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2016-2017學年江蘇省無錫市江陰中學九年級（上）開學數(shù)學試卷 一、選擇題（每題3分，共30分） 1．下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下面調查中，適合采用普查的是（　　） A．調查你所在的班級同學的身高情況 B．調查全國中學生心理健康現(xiàn)狀 C．調查我市食品合格情況 D．調查無錫電視臺《第一看點》收視率 4．下列事件是隨機事件的是（　?。? A．購買一張福利彩票，中特等獎 B．在一個標準大氣壓下，加熱水到100℃，沸騰 C．任意三角形的內(nèi)角和為180 D．在一個僅裝著白球和黑球的袋中摸出紅球 5．在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx﹣k與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象大致是（　　） A． B． C． D． 6．下列性質中，矩形、菱形、正方形都具有的是（　　） A．對角線相等 B．對角線互相垂直 C．對角線平分一組對角 D．對角線互相平分 7．矩形中，對角線把矩形的一個直角分成1：2兩部分，則矩形對角線所夾的銳角是（　?。? A．30 B．45 C．60 D．90 8．點A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則y1，y2的大小關系是（　?。? A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能確定 9．若關于x的分式方程+=2有增根，則m的值是（　?。? A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=3 10．如圖，在?ABCD中，點E為AB的中點，F(xiàn)為BC上任意一點，把△BEF沿直線EF翻折，點B的對應點B′落在對角線AC上，則與∠FEB一定相等的角（不含∠FEB）有（　　） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 　 二、填空題（每空2分，共16分） 11．當x=　　時，分式的值為0． 12．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　?。? 13．若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為　?。? 14．如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為（﹣3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數(shù)y=（x＜0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為　?。? 15．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，請?zhí)砑右粋€條件　　，使四邊形AECF是平行四邊形（只填一個即可）． 16．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于　　． 17．用“☆”定義新運算：對于任意實數(shù)a、b，都有a☆b=b2+1．例如7☆4=42+1=17，那么5☆3=　　；當m為實數(shù)時，m☆（m☆2）=　?。? 18．如圖，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4，點P、Q、K分別為線段AB、BC、AC上任意一點，則PK+QK的最小值為　?。? 　 三、解答題（共8題，共54分） 19．計算： （1）（）2﹣|﹣2|+（﹣2）0； （2）（+）2﹣（+）（﹣）． 20．解方程： （1）=； （2）x2﹣7x+10=0． 21．先化簡，再求值：（﹣），其中a=+1，b=﹣1． 22．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60，點E是AD邊的中點．點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD、AN． （1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形； （2）填空：①當AM的值為　　時，四邊形AMDN是矩形； ②當AM的值為　　時，四邊形AMDN是菱形． 23．某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元． （1）該商家購進的第一批襯衫是多少件？ （2）若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標價至少是多少元？ 24．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）與反比例函數(shù)y2=（m為常數(shù)，且m≠0）的圖象交于點A（﹣2，1）、B（1，n）． （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （2）連結OA、OB，求△AOB的面積； （3）直接寫出當y1＜y2＜0時，自變量x的取值范圍． 25．如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動． （1）若動點M、N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點相遇？ （2）若點E在線段BC上，BE=2cm，動點M、N同時出發(fā)且相遇時均停止運動，那么點M運動到第幾秒鐘時，與點A、E、M、N恰好能組成平行四邊形？ 26．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形． （1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由． （2）性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系． 猜想結論：（要求用文字語言敘述）　　 寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）． （3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長． 　  2016-2017學年江蘇省無錫市江陰中學九年級（上）開學數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每題3分，共30分） 1．下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】結合選項根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解即可． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形； B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形； C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形； D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形． 故選B． 　 2．下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】最簡二次根式． 