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2016-2017學年福建省福州市文博中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份） 一、選擇題（共10小題，每題4分，滿分40分） 1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．由二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1，可知（　?。? A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x=﹣3 C．其最小值為1 D．當x＜3時，y隨x的增大而增大 3．下列命題中假命題的個數(shù)是（　?。? ①三點確定一個圓； ②三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等； ③相等的圓周角所對的弧相等； ④平分弦的直徑垂直于弦； ⑤垂直于半徑的直線是圓的切線． A．4 B．3 C．2 D．1 4．如圖，將三角尺ABC（其中∠ABC=60，∠C=90）繞B點按順時針方向轉(zhuǎn)動一個角度到A1BC1的位置，使得點A，B，C1在同一條直線上，那么這個角度等于（　?。? A．120 B．90 C．60 D．30 5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB=20，CD=16，那么線段AE的長為（　?。? A．10 B．8 C．6 D．4 6．正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長是（　?。? A． B．2 C．3 D．2 7．如圖，點A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．則α的值為（　?。? A．135 B．120 C．110 D．100 8．已知⊙O的半徑為1，點P到圓心O的距離為d，若關(guān)于x的方程x2﹣2x+d=0有實根，則點P（　?。? A．在⊙O的內(nèi)部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的內(nèi)部 9．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣3=0的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個異號實數(shù)根 C．有兩個相等實數(shù)根 D．無實數(shù)根 10．小明從圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④2a﹣3b=0；⑤c﹣4b＞0，其中正確的有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 二、填空題（共6小題，每題4分，滿分24分） 11．拋物線y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經(jīng)過原點，則m=　?。? 12．已知拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是　?。? 13．如圖，PA、PB是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，∠P=50，則∠BOC的度數(shù)為　　． 14．若半徑為6cm的圓中，扇形面積為9cm2，則它的弧長為　　． 15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=2，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為　?。ńY(jié)果保留π）． 16．如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一個動點，連接BD．將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BE，連接ED．若BC=2，則△AED的周長最小值是　?。? 　 三、解答題（共86分） 17．已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示． （1）畫出△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后的△ABC； （2）在（1）的條件下，求點C旋轉(zhuǎn)到點C所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）． 18．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），與y軸的交點坐標為（0，3）． （1）求出b，c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍． 19．二次函數(shù)的圖象與x軸一交點為（﹣1，0），頂點（1，﹣4）． （1）求二次函數(shù)的解析式． （2）當x為何值時，y隨x的增大而增大？ （3）所求二次函數(shù)圖象可以由什么拋物線經(jīng)過怎樣的平移得到？ 20．如圖，在Rt△BAC中，∠BAC=90，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到△AB′C′（點B的對應(yīng)點是點B′，點C的對應(yīng)點是點C′），連接CC′，若∠CC′B′=30，求∠B的度數(shù)． 21．如圖所示，⊙O的直徑AB長為6，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求四邊形ADBC的面積． 22．某商場銷售一種筆記本，進價為每本10元．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為12元時，每天可賣出100本，如調(diào)整價格，每漲價1元，每天要少賣出10本． （1）寫出商場銷售這種筆記本，每天所得的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式（x＞12）； （2）若該筆記本的銷售單價高于進價且不超過15元，求銷售單價為多少元時，該筆記本每天的銷售利潤最大？并求出最大值． 23．