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1,第八章,熱學(xué)基礎(chǔ),2,1,第一節(jié),氣體分子運(yùn)動論,3,在這一章里，我們只研究處于平衡態(tài)的系統(tǒng)。,宏觀物體是由大量微粒--分子（或原子）組成的。物體中的分子處于永不停息的無規(guī)則運(yùn)動中，其激烈程度與溫度有關(guān)。分子之間存在著相互作用力。,系統(tǒng)：在給定范圍內(nèi)，由大量微觀粒子所組成的宏觀客體。,熱力學(xué)平衡態(tài)：一個系統(tǒng)在不受外界影響的條件下，如果它的宏觀性質(zhì)不再隨時間變化，我們就說這個系統(tǒng)處于熱力學(xué)平衡態(tài)。,平衡態(tài)下，組成系統(tǒng)的微觀粒子仍處于不停的無規(guī)運(yùn)動之中，只是它們的統(tǒng)計(jì)平均效果不隨時間變化，因此熱力學(xué)平衡態(tài)是一種動態(tài)平衡，稱之為熱動平衡。,前言,平衡態(tài)是系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的一種特殊情況。,4,確定平衡態(tài)的宏觀性質(zhì)的量稱為狀態(tài)參量。常用的狀態(tài)參量有四類：幾何參量、力學(xué)參量、化學(xué)參量和電學(xué)參量。,5.分子之間有間隙。如50l水與50l酒精混合，混合液的體積為97l而不是100l。再如：在2萬個大氣壓下油從鋼瓶壁滲出。說明分子之間有間隙。,4.分子之間有作用力。當(dāng)分子間距離較小時為斥力，分子間距離較大時為引力。,2.標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1m3的氣體約有1025個分子。1mol氣體有6.022?1023個分子。,3.分子在不停地作熱運(yùn)動，在常溫常壓下每秒發(fā)生幾億次碰撞。,了解有關(guān)氣體的一些性質(zhì):,1.氣體是由大量分子組成的，氣體分子的直徑約為10-10m;,5,一個熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)可由四種狀態(tài)參量確定。,1.什么是理想氣體,氣體狀態(tài)方程：表征氣體平衡態(tài)的三個狀態(tài)參量T、V、和P之間存在著的函數(shù)關(guān)系。,理想氣體：在任何情況下絕對遵守玻意耳—馬略特定律、蓋—呂薩克定律和查理定律這三條實(shí)驗(yàn)規(guī)律的氣體。,對于一定量的氣體，在平衡態(tài)下，如果忽略重力的作用，可以用體積V、壓強(qiáng)P、溫度T來描述它的狀態(tài)。,理想氣體處于熱平衡態(tài)下時，各狀態(tài)參量之間的關(guān)系：,2.理想氣體的狀態(tài)方程,6,各物理量的含義：,1.壓強(qiáng)P—單位面積的壓力。,國際單位：牛頓/米2，Nm-2,帕（Pa）,常用單位：大氣壓，atm,從力學(xué)角度描寫氣體狀態(tài)的物理量。,其它單位：,厘米汞柱，cmHg,托，Torr,理想氣體狀態(tài)方程：,2.體積V----氣體分子活動的空間體積。,從幾何角度描寫氣體狀態(tài)的物理量。,對于理想氣體分子大小不計(jì)，分子活動的空間體積就是容器的體積。,7,國際單位：米3，m3,常用單位：升，l,3.溫度T,從熱學(xué)角度描寫氣體狀態(tài)的物理量。,國際單位：絕對溫標(biāo)T開，k,常用單位：攝氏溫標(biāo)t度，,4.摩爾數(shù),氣體質(zhì)量,摩爾質(zhì)量,單位：摩爾，mol,5.普適氣體恒量R,8,理想氣體狀態(tài)方程：,分子的質(zhì)量為m，分子數(shù)為N，,氣體質(zhì)量：,摩爾質(zhì)量：,N0為阿伏加德羅常數(shù)，,,,令:,稱為玻爾茲曼常數(shù),為分子數(shù)密度。,3.理想氣體狀態(tài)方程的變形,理想氣體狀態(tài)方程的變形,9,壓強(qiáng)是由于大量氣體分子對容器壁碰撞的結(jié)果。,例如：籃球充氣后，球內(nèi)產(chǎn)生壓強(qiáng)，是由大量氣體分子對球壁碰撞的結(jié)果。,我們要用氣體分子運(yùn)動論來討論宏觀的壓強(qiáng)與微觀的氣體分子運(yùn)動之間的關(guān)系。