【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含開的盡的因數(shù)或因式，可得答案． 【解答】解：A、被開方數(shù)含開的盡的因數(shù)或因式，故A錯誤； B、被開方數(shù)含開的盡的因數(shù)或因式，故B錯誤； C、被開方數(shù)含分母，故C錯誤 D、被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含開的盡的因數(shù)或因式，故D正確； 故選：D． 　 3．下面調查中，適合采用普查的是（　?。? A．調查你所在的班級同學的身高情況 B．調查全國中學生心理健康現(xiàn)狀 C．調查我市食品合格情況 D．調查無錫電視臺《第一看點》收視率 【考點】全面調查與抽樣調查． 【分析】根據(jù)普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似解答． 【解答】解：調查你所在的班級同學的身高情況適合采用普查方式； 調查全國中學生心理健康現(xiàn)狀適合抽樣普查方式； 調查全國中學生心理健康現(xiàn)狀適合抽樣普查方式； 調查無錫電視臺《第一看點》收視率適合抽樣普查方式； 故選：A． 　 4．下列事件是隨機事件的是（　?。? A．購買一張福利彩票，中特等獎 B．在一個標準大氣壓下，加熱水到100℃，沸騰 C．任意三角形的內(nèi)角和為180 D．在一個僅裝著白球和黑球的袋中摸出紅球 【考點】隨機事件． 【分析】隨機事件是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，根據(jù)定義即可作出判斷． 【解答】解：A、是隨機事件，故選項正確； B、是必然事件，故選項錯誤； C、三角形的內(nèi)角和是180，是必然事件，故選項錯誤； D、是不可能事件，故選項錯誤； 故選A． 　 5．在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx﹣k與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】由于本題不確定k的符號，所以應分k＞0和k＜0兩種情況分類討論，針對每種情況分別畫出相應的圖象，然后與各選擇比較，從而確定答案． 【解答】解：（1）當k＞0時，一次函數(shù)y=kx﹣k 經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，如圖所示： （2）當k＜0時，一次函數(shù)y=kx﹣k經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限．如圖所示： 故選：A． 　 6．下列性質中，矩形、菱形、正方形都具有的是（　?。? A．對角線相等 B．對角線互相垂直 C．對角線平分一組對角 D．對角線互相平分 【考點】正方形的性質；菱形的性質；矩形的性質． 【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的性質一一判斷即可． 【解答】解：A、錯誤．菱形不具有的對角線相等這個性質． B、錯誤．矩形不具有的對角線互相垂直這個性質． C、錯誤．矩形不具有對角線平分一組對角這個性質． D、正確．矩形、菱形、正方形的對角線相互平分． 故選D． 　 7．矩形中，對角線把矩形的一個直角分成1：2兩部分，則矩形對角線所夾的銳角是（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 【考點】矩形的性質． 【分析】根據(jù)矩形的性質，得△BOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性質進行答題． 【解答】解：圖形中∠1=90=30， ∵矩形的性質對角線相等且互相平分， ∴OB=OC， ∴△BOC是等腰三角形， ∴∠OBC=∠1，則∠AOB=2∠1=60． 故選C． 　 8．點A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則y1，y2的大小關系是（　?。? A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能確定 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出反比例函數(shù)的圖象所在的象限及其增減性，再根據(jù)A、B兩點的橫坐標判斷出兩點所在的象限，進而可得出結論． 【解答】解：∵反比例函數(shù)y=中，k=2＞0， ∴此函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小， ∵﹣1＜0，﹣2＜0， ∴點A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）均位于第三象限， ∵﹣1＞﹣2， ∴y1＜y2． 故選C． 　 9．若關于x的分式方程+=2有增根，則m的值是（　?。? A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=3 【考點】分式方程的增根． 【分析】方程兩邊都乘以最簡公分母（x﹣3），把分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程的增根就是使最簡公分母等于0的未知數(shù)的值求出x的值，然后代入進行計算即可求出m的值． 【解答】解：方程兩邊都乘以（x﹣3）得， 2﹣x﹣m=2（x﹣3）， ∵分式方程有增根， ∴x﹣3=0， 解得x=3， ∴2﹣3﹣m=2（3﹣3）， 解得m=﹣1． 故選A． 　 10．如圖，在?ABCD中，點E為AB的中點，F(xiàn)為BC上任意一點，把△BEF沿直線EF翻折，點B的對應點B′落在對角線AC上，則與∠FEB一定相等的角（不含∠FEB）有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點】翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的性質． 【分析】由翻折的性質可知，EB=EB，由E為AB的中點，得到EA=EB，根據(jù)三角形外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，找到與∠FEB相等的角，再根據(jù)AB∥CD，也可得到∠FEB=∠ACD． 【解答】解：由翻折的性質可知：EB=EB，∠FEB=∠FEB； ∵E為AB的中點， ∴AE=BE=EB， ∴∠EAB=∠EBA， ∵∠BEB=∠EAB+∠EBA， ∴2∠FEB=2∠EAB=2∠EBA， ∴∠FEB=∠EAB=∠EBA， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠ACD， ∴∠FEB=∠ACD， ∴與∠FEB相等的角有∠FEB，∠EAB，∠EBA，∠ACD， ∴故選C． 　 二、填空題（每空2分，共16分） 11．當x=　﹣1　時，分式的值為0． 【考點】分式的值為零的條件． 【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題． 【解答】解：由題意可得x+1=0且x﹣1≠0， 解得x=﹣1． 故答案為﹣1． 　 12．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　x≤2　． 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由題意得，2﹣x≥0， 解得，x≤2， 故答案為：x≤2． 　 13．若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為　﹣2　． 