如圖，已知等腰三角形ABC中，AC=BC，底角為30，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E． （1）證明：DE為⊙O的切線． （2）連接OE，若BC=4，求CE的長． 24．如圖，圓心角都是90的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，連接AC，BD． （1）求證：AC=BD； （2）若圖中陰影部分的面積是πcm2，OA=2cm，求OC的長． 25．如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點A、B，且其頂點P在⊙C上． （1）求出A、B兩點的坐標； （2）試確定此拋物線的解析式； （3）在該拋物線是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由； （4）設(shè)點M是拋物線對稱軸上的一個動點，H是拋物線對稱軸與x軸的交點，如果以MH為半徑的⊙M與直線AP相切，求點M坐標． 　  2016-2017學年福建省福州市文博中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共10小題，每題4分，滿分40分） 1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形； 第二個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； 第三個圖型是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形； 第四個圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形． 所以既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有兩個． 故選B． 【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 　 2．由二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1，可知（　?。? A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x=﹣3 C．其最小值為1 D．當x＜3時，y隨x的增大而增大 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直接根據(jù)a的值得出開口方向，再利用頂點坐標的對稱軸和增減性，分別分析即可． 【解答】解：由二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1，可知： A：∵a＞0，其圖象的開口向上，故此選項錯誤； B．∵其圖象的對稱軸為直線x=3，故此選項錯誤； C．其最小值為1，故此選項正確； D．當x＜3時，y隨x的增大而減小，故此選項錯誤． 故選：C． 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，同學們應(yīng)根據(jù)題意熟練地應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)，這是中考中考查重點知識． 　 3．下列命題中假命題的個數(shù)是（　?。? ①三點確定一個圓； ②三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等； ③相等的圓周角所對的弧相等； ④平分弦的直徑垂直于弦； ⑤垂直于半徑的直線是圓的切線． A．4 B．3 C．2 D．1 【考點】命題與定理． 【分析】分析是否為假命題，可以舉出反例；也可以分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案． 【解答】解：①錯誤，不在同一條直線上的三點確定一個圓； ②正確，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等； ③錯誤，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等； ④錯誤，如果平分的弦是直徑，那么平分弦的直徑不垂直于弦； ⑤錯誤，過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線． 故選A． 【點評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理． 　 4．如圖，將三角尺ABC（其中∠ABC=60，∠C=90）繞B點按順時針方向轉(zhuǎn)動一個角度到A1BC1的位置，使得點A，B，C1在同一條直線上，那么這個角度等于（　?。? A．120 B．90 C．60 D．30 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)計算． 【解答】解：∵∠ABC=60， ∴旋轉(zhuǎn)角∠CBC1=180﹣60=120． ∴這個旋轉(zhuǎn)角度等于120． 故選：A． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的定義，明確三角尺的度數(shù)的常識并熟記旋轉(zhuǎn)角的定義是解題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB=20，CD=16，那么線段AE的長為（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CE，根據(jù)勾股定理計算即可． 【解答】解：連接OC， ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=8， ∴OE==6， 則AE=OA﹣OE=4， 故選：D． 【點評】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵． 　 6．正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長是（　?。? A． B．2 C．3 D．2 【考點】正多邊形和圓；勾股定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】運用正六邊形的性質(zhì)，正六邊形邊長等于外接圓的半徑，再利用勾股定理解決． 【解答】解：∵正六邊形的邊心距為， ∴OB=，AB=OA， ∵OA2=AB2+OB2， ∴OA2=（OA）2+（）2， 解得OA=2． 故選：B． 【點評】本題主要考查了正六邊形和圓，注意：外接圓的半徑等于正六邊形的邊長． 　 