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2016-2017學年四川省達州市開江縣永興中學九年級（上）月考數學試卷（10月份） 一.填空題 1．若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 2．李明去參加聚會，每兩人都互相贈送禮物，他發(fā)現共送禮物20件，若設有n人參加聚會，根據題意可列出方程為（　　） A． =20 B．n（n﹣1）=20 C． =20 D．n（n+1）=20 3．在直角坐標系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D為x軸上一點，若以D、O、C為頂點的三角形與△AOB相似，這樣的D點有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 4．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，D是AC邊上一點，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，則CD=（　?。? A．2 B． C． D． 5．如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是（　?。? A． B． C． D． 6．如圖，△ABC中，D為BC中點，E為AD的中點，BE的延長線交AC于F，則為（　?。? A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2 7．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E、F分別是BC、CD上的點，且△AEF是等邊三角形，則BE的長為（　?。? A． B． C． D． 8．已知，如圖所示的一張三角形紙片ABC，邊AB的長為20cm，AB邊上的高為25cm，在三角形紙片ABC中從下往上依次裁剪去寬為4cm的矩形紙條，若剪得的其中一張紙條是正方形，那么這張正方形紙條是（　?。? A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張 9．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（　?。? A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 10．如圖，CB=CA，∠ACB=90，點D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論： ①AC=FG；②S△FAB：S四邊形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC， 其中正確的結論的個數是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 　 二．填空題 11．某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬冊，第一季度共印182萬冊，設平均每月的增長率是x，則列方程為　?。? 12．從1、2、3、4中任取一個數作為十位上的數，再從2、3、4中任取一個數作為個位上的數，那么組成的兩位數是3的倍數的概率是　?。? 13．如圖，在△ABC中，點D為AC上一點，且，過點D作DE∥BC交AB于點E，連接CE，過點D作DF∥CE交AB于點F．若AB=15，則EF=　?。? 14．如圖，某小區(qū)有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為480m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為　　m． 15．正方形ABCD的邊長為1，正方形CEFG邊長為2，正方形EIMN邊長為4，以后的正方形邊長按此規(guī)律擴大，其中點B、C、E、I…在同一條直線上，連接BF交CG于點K，連接CM交EN于點H，記△BCK的面積為S1，△CEH的面積為S2，…，依此規(guī)律，Sn=　?。? 16．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H．給出下列結論： ①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH?PB；④． 其中正確的是　　．（寫出所有正確結論的序號） 　 三、解答題（共9小題，滿分72分） 17． 解方程 （1）2x2+1=3x（配方法） （2）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （3）用適當的方法解方程：x2﹣2x﹣3=0． 18．有一枚均勻的正四面體，四個面上分別標有數字：1，2，3，4，小紅隨機地拋擲一次，把著地一面的數字記為x；另有三張背面完全相同，正面上分別寫有數字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮將其混合后，正面朝下放置在桌面上，并從中隨機地抽取一張，把卡片正面上的數字記為y；然后他們計算出S=x+y的值． （1）用樹狀圖或列表法表示出S的所有可能情況； （2）分別求出當S=0和S＜2時的概率． 19．已知：?ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數根． （1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長； （2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？ 20．畢業(yè)在即，某商店抓住商機，準備購進一批紀念品，若商店花440元可以購進50本學生紀念品和10本教師紀念品，其中教師紀念品的成本比學生紀念品的成本多8元． （1）請問這兩種不同紀念品的成本分別是多少？ （2）如果商店購進1200個學生紀念品，第一周以每個10元的價格售出400個，第二周若按每個10元的價格仍可售出400個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元，可多售出100個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售一周后，商店對剩余學生紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批紀念品共獲利2500元，問第二周每個紀念品的銷售價格為多少元？ 21．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE?AD=16，． （1）求AC的長； （2）求EG的長． 