,1.研究方法,從微觀物質(zhì)結(jié)構(gòu)和分子運(yùn)動論出發(fā)運(yùn)用力學(xué)規(guī)律和統(tǒng)計(jì)平均方法，解釋氣體的宏觀現(xiàn)象和規(guī)律，并建立宏觀量與微觀量之間的關(guān)系。,2.關(guān)于理想氣體的一些假設(shè),理想氣體的假設(shè)可分為兩部分：一部分是關(guān)于分子個體的；另一部分是關(guān)于分子集體的。,10,1.氣體分子本身的線度比起分子間的平均距離來說，小得多，可以忽略不計(jì)，,（1）個體分子的力學(xué)性質(zhì)假設(shè),2.氣體分子間和氣體分子與容器壁分子之間除了碰撞的瞬間外，不存在相互作用。,3.分子在不停地運(yùn)動著，分子之間及分子與容器壁之間頻繁發(fā)生碰撞，這些碰撞都是完全彈性碰撞。,4.每個分子都遵從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。,理想氣體的微觀模型假設(shè)：理想氣體分子像一個個極小的彼此間無相互作用的彈性質(zhì)點(diǎn)。,對于單個分子的運(yùn)動遵守牛頓定律，但由于分子數(shù)目太多，使得單個分子的運(yùn)動極為復(fù)雜，即單個分子的運(yùn)動是無規(guī)則的，運(yùn)動情況瞬息萬變。但大量分子的整體卻出現(xiàn)了規(guī)律性，這種規(guī)律性具有統(tǒng)計(jì)平均的意義，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,11,2、分子集體的統(tǒng)計(jì)假設(shè),對大量無規(guī)則的事件，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，滿足一定的規(guī)律性，事件的次數(shù)越多，規(guī)律性也越強(qiáng)，,定義:某一事件i發(fā)生的概率Pi,例如：投擲硬幣，有2個面，開始幾次出現(xiàn)哪一面朝上是無規(guī)律的，但隨著投擲的次數(shù)越多，出現(xiàn)某一面的概率越接近二分之一。,統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下幾個特點(diǎn):,1.對大量偶然事件整體所遵守的規(guī)律為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,道爾頓板實(shí)驗(yàn),2.總是伴隨著漲落。,12,以氣體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性為依據(jù)，可以對氣體系統(tǒng)提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：,1.氣體分子處在平衡態(tài)時，若忽略重力的影響分子在容器中的空間分布平均來說是均勻的，如果以N表示容積體積V內(nèi)的分子數(shù)，則分子數(shù)密度n應(yīng)到處一樣，,2.氣體在平衡態(tài)時，每個分子的速度指向任何方向的機(jī)會（幾率）是一樣的。,分子在x方向的平均速度：,同樣對于分子的無規(guī)則的熱運(yùn)動也可用統(tǒng)計(jì)平均的方法去找出其內(nèi)在的規(guī)律性：分子在各方向運(yùn)動的概率是相同的，沒有哪個方向的運(yùn)動占優(yōu)勢。,由于分子沿x軸正向和x軸負(fù)向的運(yùn)動概率是相同的，因此，在x方向上分子的平均速度為0。,13,同樣有,分子速度在x方向的方均值：,同理，分子速度在y、z方向的方均值：,由于分子在x、y、z三個方向上沒有哪個方向的運(yùn)動占優(yōu)勢，所以，分子的三個速度方均值相等。,由矢量合成法則，分子速度的方均值為：,則,14,注意：統(tǒng)計(jì)假設(shè)是對系統(tǒng)中大量分子平均而言的，若系統(tǒng)包含的分子數(shù)越多，假設(shè)就愈接近實(shí)際情況。,同理,dI為大量分子在dt時間內(nèi)施加在器壁dA面上的平均沖量。,3.理想氣體壓強(qiáng)公式,從微觀上看，氣體的壓強(qiáng)等于大量分子在單位時間內(nèi)施加在單位面積器壁上的平均沖量。