7．如圖，點A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．則α的值為（　　） A．135 B．120 C．110 D．100 【考點】圓周角定理． 【分析】先運用“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半”，再運用周角360即可解． 【解答】解：∵∠ACB=a ∴優(yōu)弧所對的圓心角為2a ∴2a+a=360 ∴a=120． 故選B． 【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 　 8．已知⊙O的半徑為1，點P到圓心O的距離為d，若關(guān)于x的方程x2﹣2x+d=0有實根，則點P（　?。? A．在⊙O的內(nèi)部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的內(nèi)部 【考點】點與圓的位置關(guān)系；根的判別式． 【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程有實數(shù)根求得d的取值范圍，然后利用d與半徑的大小關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系． 【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+d=0有實根， ∴根的判別式△=（﹣2）2﹣4d≥0， 解得d≤1， ∴點在圓內(nèi)或在圓上， 故選D． 【點評】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．設(shè)點到圓心的距離為d，則當d=R時，點在圓上；當d＞R時，點在圓外；當d＜R時，點在圓內(nèi)． 　 9．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣3=0的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個異號實數(shù)根 C．有兩個相等實數(shù)根 D．無實數(shù)根 【考點】拋物線與x軸的交點． 【專題】壓軸題． 【分析】由圖可知y=ax2+bx+c﹣3可以看作是函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象向下平移3個單位而得到，再根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)進行解答． 【解答】解：∵函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象頂點的縱坐標為3， ∴函數(shù)y=ax2+bx+c﹣3的圖象可以看作是y=ax2+bx+c的圖象向下平移3個單位得到，此時頂點在x軸上， ∴函數(shù)y=ax2+bx+c﹣3的圖象與x軸只有1個交點， ∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣3=0有兩個相等實數(shù)根． 故選C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的知識． 　 10．小明從圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④2a﹣3b=0；⑤c﹣4b＞0，其中正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】觀察圖象易得a＞0，﹣ =，所以b＜0，2a+3b=0，因此abc＞0，由此可以判定①是正確的，而④錯誤； 當x=﹣1，y=a﹣b+c，由點（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0②是正確的； 當x=2時，y=4a+2b+c=2（﹣3b）+2b+c=c﹣4b＞0，而③是錯誤的，由點（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0⑤是正確的． 【解答】解：∵拋物線開口方向向上， ∴a＞0， ∵與y軸交點在x軸的下方， ∴c＜0， ∵﹣=， ∴b＜0， ∴abc＞0， ∴①是正確的； 對稱軸x=﹣=， ∴3b=﹣2a， ∴2a+3b=0， ∴④是錯誤的； 當x=﹣1，y=a﹣b+c， 而點（﹣1，a﹣b+c）在第二象限， ∴②a﹣b+c＞0是正確的； 當x=2時，y=4a+2b+c=2（﹣3b）+2b+c=c﹣4b＞0， 而點（2，c﹣4b）在第一象限， ∴c﹣4b＞0，故③錯誤，⑤正確． 故選C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，還考查了同學們從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，以及考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)． 　 二、填空題（共6小題，每題4分，滿分24分） 11．拋物線y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經(jīng)過原點，則m=　﹣2?。? 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】由于拋物線y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經(jīng)過原點，所以把（0，0）代入函數(shù)的解析式中即可求解． 【解答】解：∵拋物線y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經(jīng)過原點， ∴0=m2﹣4， ∴m=2， 當m=2時，m﹣2=0， ∴m=﹣2． 故答案為：﹣2． 【點評】本題考查了函數(shù)圖象上的點的坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系，解題時首先正確理解題意，然后根據(jù)題意得到方程即可解決問題． 　 12．已知拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是　﹣1＜x＜3　． 【考點】二次函數(shù)的圖象． 【專題】壓軸題． 【分析】由圖可知，該函數(shù)的對稱軸是x=1，則x軸上與﹣1對應(yīng)的點是3．觀察圖象可知y＞0時x的取值范圍． 