22．某市為了打造森林城市，樹立城市新地標，實現綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園．小亮、小芳等同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量“望月閣”的高度，來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力．他們經過觀察發(fā)現，觀測點與“望月閣”底部間的距離不易測得，因此經過研究需要兩次測量，于是他們首先用平面鏡進行測量．方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標記，這個標記在直線BM上的對應位置為點C，鏡子不動，小亮看著鏡面上的標記，他來回走動，走到點D時，看到“望月閣”頂端點A在鏡面中的像與鏡面上的標記重合，這時，測得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在陽光下，他們用測影長的方法進行了第二次測量，方法如下：如圖，小亮從D點沿DM方向走了16米，到達“望月閣”影子的末端F點處，此時，測得小亮身高FG的影長FH=2.5米，FG=1.65米． 如圖，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計，請你根據題中提供的相關信息，求出“望月閣”的高AB的長度． 23．如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是DB延長線上一點，且△ACE是等邊三角形． （1）求證：四邊形ABCD是菱形； （2）若∠AEB=2∠EAB，求證：四邊形ABCD是正方形． 24．如圖，已知：在正方形ABCD中，點P在AC上，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F． （1）試判斷線段EF與PD的長是否相等，并說明理由． （2）若點O是AC的中點，判斷OF與OE之間有怎樣的位置和數量關系？并說明理由． 25．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點P由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題： （1）當t為何值時，PE∥AB； （2）設△PEQ的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式； （3）是否存在某一時刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由； （4）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由． 　  2016-2017學年四川省達州市開江縣永興中學九年級（上）月考數學試卷（10月份） 參考答案與試題解析 　 一.填空題 1．若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　　） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數根，結合一元二次方程的定義以及根的判別式即可得出關于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結論． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故選B． 【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，解題的關鍵是得出關于k的一元一次不等式組．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據方程根的個數結合一元二次方程的定義以及根的判別式得出不等式組是關鍵． 　 2．李明去參加聚會，每兩人都互相贈送禮物，他發(fā)現共送禮物20件，若設有n人參加聚會，根據題意可列出方程為（　　） A． =20 B．n（n﹣1）=20 C． =20 D．n（n+1）=20 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設有n人參加聚會，則每人送出（n﹣1）件禮物，根據共送禮物20件，列出方程． 【解答】解：設有n人參加聚會，則每人送出（n﹣1）件禮物， 由題意得，n（n﹣1）=20． 故選B． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出方程． 　 3．在直角坐標系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D為x軸上一點，若以D、O、C為頂點的三角形與△AOB相似，這樣的D點有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點】相似三角形的性質；坐標與圖形性質． 【分析】由相似三角形對應邊成比例且夾角相等的三角形相似，分別從若△OCD∽△OBA與若△OCD∽△OAB去分析即可求得答案． 【解答】解：如圖： 若△OCD∽△OBA， 則需=， ∴=， ∴OD=， ∴D與D′的坐標分別為（，0），（﹣，0）， 若△OCD∽△OAB， 則需=，即=， ∴OD=6， ∴D″與D′″的坐標分別為（6，0），（﹣6，0）． ∴若以D、O、C為頂點的三角形與△AOB相似，這樣的D點有4個． 故選C． 【點評】本題主要考查了相似三角形的性質，根據對應頂點的情況討論是解題關鍵． 　 4．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，D是AC邊上一點，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，則CD=（　　） A．2 B． C． D． 【考點】相似三角形的性質． 【分析】根據△ABC∽△BDC，利用相似三角形對應邊成比例解答即可． 【解答】解：∵∠C=90，AB=5，AC=4 ∴BC=3 ∵△ABC∽△BDC ∴ ∴ ∴CD=． 故選D． 【點評】此題考查了相似三角形的性質，相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等，還考查了勾股定理． 　 5．如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是（　?。? A． B． C． D． 【考點】菱形的性質；勾股定理． 【分析】根據菱形的性質得出BO、CO的長，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面積等于對角線乘積的一半，也等于BCAE，可得出AE的長度． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO， ∴BC==5cm， ∴S菱形ABCD==68=24cm2， ∵S菱形ABCD=BCAE， ∴BCAE=24， ∴AE=cm， 故選D． 【點評】此題考查了菱形的性質，也涉及了勾股定理，要求我們掌握菱形的面積的兩種表示方法，及菱形的對角線互相垂直且平分． 　 6．如圖，△ABC中，D為BC中點，E為AD的中點，BE的延長線交AC于F，則為（　　） A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】過D作BF的平行線，交AC邊于G，即：DG∥BF，又D為BC中點可得出：△CDG∽△CBF，即： ==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即： ==． 【解答】解：過D作BF的平行線，交AC邊于G，如下圖所示： ∵D為BC中點，DG∥BF ∴∠CGD=∠CFB 又∵∠C=∠C ∴△CDG∽△CBF ∴==，即：CG=CF=FG 又E為AD的中點，BE的延長線交AC于F，DG∥BF 同理可得：△AEF∽△ADG ∴==，即：AF=AG=FG ∴AF=FG=GC ∴===1：2 故選：D． 【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質，關鍵在于找出條件判斷兩個三角形相似，再運用相似三角形的性質求解． 　 7．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E、F分別是BC、CD上的點，且△AEF是等邊三角形，則BE的長為（　?。? A． B． C． D． 【考點】一元二次方程的應用；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；勾股定理；正方形的性質． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】由于四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形，所以首先根據已知條件可以證明△ABE≌△ADF，再根據全等三角形的性質得到BE=DF，設BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出關于x的方程，解方程即可求出BE． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D=90，AB=AD， ∵△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中 ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， 設BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x， 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2， 在Rt△CEF中，FE2=CF2+CE2， ∴AB2+BE2=CF2+CE2， ∴x2+1=2（1﹣x）2， ∴x2﹣4x+1=0， ∴x=2，而x＜1， ∴x=2﹣， 即BE的長為=2﹣． 故選A． 【點評】此題主要考查了正方形、等邊三角形的知識，把求線段長放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解決問題． 　 8．已知，如圖所示的一張三角形紙片ABC，邊AB的長為20cm，AB邊上的高為25cm，在三角形紙片ABC中從下往上依次裁剪去寬為4cm的矩形紙條，若剪得的其中一張紙條是正方形，那么這張正方形紙條是（　?。? A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張 【考點】相似三角形的應用． 【分析】根據相似三角形的相似比求得頂點到這個正方形的長，再根據矩形的寬求得是第幾張． 【解答】解：已知剪得的紙條中有一張是正方形，則正方形中平行于底邊的邊是3， 所以根據相似三角形的性質可設從頂點到這個正方形的線段為x， 則=， 解得x=5， 所以另一段長為25﹣5=20， 因為204=5，所以是第5張． 故選：B． 【點評】本題主要考查了相似三角形的性質及等腰三角形的性質的綜合運用；由相似三角形的性質得出比例式是解決問題的關鍵． 　 9．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（　?。? A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】根據相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根據相似三角形的性質定理得到=， ==，結合圖形得到=，得到答案． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25， ∴=， ∵DE∥AC， ∴==， ∴=， ∴S△BDE與S△CDE的比是1：4， 故選：B． 【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵． 　 10．如圖，CB=CA，∠ACB=90，點D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論： ①AC=FG；②S△FAB：S四邊形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC， 其中正確的結論的個數是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質． 【分析】由正方形的性質得出∠FAD=90，AD=AF=EF，證出∠CAD=∠AFG，由AAS證明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正確； 證明四邊形CBFG是矩形，得出S△FAB=FB?FG=S四邊形CBFG，②正確； 由等腰直角三角形的性質和矩形的性質得出∠ABC=∠ABF=45，③正確； 證出△ACD∽△FEQ，得出對應邊成比例，得出D?FE=AD2=FQ?AC，④正確． 【解答】解：∵四邊形ADEF為正方形， ∴∠FAD=90，AD=AF=EF， ∴∠CAD+∠FAG=90， ∵FG⊥CA， ∴∠C=90=∠ACB， ∴∠CAD=∠AFG， 在△FGA和△ACD中，， ∴△FGA≌△ACD（AAS）， ∴AC=FG，①正確； ∵BC=AC， ∴FG=BC， ∵∠ACB=90，FG⊥CA， ∴FG∥BC， ∴四邊形CBFG是矩形， ∴∠CBF=90，S△FAB=FB?FG=S四邊形CBFG，②正確； ∵CA=CB，∠C=∠CBF=90， ∴∠ABC=∠ABF=45，③正確； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90， ∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：AD=FE：FQ， ∴AD?FE=AD2=FQ?AC，④正確； 故選：D． