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要點(diǎn)梳理1.解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.(3)求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解.(4)還原——將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中.,3.5數(shù)列的綜合應(yīng)用,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),2.數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加（或減少）的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.(3)分期付款模型：設(shè)貸款總額為a，年利率為r,等額還款數(shù)為b,分n期還完，則b=,基礎(chǔ)自測1.數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列且a7、a10、a15是等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，若等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=3,則b2等于（）A.B.5C.2D.解析由條件知=a7a15,∴（a7+3d）2=a7(a7+8d),d≠0∴9d=2a7，q=∵b1=3，∴b2=b1q=5.,B,∵,,2.一套共7冊的書計(jì)劃每兩年出一冊，若出完全部各冊書，公元年代之和為13958，則出齊這套書的年份是（）A.1994B.1996C.1998D.2000解析設(shè)出齊這套書的年份是x，則（x-12）+(x-10)+(x-8)+…+x=13958,∴7x-=13958,∴x=2000.,D,3.（2009四川文，3）等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項(xiàng)a1=1,a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)之和是（）A.90B.100C.145D.190解析由題意知，（a1+d）2=a1(a1+4d),即+2a1d+d2=+4a1d,∵d≠0,∴d=2a1=2.∴S10=10a1+d=10+90=100.,B,4.有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要（）A.6秒B.7秒C.8秒D.9秒解析依題意1+21+22+…+2n-1≥100,∴≥100,∴2n≥101,∴n≥7,即至少需要7秒細(xì)菌將病毒全部殺死.,B,5.已知數(shù)列{an}中，a1=2，點(diǎn)（an-1,an）(n＞1且n∈N)滿足y=2x-1，則a1+a2+…+a10=.解析∵an=2an-1-1，∴an-1=2(an-1-1),∴{an-1}是等比數(shù)列，則an=2n-1+1.∴a1+a2+…+a10=10+(20+21+22+…+29)=10+=1033.,1033,題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列，求Tn.S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.求an.（2）注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互關(guān)系.,思維啟迪,（1）運(yùn)用公式an=,,題型分類深度剖析,解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2an,則an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an=3n-1.（2）設(shè){bn}的公差為d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可設(shè)b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由題意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.∵等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，∴d＞0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+2=n2+2n.,探究提高對等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系.往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.知能遷移1（2009全國Ⅰ文，17）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比是正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通項(xiàng)公式.解設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17,①由T3-S3=12得q2+q-d=4.②由①、②及q＞0解得q=2,d=2.故所求的通項(xiàng)公式為an=2n-1,bn=32n-1.,題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用【例2】（12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}是等比數(shù)列；（2）若bn=anf(an),{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,當(dāng)a=時(shí),求Sn.利用函數(shù)的有關(guān)知識得出an的表達(dá)式，再利用表達(dá)式解決其他問題.,思維啟迪,（1）證明f(an)=4+(n-1)2=2n+2,∵logaan=2n+2,［2分］∴an=a2n+2.∴（n≥2）為定值.∴{an}為等比數(shù)列.［5分］(2)解bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.當(dāng)a=時(shí)，bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.［7分］Sn=223+324+425+…+(n+1)2n+2①2Sn=224+325+426+…+n2n+2+(n+1)2n+3②①-②得-Sn=223+24+25+…+2n+2-(n+1)2n+3,解題示范,=16+-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.∴Sn=n2n+3.［12分］數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題.此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題.解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形.,探究提高,知能遷移2設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，首項(xiàng)a1=1,公比q=f(≠-1,0).（1）證明：Sn=（1+）-an；（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;（3）若=1,記cn=an,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:當(dāng)n≥2時(shí),2≤Tn<4.,(1)證明,(2)解,∴是首項(xiàng)為=2,公差為1的等差數(shù)列.