有:,設(shè)在體積為V的容器中儲有N個質(zhì)量為m的分子組成的理想氣體。平衡態(tài)下，若忽略重力影響，則分子在容器中按位置的分布是均勻的。分子數(shù)密度為：n=N/V。,15,平衡態(tài)下，器壁各處壓強(qiáng)相等，取直角坐標(biāo)系，在垂直于x軸的器壁上任取一小面積dA,計(jì)算其所受的壓強(qiáng)（如右圖）,2.分子以vx向dA面碰撞，并以-vx彈回，分子受dA面的沖量：,1.跟蹤一個分子，某一時刻的速度v在x方向的分量為vx。則有：,為討論方便，將分子按速度分組，第i組分子的速度為vi（嚴(yán)格說在vi附近）分子數(shù)為Ni,分子數(shù)密度為ni=Ni/V,并有n=n1+n2+……+ni+….=?ni,16,dt時間內(nèi)，碰到dA面的第i組分子施于dA的沖量為：,單個分子在對dA的一次碰撞中施于dA的沖量為2mvix。,在全部速度為vi的分子中，在dt時間內(nèi)，能與dA相碰的只是那些位于以dA為底，以vixdt為高，以vi為軸線的柱體內(nèi)的分子。分子數(shù)為nivixdtdA。,dt時間內(nèi)，與dA相碰撞的所有分子施與dA的沖量為：,注意：vix0的分子數(shù)等于vix<0的分子數(shù)。,壓強(qiáng),又,平衡態(tài)下，分子速度按方向的分布是均勻的，有,所以,壓強(qiáng)公式,18,定義分子平均平動動能：,壓強(qiáng)公式又可表示為：,由氣體的質(zhì)量密度：,壓強(qiáng)公式：,壓強(qiáng)公式又可表示為：,1.壓強(qiáng)是由于大量氣體分子碰撞器壁產(chǎn)生的，它是對大量分子統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果。對單個分子無壓強(qiáng)的概念。,2.壓強(qiáng)公式建立起宏觀量壓強(qiáng)P與微觀氣體分子運(yùn)動之間的關(guān)系。,注意幾點(diǎn)：,19,由壓強(qiáng)公式,溫度公式：,明確幾點(diǎn)：,1.溫度是對大量分子熱運(yùn)動的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果，對個別分子溫度無意義。,2.,溫度是分子平均平動動能的標(biāo)志。,分子運(yùn)動得越激烈，溫度越高。,3.不同氣體溫度相同，平均平動動能相同。,20,不同氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的n相同。,5.由溫度公式可計(jì)算某一溫度下氣體的方均根速率。,4.由P=nkT可知標(biāo)準(zhǔn)狀況下分子數(shù)密度。,方均根速率,21,分子平均平動動能：,,,且,在x方向上平均分配了kT/2的能量。,同理：,在x、y、z方向上均分配了一份kT/2的能量，,22,將理想氣體模型稍作修改，即將氣體分為單原子分子氣體，雙原子分子氣體，多原子分子氣體。這樣，氣體分子除平動外，還有轉(zhuǎn)動和分子內(nèi)原子之間的振動。作為統(tǒng)計(jì)初步，可不考慮分子內(nèi)部的振動，而認(rèn)為分子是剛性的。為用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算分子動能，首先介紹自由度的概念。,1.自由度,在力學(xué)中，自由度是指決定一個物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù).,所謂獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)是指描寫物體位置所需的最少的坐標(biāo)數(shù)。,自由度是描述物體運(yùn)動自由程度的物理量。,考慮分子的能量時，要考慮分子各種運(yùn)動的能量。,23,例如：,輪船在海平面上行駛，要描寫輪船的位置至少需要兩維坐標(biāo)，則自由度為2。,飛機(jī)在天空中飛翔，要描寫飛機(jī)的空間位置至少需要三維坐標(biāo)，則自由度為3。,但對于火車在軌道上行駛時自由度是多少呢？,自由度是1，由于受到軌道限制有一維坐標(biāo)不獨(dú)立。,物體沿一維直線運(yùn)動，最少只需一個坐標(biāo)，則自由度數(shù)為1。,24,2.