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵． 　 二．填空題 11．某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬冊，第一季度共印182萬冊，設平均每月的增長率是x，則列方程為　50+50（1+x）+50（1+x）2=182　． 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】增長率問題． 【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1+增長率），如果設平均每月的增長率是x，根據“第一季度共印182萬冊”可得出方程． 【解答】解：設平均每月的增長率是x， 根據“第一季度共印182萬冊”可得出方程50+50（1+x）+50（1+x）2=182． 故填空答案：50+50（1+x）+50（1+x）2=182． 【點評】本題可按照增長率的一般規(guī)律進行解答，此題要注意是一個季度共印182萬冊． 　 12．從1、2、3、4中任取一個數作為十位上的數，再從2、3、4中任取一個數作為個位上的數，那么組成的兩位數是3的倍數的概率是　　． 【考點】概率公式． 【分析】分析可得：從1，2，3，4中任取一個數作為十位上的數，再從2，3，4中任取一個數作為個位上的數，共12種取法，其中4個兩位數是3的倍數，故其概率為． 【解答】解：P（兩位數是3的倍數）=412=． 故本題答案為：． 【點評】本題考查的是概率的求法．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=． 　 13．如圖，在△ABC中，點D為AC上一點，且，過點D作DE∥BC交AB于點E，連接CE，過點D作DF∥CE交AB于點F．若AB=15，則EF=　　． 【考點】平行線分線段成比例． 【專題】計算題；線段、角、相交線與平行線． 【分析】由DE與BC平行，由平行得比例求出AE的長，再由DF與CE平行，由平行得比例求出EF的長即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴=， ∵=， ∴=，即=， ∵AB=15， ∴AE=10， ∵DF∥CE， ∴=，即=， 解得：AF=， 則EF=AE﹣AF=10﹣=， 故答案為： 【點評】此題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例性質是解本題的關鍵． 　 14．如圖，某小區(qū)有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為480m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為　2　m． 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】設人行道的寬度為x米，根據矩形綠地的面積之和為480米2，列出一元二次方程． 【解答】解：設人行道的寬度為x米，根據題意得， （30﹣3x）（24﹣2x）=480， 解得x1=20（舍去），x2=2． 即：人行通道的寬度是2m． 故答案是：2． 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，利用兩塊相同的矩形綠地面積之和為480米2得出等式是解題關鍵． 　 15．正方形ABCD的邊長為1，正方形CEFG邊長為2，正方形EIMN邊長為4，以后的正方形邊長按此規(guī)律擴大，其中點B、C、E、I…在同一條直線上，連接BF交CG于點K，連接CM交EN于點H，記△BCK的面積為S1，△CEH的面積為S2，…，依此規(guī)律，Sn=　?。? 【考點】正方形的性質． 【專題】規(guī)律型． 【分析】首先證明△BCK∽△CEH，得=（）2，求出S1、S2、S3、…探究規(guī)律后即可解決問題． 【解答】解：如圖，∵CK∥EF， ∴=， ∴=， ∴CK=， 同理可得：EH=， ∴=， ∵∠BCK=∠CEH=90， ∴△BCK∽△CEH， ∴=（）2， ∵S1=?1?=， ∴S2=?4， S3=?（4）2， … Sn=?（4）n﹣1=． 故答案為． 【點評】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是利用相似三角形的性質，記住相似三角形的面積比定義相似比的平方，屬于中考常考題型． 　 16．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H．給出下列結論： ①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH?PB；④． 其中正確的是?、佗邸。▽懗鏊姓_結論的序號） 【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；正方形的性質． 【分析】①根據等邊三角形的性質和正方形的性質，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，證得△ABE≌△DCF，①正確； ②由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60，推出△DFP∽△BPH，得到===tan∠DCF=，②錯誤； ③由于∠PDH=∠PCD=30，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到=，PB=CD，等量代換得到DP2=PH?PB，③正確； ④設正方形ABCD的邊長是3，則PB=BC=AD=3，求得∠EBA=30，得出AE、BE、EP的長，由S△BED=SABD﹣SABE，S△EPD=S△BED，求得=，④錯誤；即可得出結論． 【解答】解：①∵△BPC是等邊三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90 ∴∠ABE=∠DCF=30， 在△ABE與△CDF中， ， ∴△ABE≌△DCF（ASA）， 故①正確； ②∵PC=CD，∠PCD=30， ∴∠PDC=75， ∴∠FDP=15， ∵∠DBA=45， ∴∠PBD=15， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠FCB=∠BPC=60， ∴△DFP∽△BPH， ∴===tan∠DCF=， 故②錯誤； ③∵∠FDP=15， ∴∠PDH=30 ∴∠PDH=∠PCD， ∵∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CDP， ∴=， ∴DP2=PH?CD， ∵PB=CD， ∴DP2=PH?PB， 故③正確； ④設正方形ABCD的邊長是3， ∵△BPC為正三角形， ∴∠PBC=60，PB=BC=AD=3， ∴∠EBA=30， ∴AE=ABtan30=3=， BE===2， ∴EP=BE﹣BP=2﹣3， S△BED=SABD﹣SABE=33﹣3=， S△EPD=S△BED==， ∴==， 故④錯誤； ∴正確的是①③； 故答案為：①③． