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正方形 一 選擇題： 1.如圖,在正方形ABCD的外側,作等邊三角形ADE,AC,BE相交于點F,則∠BFC為（ ） A.45 B.55 C.60 D.75 2.如圖,四邊形ABCD,AEFG都是正方形,點E，G分別在AB,AD上,連接FC，過點E作EH∥FC交BC于點H.若AB=4,AE=1,則BH的長為(　 　) A.1 B.2 C.3 D.3 3.如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結BD并延長交EG于點T，交FG于點P，則GT=（　?。? A. B.2 C.2 D.1 4.如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（　　） A．2 B．3 C． D． 5.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點O，則四邊形AB′OD的周長是（　　） A.2 B.3 C. D.1+ 6.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E、F分別在AB，AD上，若CE=，且∠ECF=45，則CF的長為（ ） A. B. C. D. 7.如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（　 ?。? A. B.2 C.2 D. 8.如圖,正方形的邊長為4，動點在正方形的邊上沿運動，運動到點停止，設，的面積，則關于的函數(shù)圖象大致為 9.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運動，到點B時停止運動；同時，動點F從點P出發(fā)，沿P→D→Q運動，點E、F的運動速度相同．設點E的運動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關系的圖象是（　 ?。? 10.如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1、S2，則S1＋S2的值為(　　) A．16 B．17 C．18 D．19 　　　 11.如圖,正方形ABCD邊長為2,點P是線段CD邊上的動點（與點C，D不重合）,,過點A作AE∥BP，交BQ于點E，則下列結論正確的是（　 ?。? A. B. C. D. 12.如圖，正方形ABCD和CEFG的邊長分別為m、n，那么△AEG的面積的值（ ） A．與m、n的大小都有關 B．與m、n的大小都無關 C．只與m的大小有 D．只與n的大小有關 13.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，P是線段AD上動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF值為（　?。? A． B．4 C． D．2 14.如圖,正方形ABCD中,點E在BC的延長線上，AE平分∠DAC，則下列結論：（1）∠E=22.50.(2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350. （4）AC=CE. (5) AD∶CE=1∶.其中正確的有（ ） A.5個 B.4個 C.3個 D.2個 15.如圖，E為正方形ABCD的邊BC上一動點，以AE為一邊作正方形AEFD，對角線AF交邊CD于H，連EH． ①BE+DH=EH；②EF平分∠HEC；③若E為BC的中點，則H為CD的中點；④．其中正確的是（　?。? 　 A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 16.如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm，動點M自A點出發(fā)沿AB方向以每秒1cm的速度運動，同時動點N從A點出發(fā)沿折線AD→DC→CB以每秒３cm的速度運動，到達B時運動同時停止，設△AMN的面積為y（cm），運動時間為x(秒)，則下列圖象中能大致反映y與x之間的函數(shù)關系的是（ ） 17.將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉，得正方形，交CD于點E，AB=,則四邊形的內切圓半徑為( ) A．B． C． D． 18.如圖所示，正方形頂點，，頂點位于第一象限，直線將正方形分成兩部分，記位于直線左側陰影部分的面積為S ，則S關于t函數(shù)圖象大致是 （ ） 19.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF中點，那么CH長是（ ） A．2.5 B． C． D．2 20.如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，. 下列結論：①△APD≌△AEB； ②EB⊥ED；③點B到直線AE的距離為； ④. 其中正確結論的序號是（ 　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二 填空題: 21.如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上．若△ABE的面積為8，CE=3，則線段BE的長為　?。? 22.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，M、N兩點關于對角線AC對稱，若DM=1，則tan∠ADN=　　． 23.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點O，點E在DC邊的延長線上．若∠CAE=15，則AE=　　　　　　． 24.在平面直角坐標系中，正方形ABCD如圖擺放，點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（0，2），點D在反比例函數(shù)y=（k＜0）圖象上，將正方形沿x軸正方向平移m個單位長度后，點C恰好落在該函數(shù)圖象上，則m的值是　　　　　　． 25.如圖，Rt△ABC中，∠C=90，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另一直角邊BC的長為 ． 26.如圖，正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD邊上的點，且∠EAF=45，對角線BD交AE于點M，交AF于點N．若AB=4，BM=2，則MN的長為　 　． 27.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點，且，將紙片的一角沿過點B的直線折疊，使A落在MN上，落點記為A′，折痕交AD于點E，若M是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點（n≥2，且n為整數(shù)），則A′N=　　　　　?。