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】設關于x的方程x2+3x+a=0的兩根分別為m、n，由根與系數(shù)的關系可得出m+n=﹣3，結合m=﹣1，即可得出結論． 【解答】解：設關于x的方程x2+3x+a=0的兩根分別為m、n， 由已知得：， 解得：n=﹣2． 故答案為：﹣2． 　 14．如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為（﹣3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數(shù)y=（x＜0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為　﹣32　． 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；菱形的性質． 【分析】根據(jù)點C的坐標以及菱形的性質求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出k的值即可． 【解答】解：∵A（﹣3，4）， ∴OC==5， ∴CB=OC=5， 則點B的橫坐標為﹣3﹣5=﹣8， 故B的坐標為：（﹣8，4）， 將點B的坐標代入y=得，4=， 解得：k=﹣32． 故答案是：﹣32． 　 15．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，請?zhí)砑右粋€條件　AF=CE　，使四邊形AECF是平行四邊形（只填一個即可）． 【考點】平行四邊形的判定與性質． 【分析】根據(jù)平行四邊形性質得出AD∥BC，得出AF∥CE，根據(jù)有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形推出即可． 【解答】解：添加的條件是AF=CE．理由是： ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴AF∥CE， ∵AF=CE， ∴四邊形AECF是平行四邊形． 故答案為：AF=CE． 　 16．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于　3.5?。? 【考點】菱形的性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理． 【分析】由菱形的四邊相等求出邊長，再根據(jù)對角線互相垂直得出∠AOD=90，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結果． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD， ∴∠AOD=90， ∵AB+BC+CD+DA=28， ∴AD=7， ∵H為AD邊中點， ∴OH=AD=3.5； 故答案為：3.5． 　 17．用“☆”定義新運算：對于任意實數(shù)a、b，都有a☆b=b2+1．例如7☆4=42+1=17，那么5☆3=　10?。划攎為實數(shù)時，m☆（m☆2）=　26　． 【考點】有理數(shù)的混合運算． 【分析】熟悉新運算的計算規(guī)則，運用新規(guī)則計算． 【解答】解：依規(guī)則可知：5☆3=32+1=10； 因為m☆2=22+1=5，所以m☆（m☆2）=52+1=26． 故依次填10；26． 　 18．如圖，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4，點P、Q、K分別為線段AB、BC、AC上任意一點，則PK+QK的最小值為　2　． 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點P關于BD的對稱點P′，連接P′Q與BD的交點即為所求的點K，然后根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質可知P′Q⊥BC時PK+QK的最小值，然后求解即可． 【解答】解：如圖，過A作AH⊥BC交CB的延長線于H， ∵AB=CB=4，S△ABC=4， ∴AH=2， ∴cos∠HAB==， ∴∠HAB=30， ∴∠ABH=60， ∴∠ABC=120， ∵∠BAC=∠C=30， 作點P關于直線AC的對稱點P′， 過P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K， 則P′Q 的長度=PK+QK的最小值， ∴∠P′AK=∠BAC=30， ∴∠HAP′=90， ∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90， ∴四邊形AP′QH是矩形， ∴P′Q=AH=2， 即PK+QK的最小值為2． 故答案為：2． 　 三、解答題（共8題，共54分） 19．計算： （1）（）2﹣|﹣2|+（﹣2）0； （2）（+）2﹣（+）（﹣）． 【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪． 【分析】（1）原式利用算術平方根定義，絕對值的代數(shù)意義，以及零指數(shù)冪法則計算即可得到結果； （2）原式利用完全平方公式，平方差公式計算即可得到結果． 【解答】解：（1）原式=3﹣2+1=2； （2）原式=2+3+2﹣2+3=6+2． 　 20．解方程： （1）=； （2）x2﹣7x+10=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解分式方程． 【分析】（1）先去分母，把分式方程化為一元一次方程，解一元一次方程得到x的值，然后進行檢驗確定原分式方程的解； （2）利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）去分母得x+3=2x， 解得x=3， 檢驗：當x=3時，x（x+3）≠0， 所以x=3為原方程的解； （2）（x﹣2）（x﹣5）=0， x﹣2=0或x﹣5=0， 所以x1=2，x2=5． 　 21．先化簡，再求值：（﹣），其中a=+1，b=﹣1． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值． 【解答】解：原式=?=， 當a=+1，b=﹣1時，原式=2． 　 22．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60，點E是AD邊的中點．點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD、AN． （1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形； （2）填空：①當AM的值為　1　時，四邊形AMDN是矩形； ②當AM的值為　2　時，四邊形AMDN是菱形． 【考點】菱形的判定與性質；平行四邊形的判定；矩形的判定． 【分析】（1）利用菱形的性質和已知條件可證明四邊形AMDN的對邊平行且相等即可； （2）①有（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形即∠DMA=90，所以AM=AD=1時即可； ②當平行四邊形AMND的鄰邊AM=DM時，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形AMD是等邊三角形即可． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴ND∥AM， ∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME， 又∵點E是AD邊的中點， ∴DE=AE， ∴△NDE≌△MAE， ∴ND=MA， ∴四邊形AMDN是平行四邊形； （2）解：①當AM的值為1時，四邊形AMDN是矩形．