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學(xué)案6二項(xiàng)分布及其應(yīng)用,返回目錄,1.條件概率一般地,設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P（A）>0，稱(chēng)P（B|A）=為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.P（B|A）讀作.條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1.,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,考點(diǎn)分析,返回目錄,如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P（B∪C|A）=.2.事件的相互獨(dú)立性設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P（AB）=P（A）P（B），則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立.如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與，A與，A與也都相互獨(dú)立.,P（B|A）+P（C|A）,B,,,3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地,在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).4.二項(xiàng)分布一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=,k=0,1,2,…,n.此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~，并稱(chēng)p為.,返回目錄,成功概率,B（n,p）,返回目錄,考點(diǎn)一條件概率,有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，求這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率.,【分析】解決好概率問(wèn)題的關(guān)鍵是分清屬于哪種類(lèi)型的概率，該例中的幼苗成活率是在出芽后這一條件下的概率，屬于條件概率.,題型分析,返回目錄,【解析】設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件AB（發(fā)芽，又成活為幼苗），出芽后的幼苗成活率為:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.根據(jù)條件,概率公式P(AB)=P(B|A)P(A)=0.90.8=0.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.,【評(píng)析】在解決條件概率問(wèn)題時(shí)，要靈活掌握P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之間的關(guān)系，即P(B|A)=,P(A|B)=,P(AB)=P(A|B)P(B)+P(B|A)P(A).,＊對(duì)應(yīng)演練＊,某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，求(1)P(A|B);(2)P(B|A).,返回目錄,返回目錄,根據(jù)題意知P(A)=,P(B)=,P(AB)=.(1)P(A|B)=(2)P(B|A)=,返回目錄,考點(diǎn)二事件的相互獨(dú)立性,甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件,已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.,返回目錄,【分析】(1)將三種事件設(shè)出,列方程,解方程即可求出.(2)用間接法解比較省時(shí),方便.,【解析】(1)設(shè)A，B，C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.P(AB)=P(BC)=P(AC)=,P(A)［1-P(B)］=①P(B)［1-P(C)］=②P(A)P(C)=③,由題設(shè)條件有,即,,,由①③得P(B)=1-P(C),代入②得27［P(C)］2-51P(C)+22=0.解得P(C)=或(舍去).將P(C)=分別代入③②可得P(A)=,P(B)=.即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是,,.,返回目錄,(2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn),至少有一個(gè)一等品的事件.則P(D)=1-P(D)=1-［1-P(A)］［1-P(B)］［1-P(C)］=1-=.故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn),至少有一個(gè)一等品的概率為.,返回目錄,,【評(píng)析】(1)對(duì)照互斥事件、對(duì)立事件的定義進(jìn)行判斷，哪些是互斥事件，哪些是對(duì)立事件，是解好題目的關(guān)鍵.“正難則反”，一個(gè)事件的正面包含基本事件個(gè)數(shù)較多，而它的對(duì)立事件包含基本事件個(gè)數(shù)較少，則用公式P（A）=1-P（A）計(jì)算.(2)審題應(yīng)注意關(guān)鍵的詞句，例如“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”等.(3)復(fù)雜問(wèn)題可考慮拆分為等價(jià)的幾個(gè)事件的概率問(wèn)題，同時(shí)結(jié)合對(duì)立事件的概率求法進(jìn)行求解.(4)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有:①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式;②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可以從對(duì)立事件入手計(jì)算.,返回目錄,返回目錄,＊對(duì)應(yīng)演練＊,甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8,計(jì)算:(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率;(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率;(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.,返回目錄,記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B.“兩人都擊中目標(biāo)”是事件AB；“恰有1人擊中目標(biāo)”是AB或AB；“至少有1人擊中目標(biāo)”是AB或AB或AB.(1)顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標(biāo)”就是事件AB，又由于事件A與B相互獨(dú)立，∴P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64.(2)“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中（即AB）,另一種是甲未擊中乙擊中（即AB），根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，即事件AB與AB是互斥的，所以所求概率為：,,,,,,,,,P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法一：“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)”的概率為P=P(AB)+［P(AB)+P(AB)］=0.64+0.32=0.96.解法二：“兩人都未擊中目標(biāo)”的概率是P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.20.2=0.04.∴至少有一人擊中目標(biāo)的概率為P=1-P(AB)=1-0.04=0.96.,返回目錄,,,,,,,,,,,,,返回目錄,考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布,某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨(dú)立).(1)求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率;(2)至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3?,【分析】因?yàn)?個(gè)員工上網(wǎng)都是相互獨(dú)立的，所以該題可歸結(jié)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題.,返回目錄,【解析】（1）解法一：記“有r人同時(shí)上網(wǎng)”為事件Ar,則“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”即為事件A3+A4+A5+A6，因?yàn)锳3,A4,A5,A6為彼此互斥事件，所以可應(yīng)用概率加法公式，得“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”的概率為P=P(A3+A4+A5+A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(20+15+6+1)=.,解法二：“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”的對(duì)立事件是“至多2人同時(shí)上網(wǎng)”，即事件A0+A1+A2.