【解答】解：已知拋物線與x軸的一個交點是（﹣1，0）對稱軸為x=1， 根據(jù)對稱性，拋物線與x軸的另一交點為（3，0）， 觀察圖象，當y＞0時，﹣1＜x＜3． 【點評】此題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與對稱性，找出拋物線y=ax2+bx+c的完整圖象． 　 13．如圖，PA、PB是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，∠P=50，則∠BOC的度數(shù)為　50?。? 【考點】切線的性質(zhì)． 【分析】由PA、PB是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=∠OBP=90，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360可得到∠AOB，而AC是⊙O的直徑，根據(jù)互補即可得到∠BOC的度數(shù)． 【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線， ∴∠OAP=∠OBP=90， 而∠P=50， ∴∠AOB=360﹣90﹣90﹣50=130， 又∵AC是⊙O的直徑， ∴∠BOC=180﹣130=50． 故答案為：50． 【點評】本題考查了圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑；也考查了四邊形的內(nèi)角和為360． 　 14．若半徑為6cm的圓中，扇形面積為9cm2，則它的弧長為　3cm?。? 【考點】扇形面積的計算；弧長的計算． 【分析】利用扇形面積的計算方法，有兩種：①根據(jù)圓心角的度數(shù)和半徑的長來得出：S=；②根據(jù)弧長和半徑來求：S=lr，進而得出利用第②個公式得出即可． 【解答】解：根據(jù)扇形面積公式可知S=lr，所以l===3cm， 故答案為：3cm． 【點評】此題主要考查了主要考查了扇形面積的求算方法．利用弧長和半徑：S=lr得出是解題關(guān)鍵． 　 15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=2，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為　π﹣4　（結(jié)果保留π）． 【考點】扇形面積的計算． 【專題】壓軸題． 【分析】圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積﹣三角形的面積，然后利用三角形的面積計算即可． 【解答】解： 設(shè)各個部分的面積為：S1、S2、S3、S4、S5，如圖所示， ∵兩個半圓的面積和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面積是S3+S4+S5，陰影部分的面積是：S1+S2+S4， ∴圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積減去三角形的面積． 即陰影部分的面積=π4+π1﹣422=π﹣4． 【點評】此題的關(guān)鍵是看出圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積﹣三角形的面積． 　 16．如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一個動點，連接BD．將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BE，連接ED．若BC=2，則△AED的周長最小值是　2+?。? 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】作BH⊥AC于H，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)可計算出BH=，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BD，∠DBE=60，則可判斷△DBE為等邊三角形，所以∠DBE=60，DE=DB，由于BA=BC，∠ABC=60，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可把△CBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到△ABE，則AE=CD，所以△AED的周長=AE+AD+DE=CD+AD+BD=2+BD，利用垂線段最短得點D運動到點H時，BD最小，最小值為，于是得到△AED的周長最小值為2+． 【解答】解：作BH⊥AC于H，如圖， ∵△ABC為等邊三角形， ∴BC=AC=2， ∴CH=AC=1， ∴BH==， ∵線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BE， ∴BE=BD，∠DBE=60， ∴△DBE為等邊三角形， ∴∠DBE=60，DE=DB， ∵△ABC為等邊三角形， ∴BA=BC，∠ABC=60， ∴△CBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到△ABE， ∴AE=CD， ∴△AED的周長=AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD=2+BD， ∵D是邊AC上一個動點， ∴當點D運動到點H時，BD最小，最小值為， ∴△AED的周長最小值為2+． 故答案為2+． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)． 　 三、解答題（共86分） 17．已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示． （1）畫出△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后的△ABC； （2）在（1）的條件下，求點C旋轉(zhuǎn)到點C所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軌跡． 【分析】（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形即可； （2）先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由弧長公式即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求； （2）∵AC==2， ∴點C旋轉(zhuǎn)到點C所經(jīng)過的路線長==π． 