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,,一、定積分的元素法,二、平面圖形的面積,第七節(jié)定積分的幾何應用,三、旋轉體的體積,四、平行截面面積已知的立體的體積,五、小結,回顧,曲邊梯形求面積的問題,一、定積分的元素法,,,,面積元素,,這個方法通常叫做元素法．,應用方向：,平面圖形的面積，體積。,經(jīng)濟應用。其他應用。,,二、平面圖形的面積,,,,,,,,,如何用元素法分析？,,，,,,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,,,,二、平面圖形的面積,,如何用元素法分析？,,,第二步：寫出面積表達式。,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析？,,平面曲線的函數(shù)表達式：,,,(1)曲線可表示為函數(shù)：y=f(x),設曲線上任意一點為(x,y).則曲線的函數(shù)表達式分為,,x,y,,,,x,y,(2)曲線可表示為函數(shù)：x=f(y),,,x,y,,,,,,,,y,x,,,,平面圖形的面積,,,,平面圖形的面積,,,,平面圖形的面積,,,,平面圖形的面積,,,,平面圖形的面積,,,,平面圖形的面積,,,,平面圖形的面積,,,,平面圖形的面積,則橢圓的面積為,解：設橢圓在第一象限的面積為S1。,例,,,,,,,,平面圖形的面積,2,,,,,平面圖形的面積,2,,,平面圖形的面積,2,,c,,,,平面圖形的面積,2,,c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分的兩倍。,S=2[],,例,下頁,解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分的兩倍。,S=2[],=2[],例,下頁,,,,,平面圖形的面積,3,,,,平面圖形的面積,3,,,,,,平面圖形的面積,,,,平面圖形的面積,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、立體的體積,設一立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,b]，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。,,立體的體積元素為：,所求立體的體積為：,dV=S(x)dx。,下頁,1.已知平行截面面積求立體的體積,1.已知平行截面面積求立體的體積,二、立體的體積,設立體在y軸上的投影區(qū)間為[c,d]，過y點垂直于y軸的截面面積S1(y)是y的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。,立體的體積為：,下頁,設一立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,b]，過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。,,,,,,討論:旋轉體的體積怎樣求？,答案：,下頁,2.旋轉體的體積,,,x,區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)的立體體積：,(1)由連續(xù)曲線y?f(x)、直線x?a、x?b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體。,,,,,,討論:旋轉體的體積怎樣求？,答案：,下頁,2.旋轉體的體積,,,y,區(qū)間[c,d]上截面積為S1(y)的立體體積：,(2)由連續(xù)曲線x?j(y)、直線y?c、y?d及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體。,x?j(y),曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積：,,解：橢圓繞x軸旋轉產(chǎn)生的旋轉體的體積：,下頁,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積：,,,解：橢圓繞y軸旋轉產(chǎn)生的旋轉體的體積：,下頁,曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積：,,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積：,,例2連接坐標原點O及點P(h，r)的直線、直線x?h及x軸圍成一個直角三角形．將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體。計算這圓錐體的體積。,所求圓錐體的體積為,,解：,首頁,曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積：,,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積：,,,,,解,兩曲線的交點,面積元素,選為積分變量,,,解,兩曲線的交點,選為積分變量,,,于是所求面積,說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．,問題：,積分變量只能選嗎？,觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：,,,,考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達式？,,觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：,考慮選擇y為積分變量，如何分析面積表達式？,解,兩曲線的交點,選為積分變量,,,,解,橢圓的參數(shù)方程,由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．,,,旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．,,圓柱,三、旋轉體的體積(volumeofbody),,,,,,,,（1）,,,,圓錐,圓臺,三、旋轉體的體積(volumeofbody),,,,,,,,,,,（3）,（2）,,,,旋轉體的體積為,,,解,,,,,,直線方程為,解,,,解,,,0,1,x,y,,補充,利用這個公式，可知上例中,解,,體積元素為,,,,,如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,四、平行截面面積已知的立體的體積,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,五、小結,定積分的元素法,平面圖形的面積,旋轉體的體積,平行截面面積已知的立體的體積,思考題1,思考題1解答,,兩邊同時對求導,積分得,所以所求曲線為,曲線y=f(x)及直線y=kx+b,,所圍成的曲邊梯形,求D繞直,線y=kx+b旋轉所成立體的體積.,上有連續(xù)導數(shù),D為,※思考題2,如右圖示,,曲線在M點處的切線MT為：,思考題2解答,應用定積分的元素法，考慮子區(qū)間[x,x+dx].設相,應于[x,x+dx]的曲線弧段在直線L上的投影長為dl,,則當子區(qū)間的長充分小時,取切線MT上對應于右,端點x+dx的點到垂線,的距離為dl,則,而M點到直線L的距離為,從而得,所以曲邊梯形D繞直線L旋轉所成立體體積為,思考題3,思考題3解答,,,交點,立體體積,,,練習題,！,練習題答案,