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定、等邊三角形的性質、正方形的性質、三角形面積計算、三角函數等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質、三角形面積計算、三角函數是解決問題的關鍵． 　 三、解答題（共9小題，滿分72分） 17．解方程 （1）2x2+1=3x（配方法） （2）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （3）用適當的方法解方程：x2﹣2x﹣3=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）先移項化為：2x2﹣3x=﹣1，再兩邊除以2，將二次項系數化為1，同加進行配方； （2）化為一般式，計算△，代入求根公式即可； （3）利用十字相乘分解因式解方程． 【解答】解：（1）2x2+1=3x（配方法）， x2﹣x=﹣， x2﹣x+=﹣+， （x﹣）2=， x﹣=， x1=1，x2=； （2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）， 3x2+10x+5=0， △=102﹣435=100﹣60=40， x=， x=， x=， x1=，x2=； （3）用適當的方法解方程：x2﹣2x﹣3=0， （x﹣3）（x+1）=0， x﹣3=0，x+1=0， x1=3，x2=﹣1． 【點評】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．這些方法中配方法和公式法適合所有方程，但比較麻煩；用配方法解一元二次方程時要注意：①把原方程要化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②二次項系數需化為1，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；用公式法解一元二次方程時，必須將原方程化為一般式后，再代入求根公式：x=解方程． 　 18．有一枚均勻的正四面體，四個面上分別標有數字：1，2，3，4，小紅隨機地拋擲一次，把著地一面的數字記為x；另有三張背面完全相同，正面上分別寫有數字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮將其混合后，正面朝下放置在桌面上，并從中隨機地抽取一張，把卡片正面上的數字記為y；然后他們計算出S=x+y的值． （1）用樹狀圖或列表法表示出S的所有可能情況； （2）分別求出當S=0和S＜2時的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】列舉出符合題意的各種情況的個數，再根據概率公式解答即可． 【解答】解：（1）畫樹狀圖 （2）由圖（或表）可知，所有可能出現的結果有12種，其中S=0的有2種，S＜2的有5種，2分 ∴P（S=0）==，2分 P（S＜2）=． 2分 【點評】樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件．解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比． 　 19．已知：?ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數根． （1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長； （2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？ 【考點】一元二次方程的應用；平行四邊形的性質；菱形的性質． 【專題】應用題；壓軸題． 【分析】（1）讓根的判別式為0即可求得m，進而求得方程的根即為菱形的邊長； （2）求得m的值，進而代入原方程求得另一根，即易求得平行四邊形的周長． 【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0， 整理得：（m﹣1）2=0， 解得m=1， 當m=1時，原方程為x2﹣x+=0， 解得：x1=x2=0.5， 故當m=1時，四邊形ABCD是菱形，菱形的邊長是0.5； （2）把AB=2代入原方程得，m=2.5， 把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5， ∴C?ABCD=2（2+0.5）=5． 【點評】綜合考查了平行四邊形及菱形的有關性質；利用解一元二次方程得到兩種圖形的邊長是解決本題的關鍵． 　 20．畢業(yè)在即，某商店抓住商機，準備購進一批紀念品，若商店花440元可以購進50本學生紀念品和10本教師紀念品，其中教師紀念品的成本比學生紀念品的成本多8元． （1）請問這兩種不同紀念品的成本分別是多少？ （2）如果商店購進1200個學生紀念品，第一周以每個10元的價格售出400個，第二周若按每個10元的價格仍可售出400個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元，可多售出100個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售一周后，商店對剩余學生紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批紀念品共獲利2500元，問第二周每個紀念品的銷售價格為多少元？ 【考點】一元二次方程的應用；一元一次方程的應用． 【分析】（1）可設學生紀念品的成本為x元，根據題意列方程即可求解； （2）第二周銷售的銷量=400+降低的元數100；第二周每個旅游紀念品的銷售價格降x元，根據紀念品的進價和售價以及銷量分別表示出兩周的總利潤，進而得出等式求出即可． 【解答】解：（1）設學生紀念品的成本為x元，根據題意得： 50x+10（x+8）=440， 解得：x=6， ∴x+8=6+8=14． 