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吉林省長春八中、農(nóng)安四中、108中學(xué)三校2016-2017學(xué)年聯(lián)考九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題（24分） 1．若方程（m+2）xm+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（　?。? A．m=2 B．m=﹣2 C．m=2 D．m≠2 2．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣1與x軸交點(diǎn)的個數(shù)（　?。? A．3 B．2 C．1 D．0 4．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m等于（　?。? A．﹣6 B．1 C．﹣6或1 D．2 5．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的兩根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，則a的值等于（　?。? A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9 6．已知代數(shù)式3﹣x與﹣x2+3x的值互為相反數(shù)，則x的值是（　?。? A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．1或3 D．﹣1和﹣3 7．如圖，從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度h（單位：m）與小球運(yùn)動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式為h=30t﹣5t2，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是（　?。? A．6s B．4s C．3s D．2s 8．若二次函數(shù)y=x2+bx+5配方后為y=（x﹣2）2+k，則b、k的值分別為（　?。? A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1 9．由二次函數(shù)y=﹣x2+2x可知（　　） A．其圖象的開口向上 B．其圖象的對稱軸為x=1 C．其最大值為﹣1 D．其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1） 10．三角形兩邊的長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一個實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是 （　?。? A．24 B．24或8 C．48 D．8 11．拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y=x2﹣2x﹣3，則b、c的值為（　?。? A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=2 12．如圖，兩條拋物線y1=﹣x2+1，y2=與分別經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），（2，0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為（　　） A．8 B．6 C．10 D．4 　 二．填空題（24分） 13．一元二次方程（x+1）（3x﹣2）=0的一般形式是　?。? 14．一元二次方程x（x﹣1）=x﹣1的解是　?。? 15．拋物線y=2x2﹣bx+3的對稱軸是直線x=1，則b的值為　?。? 16．如圖，在△ABC中，∠B=90，AB=12mm，BC=24mm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點(diǎn)B重合），動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點(diǎn)C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過　　秒，四邊形APQC的面積最?。? 17．如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點(diǎn)為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是　　． 18．已知二次函數(shù)y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a為常數(shù)），當(dāng)a取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．如圖分別是當(dāng)a=﹣1，a=0，a=1，a=2時二次函數(shù)的圖象．它們的頂點(diǎn)在一條直線上，這條直線的解析式是y=　?。? 　 三．解答題 19．（8分）解方程： （1）（x﹣1）2=4（開方法） （2）3（x﹣5）2=2（5﹣x） （因式分解法） 20．（7分）已知點(diǎn)A（1，1）在二次函數(shù)y=x2﹣2ax+b圖象上． （1）用含a的代數(shù)式表示b； （2）如果該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，求這個二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)． 21．（8分）某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)．李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=﹣10x+500． （1）設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？ （2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？ 22．（10分）如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（1，0），B（0，﹣6）兩點(diǎn)， （1）求這個二次函數(shù)解析式； （2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積； （3）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時，自變量x的取值范圍； （4）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，應(yīng)該把圖象沿y軸向下平移　　個單位． 23．（10分）如圖，已知直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）． （1）求該拋物線的解析式； （2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM﹣MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)； （3）動點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)△PAE是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 24．（12分）滿洲里市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望．為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售． （1）求平均每次下調(diào)的百分率； （2）某人準(zhǔn)備以開盤均價購買一套100平方米的房子．