兩個剛性質(zhì)點(diǎn),描寫其質(zhì)心位置需3個平動自由度，,描寫其繞x、y軸轉(zhuǎn)動需2個轉(zhuǎn)動自由度，繞z軸的轉(zhuǎn)動能量可不計(jì)，,,,總自由度數(shù)：,1.一個質(zhì)點(diǎn),描寫它的空間位置，需要3個平動自由度，,3.三個或三個以上的剛性質(zhì)點(diǎn),平動自由度,轉(zhuǎn)動自由度,總自由度,25,對于理想氣體在常溫下，分子內(nèi)各原子間的距離認(rèn)為不變，只有平動自由度、轉(zhuǎn)動自由度。,2.氣體分子自由度,1.單原子分子氣體,例如：He、Ne、Ar。其模型可用一個質(zhì)點(diǎn)來代替。,平動自由度,轉(zhuǎn)動自由度,總自由度,2.雙原子分子氣體,例如：氫氣（H2）、氧氣（O2）等為雙原子分子氣體。其模型可用兩個剛性質(zhì)點(diǎn)模型來代替。,平動自由度,轉(zhuǎn)動自由度,總自由度,26,3.多原子分子氣體,例如：二氧化碳?xì)怏w（CO2）、水蒸氣（H2O）、甲烷氣體（CH4）等為多原子分子氣體。其模型可用多個剛性質(zhì)點(diǎn)來代替。,平動自由度,轉(zhuǎn)動自由度,總自由度,3.分子動能按自由度均分的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,每個平動自由度上分配了一份kT/2的能量，,推廣到轉(zhuǎn)動等其它運(yùn)動形式，得能量按自由度均分定理。,在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個自由度的平均動能都相等，都等于。,27,平動動能,,,轉(zhuǎn)動動能,使平動動能與轉(zhuǎn)動動能達(dá)到相同，即每個自由度上也平均分配了kT/2能量。,由此可知，分子有i個自由度，其平均動能就有i份kT/2的能量。,分子平均總動能：,由于分子的激烈碰撞（幾億次/秒），使平動動能與轉(zhuǎn)動動能不斷轉(zhuǎn)換，,說明：,1）該定理是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的系統(tǒng)。,2）是由于大量分子無規(guī)則碰撞的結(jié)果。,能量按自由度均分原理：在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個自由度的平均動能都相等，都于。,28,4.氣體分子的能量,對于理想氣體而言，分子間的作用力忽略不計(jì)，分子與分子間的勢能為零。,由于只考慮常溫狀態(tài)，分子內(nèi)的原子間的距離可認(rèn)為不變，則分子內(nèi)原子與原子間的勢能也可不計(jì)。,一個氣體分子的能量為：,5.理想氣體的內(nèi)能,理想氣體：,氣體內(nèi)能：所有氣體分子的動能和勢能的總和。,理想氣體內(nèi)能：所有分子的動能總和。,1.一個分子的能量為:,29,1.一個分子的能量為:,2.1mol氣體分子的能量為:,3.M千克氣體的內(nèi)能為：,對于一定量的理想氣體，它的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)而且與熱力學(xué)溫度成正比。,單原子分子氣體,剛性雙原子分子氣體,剛性多原子分子氣體,當(dāng)溫度變化?T時,當(dāng)溫度變化dT時,思考：單位體積與單位質(zhì)量的內(nèi)能又各為多少？,30,氣體中個別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整體來看，在一定的條件下，氣體分子的速度分布也遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這個規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。,按統(tǒng)計(jì)假設(shè)，各種速率下的分子都存在，可以用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比來表示分子按速率的分布規(guī)律。,1.將速率從分割成很多相等的速率區(qū)間。,1.速率分布函數(shù),例如速率間隔取100m/s,,整個速率分為0—100；100—200；…等區(qū)間。