ㄓ煤衝的式子表示）． 28.如圖，已知正方形ABCD的頂點A、B在⊙O上，頂點C、D在⊙O內，將正方形ABCD繞點逆時針旋轉，使點D落在⊙O上．若正方形ABCD的邊長和⊙O的半徑均為6cm，則點D運動的路徑長為　　　　　　cm． 29.如圖，已知正方形ABCD邊長為1，∠EAF=45，AE=AF，則有下列結論： ①∠1=∠2=22.5；②點C到EF的距離是；③△ECF的周長為2；④BE+DF＞EF． 其中正確的結論是　 ?。▽懗鏊姓_結論的序號） 30.如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，EC=，則正方形ABCD的面積為 . 三 簡答題： 31.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG. (1)求證：AE=CG； (2)觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，并證明你的猜想. 32.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G． （1）求證：AE=CF； （2）若∠ABE=55，求∠EGC的大?。? 　 33.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是△ABC的一條角平分線．點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形． （1）求證：點O在∠BAC的平分線上； （2）若AC=5，BC=12，求OE的長． 34.正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為BD上一點，延長AE到點N，使AE=EN，連接CN、CE． （1）求證：AE=CE． （2）求證：△CAN為直角三角形． （3）若AN=4，正方形的邊長為6，求BE的長． 35.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F． （1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關系并加以證明； （2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明；若不是，則說明理由； （3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？ 36.如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF． （1）求證：BE=DF （2）連接AC交EF于點D，延長OC至點M，使OM=OA，連結EM、FM，試證明四邊形AEMF是菱形． 37.在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖）． （1）求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積； （2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數(shù)； （3）設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論． 38.感知：如圖①，點E在正方形ABCD的邊BC上，BF⊥AE于點F，DG⊥AE于點G，可知△ADG≌△BAF．（不要求證明） 拓展：如圖②，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求證：△ABE≌△CAF． 應用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為9，則△ABE與△CDF的面積之和為　　　　　?。? 39.如圖所示，四邊形ADEF為正方形，△ABC為等腰直角三角形，D在BC邊上，連接CF． （1）求證：BC⊥CF； （2）若△ABC的面積為16，BD：DC=1：3，求正方形ADEF的面積； （3）當（2）的條件下，連接AE交DC于G，求的值． 40.問題情境：如圖將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點B恰好落在AD邊的中點F處，折痕EG分別交AB、CD于點E、G，F(xiàn)N與DC交于點M，連接BF交EG于點P. 獨立思考： （1）AE=_______cm，△FDM的周長為_____cm; （2）猜想EG與BF之間的位置關系與數(shù)量關系，并證明你的結論. 拓展延伸： 如圖2，若點F不是AD的中點，且不與點A、D重合： ①△FDM的周長是否發(fā)生變化，并證明你的結論. ②判斷（2）中的結論是否仍然成立，若不成立請直接寫出新的結論（不需證明）. 參考答案 1、C 2、C 3、B 4、A 5、A 6、A．7、B 8、A 9、A 10、B　11、B 12、D 13、A； 14、A. 15、A 16、B 17、B 18、C 19、B 20、A 21、5 22、 23、　8?。?24、1 25、7． 26、 27、 28、π　29、①②③ 30、8 31、（1）略；（2）AE⊥CG； 32、【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90，AB=BC， ∵BE⊥BF，∴∠FBE=90，∵∠ABE+∠EBC=90，∠CBF+∠EBC=90，∴∠ABE=∠CBF， 在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF． （2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45， ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90，又∵∠ABE=55，∴∠EBG=90﹣55=35， ∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45+35=80． 33、【解答】（1）證明：過點O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一條角平分線，∴OE=OM， ∵四邊形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM， ∴AO是∠BAC的角平分線，即點O在∠BAC的平分線上； （2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13， 設CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴CE=2，∴OE=2． 