開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元，請問哪種方案更優(yōu)惠？ 25．（12分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2 （1）求m的取值范圍； （2）設(shè)y=x1+x2，當(dāng)y取得最小值時，求相應(yīng)m的值，并求出最小值． 26．（13分）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（0，2）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D． （1）求拋物線的解析式； （2）將△OAB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點(diǎn)C，求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式； （3）設(shè)（2）中平移后，所得拋物線與y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1，若點(diǎn)N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 　  2016-2017學(xué)年吉林省長春八中、農(nóng)安四中、108中學(xué)三校聯(lián)考九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份） 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（24分） 1．若方程（m+2）xm+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（　?。? A．m=2 B．m=﹣2 C．m=2 D．m≠2 【考點(diǎn)】一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可得． 【解答】解：∵（m+2）xm+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程， ∴m=2， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的定義，掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵． 　 2．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即判別式△=b2﹣4ac＞0，即可確定k的取值范圍． 【解答】解：∵一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根， ∴△=b2﹣4ac＞0，即（﹣6）2﹣42k＞0， 解得k＜，故選B． 【點(diǎn)評】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根． 　 3．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣1與x軸交點(diǎn)的個數(shù)（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)． 【分析】根據(jù)b2﹣4ac與零的關(guān)系即可判斷出二次函數(shù)y=x2﹣1的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)． 【解答】解：∵b2﹣4ac=0﹣41（﹣1）=4＞0 ∴二次函數(shù)y=x2﹣1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)． 【點(diǎn)評】考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)的判斷． 　 4．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m等于（　?。? A．﹣6 B．1 C．﹣6或1 D．2 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式和定義得到m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4（m﹣2）（2m﹣6）=0，m2+5m﹣6=0，解得m1=﹣6，m2=1，即可得到m的值． 【解答】解：∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根， ∴m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4（m﹣2）（2m﹣6）=0，m2+5m﹣6=0， 解得m1=﹣6，m2=1． ∴m的值為﹣6或1． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義． 　 5．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的兩根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，則a的值等于（　?。? A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9 【考點(diǎn)】一元二次方程的解． 【分析】先分別把m，n代入方程得到關(guān)于m，n的等式，利用整體思想分別求出7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3，代入所求代數(shù)式即可求解． 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的兩根 ∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1 ∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3 ∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8 ∴（7+a）（﹣4）=8 ∴a=﹣9． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根的意義．把方程的兩個根分別代入原方程等式仍然成立，根據(jù)此得到需要的等量關(guān)系是常用的方法之一． 　 6．已知代數(shù)式3﹣x與﹣x2+3x的值互為相反數(shù)，則x的值是（　　） A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．1或3 D．﹣1和﹣3 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】由于代數(shù)式3﹣x與﹣x2+3x的值互為相反數(shù)，則（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，應(yīng)用因式分解法解答． 【解答】解：∵代數(shù)式3﹣x與﹣x2+3x的值互為相反數(shù)， ∴（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0， 即（3﹣x）﹣x（x﹣3）=0 即（x﹣3）（x+1）=0， 解得，x1=3，x2=﹣1． 故選A． 【點(diǎn)評】本題既考查了相反數(shù)的性質(zhì)，又考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為0后，方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的式子的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運(yùn)用．當(dāng)化簡后不能用分解因式的方法時，即可考慮用求根公式法，此法適用于任何一元二次方程． 　 7．