=2+(n-1)=n+1,即bn=,(3)證明∵當(dāng)=1時(shí),,又∵Tn+1-Tn＞0,∴Tn單調(diào)遞增.∴Tn≥T2=2.故當(dāng)n≥2時(shí),2≤Tn<4.,兩式相減得,題型三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例3】假設(shè)某市2008年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2008年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？（參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59),（1）要求學(xué)生會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:Sn=250n+50=25n2+225n≥4750.(2)an＞0.85bn,bn=4001.08n-1.解（1）設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1=250,d=50,則an=250+(n-1)50=50n+200Sn=250n+50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù)，∴n≥10.因此到2017年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.,思維啟迪,（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1=400,q=1.08,則bn=400(1.08)n-1.由題意可知an＞0.85bn,即50n+200＞400(1.08)n-10.85.當(dāng)n=5時(shí)，a5＜0.85b5,當(dāng)n=6時(shí)，a6＞0.85b6,因此滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.因此到2013年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.,解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題，這也是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的具體體現(xiàn).,探究提高,知能遷移3某市2008年共有1萬輛燃油型公交車,有關(guān)部門計(jì)劃于2009年投入128輛電力型公交車,隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%,試問:(1)該市在2015年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車?(2)到哪一年底,電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的?(lg657=2.82,lg2=0.30,lg3=0.48)解(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列{an},其中a1=128,q=1.5,則在2015年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7=a1q6=1281.56=1458（輛）.,（2）記Sn=a1+a2+…+an，依據(jù)題意，得＞，于是Sn=＞5000（輛），即1.5n＞兩邊取常用對數(shù)，則nlg1.5＞lg即n＞≈7.3,又n∈N*，因此n≥8.所以到2016年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的.,方法與技巧1.深刻理解等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過程是解題的關(guān)鍵.兩類數(shù)列性質(zhì)既有相似之處，又有區(qū)別，要在應(yīng)用中加強(qiáng)記憶.同時(shí)，用好性質(zhì)也會降低解題的運(yùn)算量，從而減少差錯(cuò).2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程（組）求解，在解方程組時(shí)，仔細(xì)體會兩種情形中解方程組的方法的不同之處.,思想方法感悟提高,3.數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度.解決此類題目，必須對蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價(jià)轉(zhuǎn)換”等.4.在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會在實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用它解決實(shí)際問題.,失誤與防范1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習(xí).2.數(shù)列的應(yīng)用還包括實(shí)際問題，要學(xué)會建模，對應(yīng)哪一類數(shù)列，進(jìn)而求解.3.在有些情況下，證明數(shù)列的不等式要用到放縮法.,一、選擇題1.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為（）A.B.C.D.或解析設(shè){an}的公比為q(q＞0)，由a3=a2+a1,得q2-q-1=0，解得q=.因此,B,定時(shí)檢測,2.數(shù)列{an}中,an=3n-7(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1=,bn-1=27bn(n≥2且n∈N*),若an+logkbn為常數(shù),則滿足條件的k值（）A.唯一存在,且為B.唯一存在,且為3C.存在且不唯一D.不一定存在,解析依題意,∴an+logkbn=3n-7+logk()3n-2=3n-7+(3n-2)logk=(3+3logk)n-7-2logk,∵an+logkbn是常數(shù)，∴3+3logk=0,即logk=-1,∴k=3.答案B,3.有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（）A.4B.5C.6D.7,解析正方體按從下向上的順序其棱長構(gòu)成等比數(shù)列，其棱長分別為：2，，1，，，…，n層正方體的表面積為由已知：40-32（）n＞39，整理得2n＞32,∴n＞5.答案C,4.氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N*),使用它直至報(bào)廢最合算（所謂報(bào)廢最合算是指使用這臺儀器的平均耗資最少）為止,一共使用了（）A.800天B.600天C.1000天D.1200天,解析由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N*)，可以得出觀測儀的整個(gè)耗資費(fèi)用，由平均費(fèi)用最少而求得最小值成立時(shí)的相應(yīng)n的值.設(shè)一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)n=800.答案A,5.2008年春，我國南方部分地區(qū)遭受了罕見的特大凍災(zāi).