34、【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45，AB=CB， 在△ABE和∠CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE； （2）證明：∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N， ∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180，∴∠ACE+∠ECN=90，即∠ACN=90，∴△CAN為直角三角形； （3）解：∵正方形的邊長為6，∴AC=BD=6， ∵∠ACN=90，AN=4，∴CN==2， ∵OA=OC，AE=EN，∴OE=CN=，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4． 35、【解答】解：（1）OE=OF．證明如下：∵CE是∠ACB的平分線，∴∠1=∠2． ∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可證OC=OF． ∴OE=OF．四邊形BCFE不可能是菱形，若四邊形BCFE為菱形，則BF⊥EC， 而由（1）可知FC⊥EC，在平面內過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．當點O運動到AC中點時，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90）時，四邊形AECF是正方形． 理由如下：∵O為AC中點，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF， ∴四邊形AECF為平行四邊形；∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180， ∴∠2+∠5=90，即∠ECF=90，∴?AECF為矩形，又∵AC⊥EF．∴?AECF是正方形． ∴當點O為AC中點且△ABC是以∠ACB為直角三角形時，四邊形AECF是正方形． 36、略； 37、【解答】解：（1）∵A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，直線y=x與y軸的夾角是45， ∴OA旋轉了45．∴OA在旋轉過程中所掃過的面積為． （2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45，∠BNM=∠BCA=45．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=（∠AOC﹣∠MON）=（90﹣45）=22.5． ∴旋轉過程中，當MN和AC平行時，正方形OABC旋轉的度數(shù)為45﹣22.5=22.5． （3）在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化． 證明：延長BA交y軸于E點， 則∠AOE=45﹣∠AOM，∠CON=90﹣45﹣∠AOM=45﹣∠AOM，∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180﹣90=90=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN． 又∵∠MOE=∠MON=45，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN， ∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化． 38、【解答】拓展：證明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC， ∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE， ∴，∴△ABE≌△CAF（AAS）． 應用： 解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，∴△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2， ∴△ABD與△ADC面積比為：1：2， ∵△ABC的面積為9，∴△ABD與△ADC面積分別為：3，6； ∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC， ∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE， ∴，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE與△CAF面積相等， ∴△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積，∴△ABE與△CDF的面積之和為6，故答案為：6． 39、【解答】解：（1）∵四邊形ADEF為正方形，△ABC為等腰直角三角形， ∴AD=AF=EF=DE，AB=AC，∠DAF=∠BAC=∠DEF=∠ADE=90，∠B=∠ACB=45，AD∥EF． ∴∠DAF﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC，∴∠DAB=∠FAC． 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠B=∠ACF，BD=CF， ∴∠ACF=45，∴∠ACF+∠ACB=90，即∠BCF=90．∴BC⊥CF； （2）設AB=BC=x，由題意，得=16，∴x=4．∴BC=8． ∵BD：DC=1：3，∴BD=8=2，CD=8﹣2=6．作DH⊥AB于點H，∴∠DHB=∠DHA=90， ∴∠BDH=45，∴∠B=∠BDH，∴BH=DH． 設BH=DH=a，由勾股定理，得a=，∴AH=4﹣=3． 在Rt△ADH中，由勾股定理，得AD2=20．∴AD=2． ∵S正方形ADEF=AD2，∴正方形ADEF的面積為20； （3）設EF交BC于點M，設CM=x，則DM=6﹣x． ∵BD=CF，∴CF=2．在Rt△CMF中，由勾股定理，得FM=． ∵∠DEF=∠FCM=90，∠DME=∠FMC，∴△FCM∽△DEF，∴，∴，∴， 解得：x1=1，x2=﹣4（舍去）∴CM=1，F(xiàn)M=，∴ME=．DM=5 ∵AD∥EF．∴△AGD∽△EGM，∴，∴=2，∴DG=2GM， 設GM=b，DG=2b，∴b+2b=5，∴b=，∴GC=，∴DG=6﹣=．∴=．答：的值為． 40、（1）3， 16 (2)EG⊥BF, EG=BF則∠EGH+∠GEB=90 由折疊知，點B、F關于直線GE所在直線對稱∴∠FBE=∠EGH ∵ABCD是正方形∴AB=BC ∠C=∠ABC=90 四邊形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB∴△AFB全等△HEG∴BF=EG (3)①△FDM的周長不發(fā)生變化 由折疊知∠EFM=∠ABC=90∴∠DFM+∠AFE=90 ∵四邊形ABCD為正方形，∠A=∠D=90∴∠DFM+∠DMF=90∴∠AFE=∠DMF ∴△AEF∽△DFM∴設AF為x，F(xiàn)D=8-x∴ ∴ FMD的周長= ∴△FMD的周長不變②（2）中結論成立