如圖，從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度h（單位：m）與小球運(yùn)動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式為h=30t﹣5t2，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是（　?。? A．6s B．4s C．3s D．2s 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】由小球高度h與運(yùn)動時間t的關(guān)系式h=30t﹣5t2，令h=0，解得的兩值之差便是所要求得的結(jié)果． 【解答】解：由小球高度h與運(yùn)動時間t的關(guān)系式h=30t﹣5t2． 令h=0，﹣5t2+30t=0 解得：t1=0，t2=6 △t=6，小球從拋出至回落到地面所需要的時間是6秒． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了運(yùn)動函數(shù)方程，是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用． 　 8．若二次函數(shù)y=x2+bx+5配方后為y=（x﹣2）2+k，則b、k的值分別為（　?。? A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的三種形式． 【分析】可將y=（x﹣2）2+k的右邊運(yùn)用完全平方公式展開，再與y=x2+bx+5比較，即可得出b、k的值． 【解答】解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k=x2﹣4x+（4+k）， 又∵y=x2+bx+5， ∴x2﹣4x+（4+k）=x2+bx+5， ∴b=﹣4，k=1． 故選D． 【點(diǎn)評】本題實(shí)際上考查了兩個多項(xiàng)式相等的條件：它們同類項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)相等． 　 9．由二次函數(shù)y=﹣x2+2x可知（　?。? A．其圖象的開口向上 B．其圖象的對稱軸為x=1 C．其最大值為﹣1 D．其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】已知二次函數(shù)的一般式，可確定拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸，逐一判斷． 【解答】解：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)﹣1＜0，故函數(shù)圖象開口向下，對稱軸，當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最大值1，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）． 故選B． 【點(diǎn)評】主要考查了求拋物線的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法． 　 10．三角形兩邊的長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一個實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是 （　?。? A．24 B．24或8 C．48 D．8 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理． 【分析】本題應(yīng)先解出x的值，然后討論是何種三角形，接著對圖形進(jìn)行分析，最后運(yùn)用三角形的面積公式S=底高求出面積． 【解答】解：x2﹣16x+60=0?（x﹣6）（x﹣10）=0， ∴x=6或x=10． 當(dāng)x=6時，該三角形為以6為腰，8為底的等腰三角形． ∴高h(yuǎn)==2， ∴S△=82=8； 當(dāng)x=10時，該三角形為以6和8為直角邊，10為斜邊的直角三角形． ∴S△=68=24． ∴S=24或8． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系． 看到此類題目時，學(xué)生常常會產(chǎn)生害怕心理，不知如何下手答題，因此我們會在解題時一步一步地計(jì)算，讓學(xué)生能更好地解出此類題目． 　 11．拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y=x2﹣2x﹣3，則b、c的值為（　　） A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=2 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】易得新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得原拋物線的解析式，展開即可得到b，c的值． 【解答】解：由題意得新拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4）， ∴原拋物線的頂點(diǎn)為（﹣1，﹣1）， 設(shè)原拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x， ∴b=2，c=0． 故選B． 【點(diǎn)評】拋物線平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)的值；討論兩個二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可． 　 12．如圖，兩條拋物線y1=﹣x2+1，y2=與分別經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），（2，0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為（　　） A．8 B．6 C．10 D．4 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】兩函數(shù)差的絕對值乘以兩條直線的距離即可得到所求的陰影部分的面積． 【解答】解：∵兩解析式的二次項(xiàng)系數(shù)相同， ∴兩拋物線的形狀完全相同， ∴y1﹣y2=﹣x2+1﹣（﹣x2﹣1）=2； ∴S陰影=（y1﹣y2）|2﹣（﹣2）|=24=8， 故選A． 【點(diǎn)評】本題主要考查能否正確的判斷出陰影部分面積，而解答此題． 　 二．填空題（24分） 13．一元二次方程（x+1）（3x﹣2）=0的一般形式是　3x2+x﹣2=0　． 【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式． 【分析】利用多項(xiàng)式的乘法展開，然后合并同類項(xiàng)即可． 【解答】解：（x+1）（3x﹣2）=0， 3x2﹣2x+3x﹣2=0， 3x2+x﹣2=0． 故答案為：3x2+x﹣2=0． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）． 　 14．一元二次方程x（x﹣1）=x﹣1的解是　x1=x2=1?。? 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】方程右邊整體移項(xiàng)到左邊，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解． 【解答】解：方程變形得：（x﹣1）﹣x（x﹣1）=0， 因式分解得：（x﹣1）（1﹣x）=0， 解得：x1=x2=1． 故答案為：x1=x2=1． 【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為0后，方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的式子的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運(yùn)用． 　 