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垂徑定理 圓心角 圓周角定理 一 選擇題： 1、如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OBC=42，則∠A的度數是（　 ?。? A．42　　　　　　B．48　　　　　　C．52　　　　　 　D．58 2.如圖，A、B、C、D四個點均在⊙O上，∠AOD=50，AO∥DC，則∠B的度數為( ) A．50 B．55 C．60 D．65 3.如圖，點B、D、C是⊙O上的點，∠BDC=130，則∠BOC是（ ） A．100 B．110 C．120 D．130 4.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，點M在線段AB（包括端點A，B）上移動，則OM取值范圍是（ ） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點C，則圖中與∠BCE相等的角有（ ） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 6.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上．點A、B的讀數分別為86、30，則∠ACB的大小為( ) A．15 B．28 C.29 D．34 7.如圖，C為⊙O直徑AB上一動點,過點C的直線交⊙O于D、E兩點,且∠ACD=45,DF⊥AB于點F,EG⊥AB于點G,當點C在AB上運動時,設AF=x,DE=y,下列中圖象中,能表示y與x的函數關系式的圖象大致是( ) 8.如圖.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的內部，，，，則下列關系中，正確的是（ ） A. B. C． D. 9.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BC是直徑，AD=DC，∠ADB=20，則∠ACB，∠DBC分別為（ ） A．15與30 B．20與35 C．20與40 D．30與35 10.圖中∠BOD的度數是（ ） A．55 B．110 C．125 D．150 11.如圖，點I為△ABC的內心，點O為△ABC的外心，∠O=140，則∠I為（ ） （A）140 （B）125 （C）130 （D）110 12.如圖,弦AB∥CD，E為上一點，AE平分，則圖中與相等（不包括）的角共有（　?。? A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 13、如圖，已知的半徑為1，銳角內接于，于點，于點，則的值等于（ ） A．的長 B．的長 C．的長 D．的長 14.如圖，在直角∠O的內部有一滑動桿AB，當端點A沿直線AO向下滑動時，端點B會隨之自動地沿直線OB向左滑動，如果滑動桿從圖中AB處滑動到A′B′處，那么滑動桿的中點C所經過的路徑是（　 ?。? A.直線的一部分 B.圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 15.如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60.若動點P以2cm/s的速度從B點出發(fā)沿著B→A的方向運動，點Q從A點出發(fā)沿著A→C的方向運動，當點P到達點A時，點Q也隨之停止運動．設運動時間為t(s)，當△APQ是直角三角形時，t的值為（ ） A. B.C.或 D.或或 16.如圖，，在以為直徑的半圓上，，在上，為正方形，若正方形邊長為1，，，則下列式子中，不正確的是（ ） A.B. C. D. 17.如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點．若MN=1，則△PMN周長的最小值為（　?。? A．4　　 　　B．5　　　 　C．6　　 　　D．7 18.如圖，在△ABC中，AD是高，AE是直徑，AE交BC于G，有下列四個結論：①AD2=BDCD；②BE2=EGAE； ③AEAD=ABAC；④AGEG=BGCG．其中正確結論的有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 19.如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點，連結AC，BC，分別以AC，BC為邊向外作正方形ACDE，BCFG，DE，F(xiàn)G，，的中點分別是M，N，P，Q。若MP+NQ=14，AC+BC=20，則AB的長是（ ） A. B. C.13 D.16 20.如圖,AB是⊙O的直徑,M是⊙O上一點,MN⊥AB,垂足為N，P、Q分別是弧AM、弧BM上一點（不與端點重合）．若∠MNP=∠MNQ.下面結論：①∠PNA=∠QNB；②∠P+∠Q=180；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN?QN．正確的結論有（　 ?。? A．2個　　 　　B．3個　　 　　C．4個　 　　　D．5個 二 填空題: 21.如圖所示,已知⊙O是△ABD的外接圓,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=54，則∠BCD=　　　?。? 22.如圖,點A,B,C,D在⊙O上,點O在∠D的內部,四邊形OABC為平行四邊形,則∠OAD+∠OCD=　　 ． 23、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=40，以B為圓心，BA的長為半徑畫弧，交BC于點D，連接AD，則∠DAC的度數是_______． 24.如圖，一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，點D對應的刻度是58，則∠ACD的度數為________． 25.如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為　　　　　　． 26.如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，若⊙O的半徑為4，則陰影部分的面積等于 ． 27.如圖，A、B、C、D依次為一直線上4個點，BC=2，△BCE為等邊三角形，⊙O過A、D、E3點，且∠AOD=120．