【點評】本題考查的是作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 18．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），與y軸的交點坐標為（0，3）． （1）求出b，c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍． 【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的圖象． 【分析】（1）把拋物線上的兩點代入解析式，解方程組可求b、c的值； （2）令y=0，求拋物線與x軸的兩交點坐標，觀察圖象，求y＞0時，x的取值范圍． 【解答】解：（1）將點（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，得 ，解得． ∴y=﹣x2+2x+3． （2）令y=0，解方程﹣x2+2x+3=0， 得x1=﹣1，x2=3，拋物線開口向下， ∴當﹣1＜x＜3時，y＞0． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸的交點，開口方向，可求y＞0時，自變量x的取值范圍． 　 19．二次函數(shù)的圖象與x軸一交點為（﹣1，0），頂點（1，﹣4）． （1）求二次函數(shù)的解析式． （2）當x為何值時，y隨x的增大而增大？ （3）所求二次函數(shù)圖象可以由什么拋物線經(jīng)過怎樣的平移得到？ 【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】（1）先設(shè)所求函數(shù)解析式是y=a（x﹣1）2﹣4，再把（﹣1，0）代入，即可求a，進而可得函數(shù)解析式； （2）由（1）可知拋物線的對稱軸，進而可知道y隨x的增大而增大時，自變量x的取值范圍； （3）可以由基函數(shù)y=y=x2先向右平移1個單位，再向下平移4個單位得到． 【解答】解： （1）設(shè)y=a（x﹣1）2﹣4，把點（﹣1，0）代入得：a=1， ∴函數(shù)解析式y(tǒng)=（x﹣1）2﹣4； （2）∵拋物線對稱軸為x=1， ∴當x＞1時，y隨x的增大而增大； （3）函數(shù)y=（x﹣1）2﹣4圖象可以由y=x2先向右平移1個單位，再向下平移4個單位得到． 【點評】本題主要考查二次函數(shù)解析式求法及拋物線與坐標軸交點坐標，根據(jù)題意設(shè)出二次函數(shù)解析式的合適形式是前提、根本． 　 20．如圖，在Rt△BAC中，∠BAC=90，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到△AB′C′（點B的對應(yīng)點是點B′，點C的對應(yīng)點是點C′），連接CC′，若∠CC′B′=30，求∠B的度數(shù)． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC≌△AB′C′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=AC′，∠B=∠AB′C′，則△ACC′是等腰直角三角形，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得∠AB′C′即可． 【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△AB′C′，點B′在AC上， ∴AC=AC′，∠B=∠AB′C′． 又∵∠BAC=∠CAC′=90， ∴∠ACC′=∠AC′C=45． ∴∠AB′C′=∠ACC′+∠CC′B′=45+30=75， ∴∠B=∠AB′C′=75． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，注意到△ACC′是等腰直角三角形是關(guān)鍵． 　 21．如圖所示，⊙O的直徑AB長為6，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求四邊形ADBC的面積． 【考點】圓周角定理；勾股定理． 【分析】四邊形ADBC可分作兩部分： ①△ABC，由圓周角定理知∠ACB=90，Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理即可求得直角邊BC的長，進而可根據(jù)直角三角形的面積計算方法求出△ABC的面積； ②△ABD，由于CD平分∠ACB，則弧AD=弧BD，由此可證得△ABD是等腰Rt△，即可根據(jù)斜邊的長求出兩條直角邊的長，進而可得到△ABD的面積； 上述兩個三角形的面積和即為四邊形ADBC的面積，由此得解． 【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90， 在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC===4； ∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴∠DCA=∠BCD； ∴， ∴AD=BD； ∴在Rt△ABD中，AD=BD=3，AB=6， ∴四邊形ADBC的面積=S△ABC+S△ABD=AC?BC+AD?BD =24+33=9+4． 故四邊形ADBC的面積是9+4． 【點評】此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識的綜合應(yīng)用能力． 　 22．（2016秋?臺江區(qū)校級期中）某商場銷售一種筆記本，進價為每本10元．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為12元時，每天可賣出100本，如調(diào)整價格，每漲價1元，每天要少賣出10本． （1）寫出商場銷售這種筆記本，每天所得的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式（x＞12）； （2）若該筆記本的銷售單價高于進價且不超過15元，求銷售單價為多少元時，該筆記本每天的銷售利潤最大？并求出最大值． 