15．拋物線y=2x2﹣bx+3的對稱軸是直線x=1，則b的值為　4　． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】已知拋物線的對稱軸，利用對稱軸公式可求b的值． 【解答】解：∵y=2x2﹣bx+3，對稱軸是直線x=1， ∴=1，即﹣=1，解得b=4． 【點(diǎn)評】主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法：公式法：y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），對稱軸是x=． 　 16．如圖，在△ABC中，∠B=90，AB=12mm，BC=24mm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點(diǎn)B重合），動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點(diǎn)C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過　3　秒，四邊形APQC的面積最?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)等量關(guān)系“四邊形APQC的面積=三角形ABC的面積﹣三角形PBQ的面積”列出函數(shù)關(guān)系求最小值． 【解答】解：設(shè)P、Q同時出發(fā)后經(jīng)過的時間為ts，四邊形APQC的面積為Smm2， 則有： S=S△ABC﹣S△PBQ = =4t2﹣24t+144 =4（t﹣3）2+108． ∵4＞0 ∴當(dāng)t=3s時，S取得最小值． 故答案為：3． 【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式的求法以及最值的求法． 　 17．如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點(diǎn)為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是　﹣1＜x＜3　． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】利用二次函數(shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得出ax2+bx+c＜0的解集． 【解答】解：由圖象得：對稱軸是x=1，其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0） ∴圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0） 利用圖象可知： ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集， ∴﹣1＜x＜3 故填：﹣1＜x＜3 【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)利用圖象解一元二次方程根的情況，很好地利用數(shù)形結(jié)合，題目非常典型． 　 18．已知二次函數(shù)y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a為常數(shù)），當(dāng)a取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．如圖分別是當(dāng)a=﹣1，a=0，a=1，a=2時二次函數(shù)的圖象．它們的頂點(diǎn)在一條直線上，這條直線的解析式是y=　?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】已知拋物線的頂點(diǎn)式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，用x、y代表頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，消去a得出x、y的關(guān)系式． 【解答】解：由已知得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，a﹣1）， 設(shè)x=2a①，y=a﹣1②， ①﹣②2，消去a得，x﹣2y=2， 即y=x﹣1． 【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法，消元的思想． 　 三．解答題 19．解方程： （1）（x﹣1）2=4（開方法） （2）3（x﹣5）2=2（5﹣x） （因式分解法） 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】（1）利用平方根的定義開方即可求出解； （2）方程移項(xiàng)后，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解． 【解答】解：（1）開方得：x﹣1=2或x﹣1=﹣2， 解得：x1=3 x2=﹣1； （2）移項(xiàng)得：3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0， 分解因式得：（x﹣5）（3x﹣13）=0， 解得：x1=5，x2=． 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法與直接開平方法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵． 　 20．已知點(diǎn)A（1，1）在二次函數(shù)y=x2﹣2ax+b圖象上． （1）用含a的代數(shù)式表示b； （2）如果該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，求這個二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2﹣2ax+b圖象上的任何一點(diǎn)都滿足方程式y(tǒng)=x2﹣2ax+b，所以，把點(diǎn)A（1，1）代入方程求解即可； （2）根據(jù)b2﹣4ac與零的關(guān)系即可判斷出二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)． 【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，1）在二次函數(shù)y=x2﹣2ax+b的圖象上， ∴把A點(diǎn)代入y=x2﹣2ax+b中 得b=2a， ∴b=2a （2）∵方程x2﹣2ax+b=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根， ∴△=0，即4a2﹣4b=4a2﹣8a=0 解得a=0，或a=2， 當(dāng)a=0時，函數(shù)解析式為y=x2，這個二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）， 當(dāng)a=2時，函數(shù)解析式為y=x2﹣4x+4=（x﹣2）2，這個二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）， 故這個二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）或（2，0）． 【點(diǎn)評】考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)的判斷． 　 21．某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)．李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=﹣10x+500． （1）設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？ （2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)理解題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)求二次函數(shù)最值的方法求解便可解出答案． （2）把2000元代入上述二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，確定單價． 【解答】解：（1）由題意可得： w=（x﹣20）?y=（x﹣20）?（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250， 答：當(dāng)銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤． （2）由題意可知： ﹣10x2+700x﹣10000=2000 解這個方程得：x1=30，x2=40． 答：李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應(yīng)定為30元或40元． 故答案為：①銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤；②李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應(yīng)定為30元或40元． 【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)求最值的方法，以及一元二次方程的解法． 　 22．如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（1，0），B（0，﹣6）兩點(diǎn)， （1）求這個二次函數(shù)解析式； （2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積； （3）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時，自變量x的取值范圍； （4）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，應(yīng)該把圖象沿y軸向下平移　　個單位． 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將（1，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣x2+bc+c即可求出函數(shù)解析式； （2）根據(jù)解析式，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形面積公式即可求出△ABC的面積； （3）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出x的取值范圍； （4）求出拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可根據(jù)平移知識得出答案． 【解答】解：（1）把（1，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣x2+bx+c，得：， 解得． 故這個二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x﹣6； （2）∵該拋物線對稱軸為直線x=﹣=， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，0）， ∴AC=OC﹣OA=12﹣1=11， ∴S△ABC=ACOB=116=33； （3）由圖可知，函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時，自變量x的取值范圍為x＜1或x＞12． （4）將（2）中所求x=代入解析式，即可得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣（）2+﹣6=， 可見把圖象沿y軸向下平移個單位，則該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)． 故答案為：． 【點(diǎn)評】此題綜合性較強(qiáng)，考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象與幾何變換等知識，解答時要理清思路，并注意計(jì)算的正確性． 　 23．如圖，已知直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）． （1）求該拋物線的解析式； （2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM﹣MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)； （3）動點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)△PAE是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)直線的解析式求得點(diǎn)A（0，1），那么把A，B坐標(biāo)代入y=x2+bx+c即可求得函數(shù)解析式． （2）易得|AM﹣MC|的值最大，應(yīng)找到C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)B，連接AB交對稱軸的一點(diǎn)就是M．應(yīng)讓過AB的直線解析式和對稱軸的解析式聯(lián)立即可求得點(diǎn)M坐標(biāo)． （3）讓直線解析式與拋物線的解析式結(jié)合即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．△PAE是直角三角形，應(yīng)分點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)，點(diǎn)E是直角頂點(diǎn)三種情況探討． 【解答】解：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入y=x2+bx+c 得， 解得：． ∴物線的解折式為y=x2﹣x+1； （2）拋物線的對稱軸為x=，B、C關(guān)于x=對稱， ∴MC=MB， 要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大， 由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時|AM﹣MB|的值最大． 知直線AB的解析式為y=﹣x+1 ∴， 解得：． 則M（，﹣）． （3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為m2﹣m+1， 即E點(diǎn)的坐標(biāo)（m，m2﹣m+1），…（7分） 又∵點(diǎn)E在直線y=x+1上， ∴m2﹣m+1=m+1 解得m1=0（舍去），m2=4， ∴E的坐標(biāo)為（4，3）． （Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時， 過A作AP1⊥DE交x軸于P1點(diǎn)，設(shè)P1（a，0）易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）， 由Rt△AOD∽Rt△P1OA得 即， ∴a=，a=（舍去）， ∴P1（，0）． （Ⅱ）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時，過E作EP2⊥DE交x軸于P2點(diǎn)， 由Rt△AOD∽Rt△P2ED得， 即：， ∴EP2= ∴DP2== ∴a=﹣2=， ∴P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）． （Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，過E作EF⊥x軸于F，設(shè)P3（b、0）， 由∠OPA+∠FPE=90，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE， 由得：， 解得b1=3，b2=1， ∴此時的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）， 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）． 