,31,則可了解分子按速率分布的情況。,2.總分子數(shù)為N，,3.概率,與,,v有關(guān)，不同v附近概率不同。,有關(guān)，速率間隔大概率大。,該區(qū)間內(nèi)分子數(shù)為dN，,在該速率區(qū)間內(nèi)分子的概率,32,寫成等式,速率分布函數(shù)的物理意義：表示在速率v附近，單位速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率，或單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,由于全部分子百分之百地分布在由0到?的整個速率范圍內(nèi)，,歸一化條件,速率分布函數(shù),表示分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率（或百分比）,33,例：試說明下列各式的物理意義。,答：由速率分布函數(shù)可知,表示在速率v附近，dv速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率。,表示在速率v附近，dv速率區(qū)間內(nèi)分子的個數(shù)。,表示在速率v1~v2速率區(qū)間內(nèi)，分子出現(xiàn)的概率。,表示在速率v1~v2速率區(qū)間內(nèi)，分子出現(xiàn)的個數(shù)。,34,1.f(v)~v曲線,討論：,,麥克斯韋速率分布函數(shù),2.麥克斯韋速率分布定律,1860年麥克斯韋推導(dǎo)出理想氣體的速率分布律。,在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間v~v+dv的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為,35,2.在dv速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率,,,,,3.在f(v)~v曲線下的面積為該速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率：,36,,4.在f(v)~v整個曲線下的面積為1-----歸一化條件。,分子在整個速率區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率為1。,,5.最可幾速率vP,物理意義：若把整個速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在vP所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。,,37,,將f(v)對v求導(dǎo)，令一次導(dǎo)數(shù)為0，,,最可幾速率：,,38,討論：,1）vP與溫度T的關(guān)系,曲線的峰值右移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值降低。,,,,,,,,曲線的峰值左移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值升高。,2）vP與分子質(zhì)量m的關(guān)系,39,氣體分子在各種速率的都有，那么平均速率是多大呢？,假設(shè)：速率為v1的分子有個，,速率為v2的分子有個，,平均速率：,1.平均速率,利用麥克斯韋速率分布率可計(jì)算方均根速率、平均速率等物理量。,3.麥克斯韋速率分布定律的應(yīng)用,40,計(jì)算一個與速率有關(guān)的物理量g(v)的統(tǒng)計(jì)平均值的公式：,利用此公式還可計(jì)算分子的方均根速率、分子的平均平動動能等。,利用積分公式,上下同乘N0有：,平均速率,得：,41,利用方均根速率可計(jì)算分子的平均平動動能。利用計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均值公式：,利用廣義積分公式,3.方均根速率,方均根速率,與前面溫度公式中所講的方均根速率相同。,42,,,,4.三種速率的比較,三種速率統(tǒng)計(jì)值有不同的應(yīng)用：,在討論速率分布時，要用到最可幾速率；在計(jì)算分子運(yùn)動的平均距離時，要用到平均速率；在計(jì)算分子的平均平動動能時，要用到方均根速率。,