《中考數(shù)學 第二編 中檔題突破專項訓練篇 中檔題型訓練（五）圓的有關計算、證明與探究試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《中考數(shù)學 第二編 中檔題突破專項訓練篇 中檔題型訓練（五）圓的有關計算、證明與探究試題（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

中檔題型訓練(五)　圓的有關計算、證明與探究 圓的有關計算與證明是河北中考的必考內(nèi)容之一，占有較大的比重，通常結(jié)合三角形、四邊形等知識綜合考查，以計算題、證明題的形式出現(xiàn)，解答此類問題要熟練掌握圓的基本性質(zhì)，特別是切線的性質(zhì)和判定，同時要注意已知條件之間的相互聯(lián)系． 　圓的切線性質(zhì)與判定 【例1】(2016天水中考)如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由； (2)過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC＝2，⊙O的半徑是3，求BE的長． 【思路分析】(1)連接OD，根據(jù)圓周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90，從而得出∠CDA＋∠ADO＝90，再根據(jù)切線的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切線長定理得出DE＝EB，在Rt△CBE中根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【學生解答】解：(1)直線CD和⊙O的位置關系是相切．理由是：連接OD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90，∴∠DAB＋∠DBA＝90.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90，即OD⊥CE，∴直線CD是⊙O的切線，即直線CD和⊙O的位置關系是相切； (2)∵AC＝2，⊙O的半徑是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O于點D，EB切⊙O于點B，∴DE＝EB，∠CBE＝90，設DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，則(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6. 1．(2016畢節(jié)中考)如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于點F，AC＝FC. (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)已知圓的半徑R＝5，EF＝3，求DF的長． 解：(1)如圖，連接AE，AO.∵BE為半圓，∴∠BAE＝90.∵＝，∴∠BAD＝∠EAD＝45，∴∠AFC＝∠B＋45，∴∠CAF＝∠EAC＋45.∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∴∠B＋45＝∠EAC＋45，∴∠B＝∠EAC.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠EAC＝∠OAB，∴∠OAC＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90，∴AC⊥OA，∴AC為⊙O為切線； (2)如圖，連接OD.∵＝，∴∠BOD＝∠DOE＝90.在Rt△OFD中 ，OF＝5－3＝2，OD＝5，∴DF＝＝. 2．(2016承德二中一模)已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF. (1)求證：EF是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑為3，∠EAC＝60，求AD的長． 解：(1)連接FO，易證OF∥AB.∵AC是⊙O的直徑，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE.又∵OE＝OC，∴OF是線段CE的垂直平分CE，∴FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90，即∠OCE＋∠FCE＝90，∴∠OEC＋∠FEC＝90，即∠FEO＝90，∴EF為⊙O的切線； (2)∵⊙O的半徑為3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60，OA＝OE，∴∠EOA＝60，∴∠COD＝∠EOA＝60.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60，OC＝3，∴CD＝3.∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90，CD＝3，AC＝6，∴AD＝3. 　圓與相似 【例2】如圖，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30，C是弦AB上的任意一點(不與點A，B重合)，連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD. (1)弦長AB＝________；(結(jié)果保留根號) (2)當∠D＝20時，求∠BOD的度數(shù)； (3)當AC的長度為多少時，以A，C，D為頂點的三角形與以B，C，O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程． 【思路分析】(1)結(jié)合垂徑定理過點O作BC的垂線，再由特殊直角三角形得AB＝OB＝，則AB＝2；(2)結(jié)合“三角形的外角定理”和“同圓或等圓中，同弧所對圓周角是圓心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90，此時，∠BOC＝60，∠BOD＝120，∴∠DAC＝60，∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO＝90，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝. 【學生解答】解：(1)2；(2)連接OA.∵OA＝OB＝OD，∴∠BAO＝∠B＝30，∠D＝∠DAO＝20，∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝50，∴∠BOD＝2∠DAB＝100；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC，∠BCO>∠D，∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90，此時∠BOC＝60，∠BOD＝120，∴∠DAC＝60，∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO＝90，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝. 