【點(diǎn)評】本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線和拋物線的交點(diǎn)等；分類討論的思想是解題的關(guān)鍵：一個三角形是直角三角形，應(yīng)分不同頂點(diǎn)為直角等多種情況進(jìn)行分析．另外，求兩條線段和或差的最值，都要考慮做其中一點(diǎn)關(guān)于所求的點(diǎn)在的直線的對稱點(diǎn)． 　 24．（12分）（2016?山西模擬）滿洲里市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望．為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售． （1）求平均每次下調(diào)的百分率； （2）某人準(zhǔn)備以開盤均價購買一套100平方米的房子．開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元，請問哪種方案更優(yōu)惠？ 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】（1）設(shè)出平均每次下調(diào)的百分率為x，利用預(yù)訂每平方米銷售價格（1﹣每次下調(diào)的百分率）2=開盤每平方米銷售價格列方程解答即可； （2）對于方案的確定，可以通過比較兩種方案得出的費(fèi)用：①方案：下調(diào)后的均價1000.98；②方案：下調(diào)后的均價100﹣兩年的物業(yè)管理費(fèi)，比較確定出更優(yōu)惠的方案． 【解答】解：（1）設(shè)平均每次降價的百分率是x，根據(jù)題意列方程得， 5000（1﹣x）2=4050， 解得：x1=10%，x2=1.9（不合題意，舍去）； 答：平均每次降價的百分率為10%． （2）方案一的房款是：40501000.98=396900（元）； 方案二的房款是：4050100﹣1.5100122=401400（元） ∵396900元＜401400元． 【點(diǎn)評】考查了一元二次方程的應(yīng)用，同學(xué)們應(yīng)注重培養(yǎng)應(yīng)用題的分析理解能力，通過列出方程求出未知解． 　 25．（12分）（2010?綿陽）已知關(guān)于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2 （1）求m的取值范圍； （2）設(shè)y=x1+x2，當(dāng)y取得最小值時，求相應(yīng)m的值，并求出最小值． 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式；一次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，可求出m的取值范圍； （2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2的表達(dá)式，進(jìn)而可得出y、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應(yīng)的m值． 【解答】解：（1）將原方程整理為x2+2（m﹣1）x+m2=0； ∵原方程有兩個實(shí)數(shù)根， ∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤； （2）∵x1，x2為一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的兩根， ∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤； 因而y隨m的增大而減小，故當(dāng)m=時，取得最小值1． 【點(diǎn)評】此題是根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系與一次函數(shù)的結(jié)合題．牢記一次函數(shù)的性質(zhì)是解答（2）題的關(guān)鍵． 　 26．（13分）（2009?涼山州）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（0，2）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D． （1）求拋物線的解析式； （2）將△OAB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點(diǎn)C，求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式； （3）設(shè)（2）中平移后，所得拋物線與y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1，若點(diǎn)N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入解析式即可求得； （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2， 可得旋轉(zhuǎn)后C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），當(dāng)x=3時，由y=x2﹣3x+2得y=2，可知拋物線y=x2﹣3x+2過點(diǎn)（3，2）∴將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點(diǎn)C．∴平移后的拋物線解析式為：y=x2﹣3x+1； （3）首先求得B1，D1的坐標(biāo)，根據(jù)圖形分別求得即可，要注意利用方程思想． 【解答】解：（1）已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（0，2）， ∴， 解得， ∴所求拋物線的解析式為y=x2﹣3x+2； （2）∵A（1，0），B（0，2）， ∴OA=1，OB=2， 可得旋轉(zhuǎn)后C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）， 當(dāng)x=3時，由y=x2﹣3x+2得y=2， 可知拋物線y=x2﹣3x+2過點(diǎn)（3，2）， ∴將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點(diǎn)C． ∴平移后的拋物線解析式為：y=x2﹣3x+1； （3）∵點(diǎn)N在y=x2﹣3x+1上，可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，x02﹣3x0+1）， 將y=x2﹣3x+1配方得y=（x﹣）2﹣， ∴其對稱軸為直線x=． ①0≤x0≤時，如圖①， ∵， ∴ ∵x0=1， 此時x02﹣3x0+1=﹣1， ∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1）． ②當(dāng)時，如圖②， 同理可得， ∴x0=3， 此時x02﹣3x0+1=1， ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，1）． ③當(dāng)x＜0時，由圖可知，N點(diǎn)不存在， ∴舍去． 綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，﹣1）或（3，1）． 【點(diǎn)評】此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題． 此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．