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專題集訓11　直角三角形探究 一、選擇題 1．在Rt△ABC中，∠A＝90，有一個銳角為60，BC＝6.若P在直線AC上(不與點A，C重合)，且∠ABP＝30，CP的長不可能的是( C ) A．2　　　B．4　　　C．8　　　D．6 【解析】①當∠C＝60時，∠ABC＝30，如圖①，與∠ABP＝30矛盾；②當∠C＝60，如圖②，∵∠ABP＝30，∴∠CBP＝60，∴CP＝BC＝6；③當∠ABC＝60時，∠C＝30，如圖③，∵∠ABP＝30，∴∠C＝∠ABP＝30，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC＝PB＝＝＝2；④當∠ABC＝60時，∠C＝30，如圖④，∵∠ABP＝30，∴∠PBC＝90，∴PC＝BCcos30＝4.故不能為8，選C. 二、填空題 2．在某海防觀測站的正東方向12海里處有A，B兩艘船相遇，然后A船以每小時12海里的速度往南航行，B船以每小時3海里的速度向北漂流．則經(jīng)過__2__小時后，觀測站及A，B兩船恰成一個直角三角形． 【解析】 如圖，設經(jīng)過t小時后，觀測站及A，B兩船成直角三角形，此時BC＝3t，AC＝12t，而OC＝12，易知OC⊥AB，于是有△BCO∽△OCA，∴有OC2＝BCAC，即122＝3t12t＝36t2，解得t＝2或t＝－2(舍去)． 3．在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ABC＝60，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，且∠ABD＝90，連結CD，則線段CD的長為__2或2__． 【解析】依題作圖，過C作CM⊥AB于M，CN⊥BD于 N．由于D可能有兩種情況，反映到圖中即求CD1和CD2的長，易知四邊形CMBN為矩形，而∠ABC＝60，AB＝6，BC＝2，∴BM＝NC＝，MC＝BN＝3，BD2＝AB＝6，∴N恰為BD2中點，△CNB≌△CND2.∴CB＝CD2＝2，又D1N＝6＋3＝9，∴CD1＝＝＝2. 4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC＝4 cm，CD＝1 cm，若動點E以1 cm/s的速度從A點出發(fā)，沿著A→B→A的方向運動，至A點結束，設E點的運動時間為t秒，連結DE，當△BDE是直角三角形時，t的值為__或或或7__秒． 【解析】①如圖，當DE1⊥CB時，滿足條件．∵AC⊥CB，又AC＝CB＝4，CD＝1，∴BD＝3，即得DE1＝3，∴BE1＝3，∴AE1＝AB－E1B＝4－3＝，∴t＝＝秒； ②當DE2⊥AB時，滿足條件．此時，BD＝，DE2＝E2B＝，AE2＝AB－E2B＝4－＝，t＝秒；③返回到E2時，t＝＝4＋＝秒；④返回到E1時，t＝＝2AB－AE1＝8－＝7秒． 三、解答題 5．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60，則當△PAB為直角三角形時，求AP的長． 解：如圖，分三種情況討論：圖(1)中，∠APB＝90，∵AO＝BO，∠APB＝90，∴PO＝AO＝BO＝2，又∠AOC＝60，∴△APO是等邊三角形，∴AP＝2；圖(2)中，∠APB＝90，∵AO＝BO，∠APB＝90，∴PO＝AO＝BO＝2，又∠AOC＝60，∴∠BAP＝30，在Rt△ABP中，AP＝cos304＝2；圖(3)中，∠ABP＝90，∵BO＝AO＝2，∠BOP＝∠AOC＝60，∴PB＝2，∴AP＝＝2，∴AP的長為2或2或2 6．如圖，已知直線y＝x＋3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D. (1)求拋物線的解析式； (2)點P從點D出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P，B，C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值． 解：(1)y＝－x2－2x＋3； (2)當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P，B，C為頂點的三角形是直角三角形