大雪無情人有情，柳州某中學(xué)組織學(xué)生在學(xué)校開展募捐活動(dòng)，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的捐款人數(shù)是前一天的2倍，且當(dāng)天人均捐款數(shù)比前一天多5元，則截止到第5天（包括第5天）捐款總數(shù)將達(dá)到（）A.4800元B.8000元C.9600元D.11200元解析由題意知，5天共捐款1010+（102）（10+5）+（1022）（15+5）+（1023）（20+5）+（1024）（25+5）=8000（元）.,B,6.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是方程x2-bnx+2n=0的兩個(gè)實(shí)根，則b10等于（）A.24B.32C.48D.64解析依題意有anan+1=2n，所以an+1an+2=2n+1,兩式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比數(shù)列，a2,a4,a6,…成等比數(shù)列，而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又因?yàn)閍n+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64.,D,二、填空題7.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=-2,an+2=-,則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為.解析由于a1=1,a2=-2,an+2=-，所以a3=-1,a4=,a5=1,a6=-2,…,于是{an}是周期為4的數(shù)列，故S26=6（1-2-1+）+1-2=-10.,-10,12345678910……………………,8.（2008江蘇，10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：,按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為.解析前n-1行共有正整數(shù)1+2+…+(n-1)個(gè),即個(gè),因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè),即為.,9.（2009福建理，15）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和;②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為.,解析設(shè)第n個(gè)同學(xué)報(bào)出的數(shù)為an,則an+an+1=an+2,∴an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1,an+4=an+3+an+2=2an+3an+1,∴an+4+an=3an+3an+1=3(an+an+1).又an為大于0的整數(shù),∴an被3整除時(shí)，an+4也被3整除；an不被3整除時(shí)，an+4也不被3整除.又a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,∴{an}中被3整除的數(shù)為a4+4k(k∈N),又甲報(bào)出的數(shù)為a1+5m(m∈N),∴甲報(bào)出的數(shù)a1+5m被3整除時(shí)，存在k∈N,使1+5m=4+4k,,∴k=∴m-3被4整除，設(shè)m-3=4p(p∈Z)，則m=4p+3.∵1≤1+5m≤100,∴0≤m≤19.8,∴0≤4p+3≤19.8,∴-≤p≤4.2,∴p只能取0，1，2，3，4共5個(gè)整數(shù)，∴m只能取3，7，11，15，19共5個(gè)整數(shù)，∴甲報(bào)出的數(shù)只有5次能被3整除.∴甲拍了5次手.答案5,三、解答題10.為保護(hù)我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，該礦區(qū)計(jì)劃從2010年開始出口，當(dāng)年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%.（1）以2010年為第一年，設(shè)第n年出口量為an噸，試求an的表達(dá)式；（2）因稀土資源不能再生，國家計(jì)劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2010年最多出口多少噸？（結(jié)果保留一位小數(shù)參考數(shù)據(jù)：0.910≈0.35）.,解（1）由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)a1=a,公比q=1-10%=0.9,∴an=a0.9n-1.（2）10年出口總量S10==10a(1-0.910).∵S10≤80，∴10a（1-0.910）≤80，即a≤∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3噸.,11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N*）.其中m為常數(shù)，m≠-3,且m≠0.（1）求證：{an}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}的公比滿足q=f(m)且b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求證：為等差數(shù)列,并求bn.證明（1）由（3-m）Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,兩式相減，得(3+m)an+1=2man(m≠-3),∴∵m是常數(shù)，且m≠-3，m≠0，,故是不為0的常數(shù)，∴{an}是等比數(shù)列.（2）由b1=a1=1,q=f(m)=,n∈N*且n≥2,bn=f(bn-1)=得bnbn-1+3bn=3bn-1，∴∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，,12.一輛郵政車自A城駛往B城，沿途有n個(gè)車站（包括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B），每停靠一站便要卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋各一個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)，設(shè)該車從各站出發(fā)時(shí)郵政車內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個(gè)有窮數(shù)列{ak}(k=1,2,3,…,n).（1）求a1,a2,a3的值;（2）郵政車從第k站出發(fā)時(shí)，車內(nèi)共有多少個(gè)郵袋？（3）求數(shù)列{ak}的前k項(xiàng)和Sk.,解（1）由題意得a1=n-1,a2=(n-1)+(n-2)-1=2n-4,a3=(n-1)+(n-2)+(n-3)-1-2=3n-9.（2）在第k站出發(fā)時(shí)，放上的郵袋共：(n-1)+(n-2)+…+(n-k)個(gè)，而從第二站起，每站放下的郵袋共：1+2+3+…+(k-1)個(gè)，故ak=(n-1)+(n-2)+…+(n-k)-［1+2+…+(k-1)］=kn-k(k+1)-k(k-1)=kn-k2(k=1,2,…,n),,即郵政車從第k站出發(fā)時(shí)，車內(nèi)共有郵袋數(shù)kn-k2（k=1，2，…，n）個(gè).（3）∵ak=kn-k2，∴Sk=（n+2n+…+kn）-（12+22+…+k2）=k（n+kn）-,返回,