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,自然界的許多現象都具有周期性，如心臟的跳動、肺的運動、給我們居室提供動力的電流、電子信號技術中常見的方波、鋸齒形波和三角波以及由空氣的周期性振動產生的聲波等等。,內容簡介,5.1周期為的周期函數展開成傅里葉級數,,,一、案例二、概念和公式的引出三、進一步的練習,周期函數可表示為f(T+t)=f(t)，T為函數,F(t)的周期。如物理上“正弦振動”或,“簡諧振動”的運動方程為,電子技術中常用的周期T的矩形波可看成若干個正弦波,疊加而成，如下圖所示：,三角級數,由正弦或余弦函數組成的無限多項的和，,稱為三角級數。它的一般形式為,傅里葉級數,存在，則稱它們?yōu)楹瘮礷(x)的傅里葉系數，由傅里葉系數組成的三角級數,稱為傅里葉級數。,收斂定理,的周期函數f(x)滿足條件,（狄利克雷充分條件）若周期為,則函數f(x)的傅里葉級數收斂，且,（1）當是連續(xù)點時，級數收斂于f(x)；,（2）當是間斷點時，級數收斂于,練習1[脈沖矩行波],如右圖所示，求此函數的,傅里葉級數展開式。,解,用傅里葉系數公式計算傅里葉系數如下:,因為函數f(x)是奇函數，所以f(x)cosnx是奇函數，,于是，函數f(x)的傅立葉級數展開式為,由收斂定理知函數f(x)在,范圍內與級數相等,即,當,此函數的傅立葉級數收斂情況如下圖所示．,當n分別1,2,3,6取時，傅立葉級數的部分和Sn(x)圖形與函數f(x)的方波逼近的情況，類似于本章開始演示的圖形．,時，傅立葉級數收斂于,練習2[脈沖三角信號],如右圖所示，將函數,f(x)展開成傅里葉級數。,解,因為函數f(x)是偶函數，所以f(x)sinnx是奇函數，,注：從以上幾個例子可以得出下面結論：,傅立葉級數只含正弦項，稱為正弦級數．,傅立葉級數只含余弦項，稱為余弦級數．,練習3[鋸齒脈沖信號],如右圖所示，將它展開成,的表達式為,傅里葉級數。,解,函數f(x)為非奇非偶函數．計算傅立葉系數如下．,于是，函數f(x)的傅立葉級數展開式為,