)算(重點(diǎn)、難點(diǎn)),重難突破強(qiáng)化,例2(2018福建中考)把兩個(gè)同樣大小的含45角的直角三角尺按如圖的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上。若AB=，則CD=_______。,【解析】如答圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F。在Rt△ABC中，∠B=45，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1?！哌@兩個(gè)含45角的直角三角尺全等，∴AD=BC=2。在Rt△ADF中，DF=∴CD=BF+DF-BC=,重難點(diǎn)3特殊三角形的判定（易錯(cuò)點(diǎn)),重難突破強(qiáng)化,例3(2018黑龍江中考)在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=3，BC=4，過點(diǎn)B的直線把△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中只有一個(gè)是等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的面積是________________。,【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=3，BC=4，∴AC=S△ABC=ABBC=6。過點(diǎn)B的直線把△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中只有一個(gè)是等腰三角形，有三種情況：①當(dāng)AB=AP=3時(shí)，如答圖①，S△ABP=S△ABC=6=3.6；,3.6或4.32或4.8,②當(dāng)AB=BP=3，且點(diǎn)P在AC上時(shí)，如答圖②，作Rt△ABC斜邊AC上的高BD，則BD=∴AD=DP=∴AP=2AD=3.6，∴S△ABP=APBD=3.62.4=4.32；③當(dāng)CB=CP=4時(shí)，如答圖③，S△BCP=S△ABC=6=4.8。綜上所述，等腰三角形的面積可能為3.6或4.32或4.8。,重難突破強(qiáng)化,【易錯(cuò)警示】此題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積。在判定等腰三角形時(shí)，容易因?yàn)榭紤]不全面導(dǎo)致漏解。避免漏解的方法：正確認(rèn)識(shí)等腰三角形中的有關(guān)概念，審題要細(xì)心，考慮要全面。該題中未明確指出等腰三角形的腰或頂角，所以要分情況討論，找出所有可能的分割方法，并求出得到的相應(yīng)的等腰三角形的面積。,