因?yàn)锳0,A1,A2是彼此互斥的事件，所以“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”的概率為P=1-P(A0+A1+A2)=1-［P(A0)+P(A1)+P(A2)］=1-()=1-(1+6+15)=,返回目錄,解法三：至少3人同時(shí)上網(wǎng)，這件事包括3人，4人，5人或6人同時(shí)上網(wǎng)，則記至少3人同時(shí)上網(wǎng)的事件為A,X為上網(wǎng)人數(shù),則P(A)=P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6),返回目錄,（2）解法一：記“至少r人同時(shí)上網(wǎng)”為事件Br,則Br的概率P(Br)隨r的增加而減少.依題意是求滿(mǎn)足P(Br)＜0.3的整數(shù)r的最小值.因?yàn)镻(B6)=P(A6)=＜0.3,P(B5)=P(A5+A6)=P(A5)+P(A6)=()=＜0.3,P(B4)=P(A4+A5+A6)=P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(15+6+1)=＞0.3,所以至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率大于0.3,至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.,返回目錄,解法二：由(1)知至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率大于0.3,至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為P（X≥4）=＞0.3,至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為P(X≥5)=＜0.3,所以至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.,返回目錄,【評(píng)析】（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn).在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=(1-p)k，k=0,1,2,…,n.此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，在利用該公式時(shí)，一定要搞清是多少次試驗(yàn)中發(fā)生k次的事件，如本題中“有3人上網(wǎng)”可理解為6次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有3次發(fā)生，即n=6，k=3.,返回目錄,返回目錄,＊對(duì)應(yīng)演練＊,甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是和,假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒(méi)有影響,每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間也沒(méi)有影響.(1)求甲射擊4次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率;(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則停止射擊,問(wèn)乙恰好射擊5次后,被中止射擊的概率是多少?,返回目錄,(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1,由題意,射擊4次,相當(dāng)于作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故P(A1)=1-P(A1)=1-()4=.∴甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為.(2)記“甲射擊4次,恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2,“乙射擊4次,恰有3次擊中目標(biāo)”為事件B2,則P(A2)=(1-)4-2=.P(B2)=(1-)4-3=.由于甲、乙射擊相互獨(dú)立,故P(A2B2)=P(A2)P(B2)==.,,∴兩人各射擊4次,甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為.(3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3,“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i=1,2,3,4,5),則A3=D5D4D3(D2D1),且P(D4)=.由于各事件相互獨(dú)立,故P(A3)=P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1)=(1-)=.∴乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為.,返回目錄,,,,,,,返回目錄,考點(diǎn)四二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的分布列,一名學(xué)生每天騎車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列;(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車(chē)前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求Y的分布列;(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.,返回目錄,【分析】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率和二項(xiàng)分布等知識(shí).,【解析】（1）將通過(guò)每個(gè)交通崗看作一次試驗(yàn)，則遇到紅燈的概率為，且每次試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的,故X~B(6,)，以此為基礎(chǔ)求X的分布列.由X~B(6,)，所以X的分布列為P(X=k)=，k=0,1,2,3,4,5,6.（2）由于Y表示這名學(xué)生在首次停車(chē)時(shí)經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，顯然Y是隨機(jī)變量，其取值為0,1,2,3,4,5.,其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k個(gè)路口沒(méi)有遇上紅燈，但在第k+1個(gè)路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算.P(Y=k)=()k(k=0,1,2,3,4,5),而{Y=6}表示一路沒(méi)有遇上紅燈,故其概率為P(Y=6)=.因此Y的分布列為:,返回目錄,(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為（X≥1）={X=1或X=2或…或X=6},所以其概率為P(X≥1)=P(X=k)=1-P(X=0)=1-()6=≈0.912.,返回目錄,【評(píng)析】解決離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題時(shí)，主要依靠概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，其關(guān)鍵是要識(shí)別題中的離散型隨機(jī)變量服從什么分布.像本例中隨機(jī)變量X表示遇到紅燈次數(shù)，而每次遇到紅燈是相互獨(dú)立的，因此這是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)事件，符合二項(xiàng)分布，即X~B(n,p).分布列能完整地刻畫(huà)隨機(jī)變量X與相應(yīng)概率的變化情況，在分布列中第一行表示X的所有可能取值，第二行對(duì)應(yīng)的各個(gè)值（概率值）必須都是非負(fù)實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足其和為1.,返回目錄,＊對(duì)應(yīng)演練＊,某一中學(xué)生心理咨詢(xún)中心服務(wù)電話(huà)接通率為，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問(wèn)題詢(xún)問(wèn)該服務(wù)中心，且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢(xún)的人數(shù)X的分布列.,返回目錄,由題意知X~B(3,).∴P(X=k)=,k=0,1,2,3.∴分布列為:,返回目錄,返回目錄,1.“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別.它們是兩個(gè)不同的概念，相同點(diǎn)都是對(duì)兩個(gè)事件而言的，不同點(diǎn)是：“互斥事件”是說(shuō)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，“相互獨(dú)立事件”是說(shuō)一個(gè)事件發(fā)生與否與另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.這兩個(gè)概念一定要搞清楚，區(qū)分開(kāi).2.條件概率是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，解決此類(lèi)問(wèn)題一定要分清事件A及事件B是什么，分清事件AB及事件A發(fā)生的概率是多少.,高考專(zhuān)家助教,祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！,