設AB=x，CD=y，則y與x的函數關系式為　 ． 28.如圖，AB是圓O的一條弦，C是圓O上一動點且∠ACB=450，E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與圓O交于點G、H.若圓O的半徑為2，則GE+FH的最大值為 . 29.如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點．當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是　 ?。? 30.如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC=30，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于另一點Q，如果QP=QO，則∠OCP=_______． 三 簡答題: 31.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點E在對角線AC上，EC=BC=DC． （1）若∠CBD=39，求∠BAD的度數； （2）求證：∠1=∠2． 32.已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D． （Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長； （Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60，求BD的長． 33.如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙P與y軸相切于點C，⊙P的半徑是4，直線被⊙P截得的弦AB的長為，求點P的坐標． 34.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，PB與CD交于點F，∠PBC=∠C． （1）求證：CB∥PD； （2）若∠PBC=22.5，⊙O的半徑R=2，求劣弧AC的長度． 35.如圖，在邊長為2的圓內接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點，延長AP交圓于點E． （1）∠ E=　 　度； （2）寫出圖中現(xiàn)有的一對不全等的相似三角形，并說明理由； （3）求弦DE的長． 36.如圖，四邊形ABCD內接于圓，對角線AC與BD相交于點E,F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC. 求證： BC=2CD. 37.如圖,△內接于⊙，∠與∠的角平分線相交于點，延長交⊙于點，連接，，且∠ （1）求∠的大??； （2）求證：△為等邊三角形； （3）若∠，⊙的半徑為，求等邊三角形的邊長． 38.在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD． (1)如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r。 (2)如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25，求∠DCA的度數． 39.如圖，有兩條公路 OM、ON 相交成 30角，沿公路 OM 方向離 O 點 80 米處有一所學校 A．當 重型運輸卡車 P 沿道路 ON 方向行駛時，在以 P 為圓心 50 米長為半徑的圓形區(qū)域內都會受到卡車噪 聲的影響，且卡車 P 與學校 A 的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車 P 沿道路 ON 方向行 駛的速度為 18 千米/時． （1）求對學校 A 的噪聲影響最大時卡車 P 與學校 A 的距離； 求卡車 P 沿道路 ON 方向行駛一次給學校 A 帶來噪聲影響的時間． 40.如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD． （1）求證：∠DAC=∠DBA； （2）求證：P是線段AF的中點； （3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長． 參考答案 1、B．2、D 3、A 4、A 5、D 6、B． 7、A 8、B9、B 10、B 11、B． 12、C 13、A 14、B 15、A 16、D 17、B． 18、B 19、D 20、B． 試題分析：延長QN交圓O于C，延長MN交圓O于D，如圖： ∵MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90，∵∠MNP=∠MNQ，∴∠PNA=∠QNB，故①對； ∵∠P+∠PMN＜180，∴∠P+∠Q＜180，故②錯； 因為AB是⊙O的直徑，MN⊥AB，∴，∵∠PNA=∠QNB，∠ANC=∠QNB，∴∠PNA=∠ANC，∴P，C關于AB對稱，∴，∴，∴∠Q=∠PMN，故③對； ∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，∴△PMN∽△MQN，∴MN2=PN?QN，PM不一定等于MQ，所以④錯誤，⑤對． 故選B． 21、　36?。?2、60 23、30； 24.61　 25、2． 26、π． 27、　y=（x＞0） 28、 29、 30、　40或100或20　． 