理由如下： ∵AM=1=AD， ∴∠ADM=30 ∵∠DAM=60， ∴∠AMD=90， ∴平行四邊形AMDN是矩形； 故答案為：1； ②當AM的值為2時，四邊形AMDN是菱形．理由如下： ∵AM=2， ∴AM=AD=2， ∴△AMD是等邊三角形， ∴AM=DM， ∴平行四邊形AMDN是菱形， 故答案為：2． 　 23．某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元． （1）該商家購進的第一批襯衫是多少件？ （2）若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標價至少是多少元？ 【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用． 【分析】（1）可設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，根據(jù)第二批這種襯衫單價貴了10元，列出方程求解即可； （2）設每件襯衫的標價y元，求出利潤表達式，然后列不等式解答． 【解答】解：（1）設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，依題意有 +10=， 解得x=120， 經(jīng)檢驗，x=120是原方程的解，且符合題意． 答：該商家購進的第一批襯衫是120件． （2）3x=3120=360， 設每件襯衫的標價y元，依題意有 y+500.8y≥（1+25%）， 解得y≥150． 答：每件襯衫的標價至少是150元． 　 24．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）與反比例函數(shù)y2=（m為常數(shù)，且m≠0）的圖象交于點A（﹣2，1）、B（1，n）． （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （2）連結OA、OB，求△AOB的面積； （3）直接寫出當y1＜y2＜0時，自變量x的取值范圍． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）將A坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出m的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式；將B坐標代入反比例解析式中求出n的值，確定出B坐標，將A與B坐標代入一次函數(shù)解析式中求出a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式； （2）設直線AB與y軸交于點C，求得點C坐標，S△AOB=S△AOC+S△COB，計算即可； （3）由圖象直接可得自變量x的取值范圍． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，1）， ∴將A坐標代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)2=中，得m=﹣2， ∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣； 將B坐標代入y=﹣，得n=﹣2， ∴B坐標（1，﹣2）， 將A與B坐標代入一次函數(shù)解析式中，得， 解得a=﹣1，b=﹣1， ∴一次函數(shù)解析式為y1=﹣x﹣1； （2）設直線AB與y軸交于點C， 令x=0，得y=﹣1， ∴點C坐標（0，﹣1）， ∴S△AOB=S△AOC+S△COB=12+11=； （3）由圖象可得，當y1＜y2＜0時，自變量x的取值范圍x＞1． 　 25．如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動． （1）若動點M、N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點相遇？ （2）若點E在線段BC上，BE=2cm，動點M、N同時出發(fā)且相遇時均停止運動，那么點M運動到第幾秒鐘時，與點A、E、M、N恰好能組成平行四邊形？ 【考點】矩形的性質；平行四邊形的性質． 【分析】（1）相遇時，M和N所經(jīng)過的路程正好是矩形的周長，在速度已知的情況下，只需列方程即可解答． （2）因為按照N的速度和所走的路程，在相遇時包括相遇前，N一直在AD上運動，當點M運動到BC邊上的時候，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，其中有兩種情況，即當M到C點時以及在BC上時，所以要分情況討論． 【解答】解：（1）設t秒時兩點相遇，則有t+2t=24， 解得t=8． 答：經(jīng)過8秒兩點相遇． （2）由（1）知，點N一直在AD上運動，所以當點M運動到BC邊上的時候，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形， 設經(jīng)過x秒，四點可組成平行四邊形．分兩種情形： 當點M運動到E的右邊時：①8﹣x=10﹣2x，解得x=2， 當點M運動到E的左邊時，②8﹣x=2x﹣10，解得x=6， 答：第2秒或6秒鐘時，點A、E、M、N組成平行四邊形． 　 26．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形． （1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由． （2）性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系． 猜想結論：（要求用文字語言敘述）　垂美四邊形兩組對邊的平方和相等　 寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）． （3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可； （2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可； （3）根據(jù)垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算． 【解答】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形． 證明：∵AB=AD， ∴點A在線段BD的垂直平分線上， ∵CB=CD， ∴點C在線段BD的垂直平分線上， ∴直線AC是線段BD的垂直平分線， ∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形； （2）猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等． 如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E， 求證：AD2+BC2=AB2+CD2 證明：∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； （3）連接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE， ∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90， ∴∠ABG+∠AME=90，即CE⊥BG， ∴四邊形CGEB是垂美四邊形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3，CG=4，BE=5， ∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73， ∴GE=．