3．(2016黃岡中考)已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P.求證：(1)∠BCP＝∠BAN；(2)＝. 證明：(1)∵AC為⊙O的直徑，∴∠ANC＝90，∴∠NAC＋∠ACN＝90，∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN，∵PC是⊙O的切線，∴∠ACP＝90，∴∠ACN＋∠PCB＝90，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠BCP＝∠BAN；(2)連接MN，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵四邊形AMNC為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ACB＋∠AMN＝180，又∵∠CBP＋∠ABC＝180，∴∠PBC＝∠AMN，由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴＝. 4．(2016廣東中考)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F. (1)求證：△ACF∽△DAE; (2)若S△AOC＝，求DE的長； (3)連接EF，求證：EF是⊙O的切線． 解：(1)∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90，又∠ABC＝30，∴∠ACB＝60，又OA＝OC，∴△OAC為等邊三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60，∵AF為⊙O的切線，∴∠OAF＝90，∴∠CAF＝∠AFC＝30，∵DE為⊙O的切線，∴∠DBC＝∠OBE＝90，∴∠D＝∠DEA＝30，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2)∵△AOC為等邊三角形，∴S△AOC＝OA2＝，∴OA＝1，∴BC＝2，OB＝1，又∠D＝∠BEO＝30，∴BD＝2，BE＝，∴DE＝3；(3)如圖，過點O作OM⊥EF于點M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120，∴∠OEM＝∠OFM＝30，∴∠OEB＝∠OEM＝30，即OE平分∠BEF，又∠OBE＝∠OME＝90，∴OM＝OB，∴EF為⊙O的切線． 　圓與銳角三角函數(shù) 【例3】(2016菏澤中考)如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若＝，求cos∠ABC的值． 【思路分析】 (1)連接OC.欲證DE是⊙O的切線，只需證得OC⊥DE；(2)由＝，可設CE＝2k(k>0)，則DE＝3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE＝＝2k，則tanE＝＝，所以在Rt△OCE中，tanE＝＝，求得OC＝.在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD＝＝k，從而求出cos∠ABC的值． 【學生解答】解：(1)如圖，連接OC. ∵AD是過點A的切線，AB是⊙O的直徑，∴AD⊥AB. ∴∠DAB＝90. ∵OD∥BC, ∴∠DOC＝∠BCO，∠DOA＝∠CBA.∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠CBA，∴∠DOC＝∠DOA.在△COD和△AOD中，∴△COD≌△AOD(SAS)，∴∠OCD＝∠DAB＝90.即OC⊥DE于點C.∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線； (2)由＝，可設CE＝2k(k>0)，則DE＝3k，∴AD＝DC＝k，∴在Rt△DAE中，AE＝＝2k，∴tanE＝＝.∵在Rt△OCE中，tanE＝＝，∴＝，∴OC＝OA＝k，∴在Rt△AOD中，OD＝＝k，∴cos∠ABC＝cos∠AOD＝＝. 5．(2016唐山九中一模)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度數(shù)； (2)求證：DF是⊙O的切線； (3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 解：(1)∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90，∴∠EDC＝90；(2)連接DO，∵∠EDC＝90，F(xiàn)是EC的中點，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，∴∠ODF＝∠OCF，∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90，∴∠ ODF＝90，∴DF是⊙O的切線；(3)在△ACD與△ACE中，∠ADC＝∠ACE＝90，∠EAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AEC，∴＝，∴AC2＝ADAE.又∵AC＝2DE，∴20DE2＝(AE－DE)AE，∴(AE－5DE)(AE＋4DE)＝0，∴AE＝5DE，AD＝4DE，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，∴CD＝2DE.又在⊙O中，∠ABD＝∠ACD，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2. 6．(2016自貢模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足＝，連接AF并延長⊙O于點E，連接AD，DE，若CF＝2，AF＝3. (1)求證：△ADF∽△AED； (2)求FG的長； (3)求證：tanE＝. 解：(1)∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠ADF＝∠AED.∵∠FAD＝∠DAE，∴△ADF∽△AED； (2)∵＝，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝DF＋CF＝8，∴CG＝DG＝4，∴FG＝CG－CF＝2； (3)∵AF＝3，F(xiàn)G＝2，∴AG＝＝，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG＝＝.∵∠ADG＝∠E，∴tanE＝.