【解答】解：①根據題意，畫出圖（1），在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCP， 在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，又∵∠AOC=30，∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30， 在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180，即（∠OCP+30）+（∠OCP+30）+∠OCP=180， 整理得，3∠OCP=120，∴∠OCP=40． ②當P在線段OA的延長線上（如圖2）∵OC=OQ，∴∠OQP=（180﹣∠QOC）①， ∵OQ=PQ，∴∠OPQ=（180﹣∠OQP）②，在△OQP中，30+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180③， 把①②代入③得：60+∠QOC=∠OQP， ∵∠OQP=∠QCO，∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60+∠QOC）=180，∴∠QOC=20，則∠OQP=80∴∠OCP=100； ③當P在線段OA的反向延長線上（如圖3）， ∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=（180﹣∠COQ）①，∵OQ=PQ，∴∠P=（180﹣∠OQP）②， ∵∠AOC=30，∴∠COQ+∠POQ=150③，∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④， ①②③④聯(lián)立得∠P=10，∴∠OCP=180﹣150﹣10=20． 故答案為：40或100或20． 31、【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39， ∵∠BAC=∠CDB=39，∠CAD=∠CBD=39，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39+39=78； （2）證明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE， 而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD， ∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2． 32、解：（1）AC=8… BD=CD=… （2）BD=5… 33、解：延長CP交AB于點E，過點P做PD⊥AB于D∴AD=BD== 連接PA 在△PDA中，∠PDA=90，PA=4，AD=∴PD=2 ∵⊙P與y軸相切于點C∴PC⊥y軸，∴∠OCE=90∵直線y=x,∴∠COE=45∴∠CEO=45，OC=CE 在△PDE中，∠PDE=90，PD=2，∴PE=∴CE=4+，∴OC=4+ ∴點P的坐標為：P（4，4+） 【答案】點P的坐標為：P（4，4+） 34、解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD； （2）連結OC，OD．∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∴= ∵∠PBC=∠C=22.5，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45，∴∠AOC=180﹣∠BOC=135，∴劣弧AC的長為：． 35、【解答】解：（1）∵ ∠ ACD=45，∠ ACD=∠ E，∴ ∠ E=45． （2）△ ACP∽ △ DEP，理由：∵ ∠ AED=∠ACD，∠ APC=∠ DPE，∴ △ ACP∽ △ DEP． （3）方法一：∵ △ ACP∽ △ DEP，∴ ． ∵ P為CD邊中點，∴ DP=CP=1∵ AP=，AC=，∴ DE=． 方法二：如圖2，過點D作DF⊥ AE于點F，在Rt△ ADP中，AP=． 又∵ S△ ADP=AD?DP=AP?DF，∴ DF=．∴DE=DF=． 36. 37、 38、解：（1）如圖，過點O作OE⊥AC于E，則AE=AC=2=1。 ∵翻折后點D與圓心O重合，∴OE=r。 在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=。---3分 （2）連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90。 ∵∠BAC=25，∴∠B=90﹣∠BAC=90﹣25=65。 根據翻折的性質，所對的圓周角等于所對的圓周角∴∠DCA=∠B﹣∠A=65﹣25=40。 39、【解答】解：（1）過點 A 作 AD⊥ON 于點 D，∵∠NOM=30，AO=80m，∴AD=40m， 即對學校 A 的噪聲影響最大時卡車 P 與學校 A 的距離為 40 米； 由圖可知：以 50m 為半徑畫圓，分別交 ON 于 B，C 兩點，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m， ∵在 Rt△AOD 中，∠AOB=30，∴AD= OA= 80=40m， 在 Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD== =30m， 故 BC=230=60 米，即重型運輸卡車在經過 BC 時對學校產生影響． ∵重型運輸卡車的速度為 18 千米/小時，即=300 米/分鐘， ∴重型運輸卡車經過 BC 時需要 60300=0.2（分鐘）=12（秒）． 答：卡車 P 沿道路 ON 方向行駛一次給學校 A 帶來噪聲影響的時間為 12 秒． 40、（1）證明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA， ∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA， ∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90， ∴∠ADE+∠DAE=90，∠DBA+∠DAE=90，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA； （2）證明：∵AB為直徑，∴∠ADB=90， ∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，∴PD=PA， ∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90，且∠ADB=90，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF， ∴PA=PF，即P是線段AF的中點； （3）解：連接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD， ∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90，∴AB=5，故⊙O的半徑為2.5， ∵DEAB=ADBD，∴5DE=34，∴DE=2.4．即DE的長為2.4．