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)總利潤=單件利潤銷售量列出函數(shù)解析式即可； （2）把y=﹣10x2+320x﹣2200化為y=﹣10（x﹣16）2+360，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）y=（x﹣10）[100﹣10（x﹣12） =（x﹣10）（100﹣10x+120） =﹣10x2+320x﹣2200； （2）y=﹣10x2+320x﹣2200=﹣10（x﹣16）2+360， 由題意可得：10＜x≤15， ∵a=﹣10＜0，對稱軸為直線x=16， ∴拋物線開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大， ∴當x=15時，y取最大值為350元， 答：銷售單價為15元時，該文具每天的銷售利潤最大，最大值是350元． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=﹣時取得． 　 23．如圖，已知等腰三角形ABC中，AC=BC，底角為30，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E． （1）證明：DE為⊙O的切線． （2）連接OE，若BC=4，求CE的長． 【考點】切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理． 【分析】（1）首先連接OD，CD，由以BC為直徑的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，繼而可證得結(jié)論； （2）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出CD=BC=2，∠ACB=120，∠BCD=∠ACD=∠ACB=60，由三角函數(shù)求出CE即可． 【解答】（1）證明：連接OD，CD，如圖所示： ∵BC為⊙O直徑， ∴∠BDC=90， 即CD⊥AB， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AD=BD， ∵OB=OC， ∴OD是△ABC的中位線， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵D點在⊙O上， ∴DE為⊙O的切線； （2）解：∵∠A=∠B=30，BC=4， ∴CD=BC=2，∠ACB=120， ∵AC=BC，AD=BD， ∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=60， ∵DE⊥AC， ∴CE=CD?cos60=2=1． 【點評】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角函數(shù)的運用等知識；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 　 24．如圖，圓心角都是90的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，連接AC，BD． （1）求證：AC=BD； （2）若圖中陰影部分的面積是πcm2，OA=2cm，求OC的長． 【考點】扇形面積的計算；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）求證：AC=BD，則需求證△AOC≌△BOD，利用已知條件證明即可． （2）從圖中可以得S陰影就是大扇形減小扇形形所得的弓形的面積，根據(jù)扇形的面積公式計算即可． 【解答】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90， ∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD； ∴∠AOC=∠BOD； 在△AOC和△BOD中， ∵， ∴△AOC≌△BOD（SAS）； ∴AC=BD． （2）解：根據(jù)題意得：S陰影=﹣=； ∴； 解得：OC=1（cm）． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、扇形面積的計算方法等知識點． 　 25．（14分）（2012?福州校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點A、B，且其頂點P在⊙C上． （1）求出A、B兩點的坐標； （2）試確定此拋物線的解析式； （3）在該拋物線是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由； （4）設(shè)點M是拋物線對稱軸上的一個動點，H是拋物線對稱軸與x軸的交點，如果以MH為半徑的⊙M與直線AP相切，求點M坐標． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AH和BH，根據(jù)C的坐標求出A、B的坐標即可； （2）根據(jù)拋物線的頂點坐標設(shè)拋物線的頂點式，把B的坐標代入求出a即可； （3）假設(shè)存在，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出平行四邊形，求出D的坐標，把D的坐標代入拋物線的解析式，左邊=右邊，即得出D在拋物線上，即可得出答案； （4）根據(jù)勾股定理，可得AP的長，根據(jù)線段的和差，可得PM的長，MN的長，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案． 【解答】解：（1）如圖1，作CH⊥AB于H點． ∵CH=1，半徑CB=2， ∴HB=， ∴A的坐標是（1﹣，0），B的坐標是（1+，0）． （2）設(shè)拋物線的解析式是y=a（x﹣1）2+3， 把點B（1+，0）代入上式，解得：a=﹣1， ∴y=﹣（x﹣1）2+3=﹣x2+2x+2， 即拋物線的解析式是y=﹣x2+2x+2． （3）如圖2： 假設(shè)存在點D使線段OP與CD互相平分， 則四邊形OCPD是平行四邊形， ∴PC∥OD，PC=OD， ∵PC∥y軸， ∴點D在y軸上， ∵PC=2， ∴OD=2， 即D（0，2），∠MPN= 又D（0，2）滿足y=﹣x2+2x+2， ∴點D在拋物線上， ∴存在D點，使線段OP與CD互相平分，且點D的坐標是（0，2）； （4）如圖3： ， 作MN⊥AP， 設(shè)M（1，b）PM=（1﹣b），MN=MH=b， HA=1﹣（1﹣）=， AP===2． 由∠MPN=∠APH，∠MNP=∠AHP=90，得 △MNP∽△AHP， =，即=， 解得b=1， 即M（1，1）． 【點評】本題綜合考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，垂徑定理等知識點，本題綜合性較強，通過做題培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．