答：學生紀念品的成本為6元，教師紀念品的成本為14元． （2）第二周單價降低x元后，這周銷售的銷量為400+100x，由題意得出： 400（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]=2500， 即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）=2500， 整理得：x2﹣2x+1=0， 解得：x1=x2=1， 則10﹣1=9元． 答：第二周每個紀念品的銷售價格為9元． 【點評】考查了一元一次方程的應用和一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解． 　 21．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE?AD=16，． （1）求AC的長； （2）求EG的長． 【考點】相似三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；三角形中位線定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90，所以△ACE和△ADC相似，根據相似三角形對應邊成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE?AD，代入數據計算即可； （2）根據勾股定理求出BC的長度為8，再根據AD平分∠CAB交BC于點D，CE⊥AD證明△ACE和△AFE全等，根據全等三角形對應邊相等，CE=EF，最后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半EG=BC． 【解答】解：（1）∵CE⊥AD， ∴∠AEC=90， ∵∠ACB=90， ∴∠AEC=∠ACB， 又∠CAE=∠CAE， ∴△ACE∽△ADC， ∴， 即AC2=AE?AD， ∵AE?AD=16， ∴AC2=16， ∴AC=4； （2）在△ABC中，BC===8， ∵AD平分∠CAB交BC于點D， ∴∠CAE=∠FAE， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC=∠AEF=90， 在△ACE和△AFE中， ， ∴△ACE≌△AFE（ASA）， ∴CE=EF， ∵EG∥BC， ∴EG=BC=8=4． 【點評】本題主要考查兩角對應相等，兩三角形相似，相似三角形對應邊成比例，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，熟練掌握性質并靈活運用是解題的關鍵，難度適中． 　 22．某市為了打造森林城市，樹立城市新地標，實現綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園．小亮、小芳等同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量“望月閣”的高度，來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力．他們經過觀察發(fā)現，觀測點與“望月閣”底部間的距離不易測得，因此經過研究需要兩次測量，于是他們首先用平面鏡進行測量．方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標記，這個標記在直線BM上的對應位置為點C，鏡子不動，小亮看著鏡面上的標記，他來回走動，走到點D時，看到“望月閣”頂端點A在鏡面中的像與鏡面上的標記重合，這時，測得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在陽光下，他們用測影長的方法進行了第二次測量，方法如下：如圖，小亮從D點沿DM方向走了16米，到達“望月閣”影子的末端F點處，此時，測得小亮身高FG的影長FH=2.5米，FG=1.65米． 如圖，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計，請你根據題中提供的相關信息，求出“望月閣”的高AB的長度． 【考點】相似三角形的應用． 【分析】根據鏡面反射原理結合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，進而利用相似三角形的性質得出AB的長． 【解答】解：由題意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90， ∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF， 故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH， 則=， =， 即=， =， 解得：AB=99， 答：“望月閣”的高AB的長度為99m． 【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質，正確利用已知得出相似三角形是解題關鍵． 　 23．如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是DB延長線上一點，且△ACE是等邊三角形． （1）求證：四邊形ABCD是菱形； （2）若∠AEB=2∠EAB，求證：四邊形ABCD是正方形． 【考點】正方形的判定；等邊三角形的性質；平行四邊形的性質；菱形的判定． 【分析】（1）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AO=CO．又由△ACE是等邊三角形，可得AE=CE．根據三線合一，對角線垂直，即可得四邊形既為菱形 （2）根據有一個角是90的菱形是正方形．由題意易得∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60﹣15=45，所以四邊形ABCD是菱形，∠BAD=2∠BAO=90，即四邊形ABCD是正方形． 【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AO=CO． ∵△ACE是等邊三角形， ∴AE=CE． ∴BE⊥AC． ∴四邊形ABCD是菱形． （2）從上易得：△AOE是直角三角形， ∴∠AEB+∠EAO=90 ∵△ACE是等邊三角形， ∴∠EAO=60， ∴∠AEB=30 ∵∠AEB=2∠EAB， ∴∠EAB=15， ∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60﹣15=45． 又∵四邊形ABCD是菱形． ∴∠BAD=2∠BAO=90 ∴四邊形ABCD是正方形． 【點評】此題主要考查菱形和正方形的判定．本題考查知識點較多，綜合性強，能力要求全面，難度中等．注意靈活運用正方形和菱形的判定方法． 　 24．如圖，已知：在正方形ABCD中，點P在AC上，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F． （1）試判斷線段EF與PD的長是否相等，并說明理由． （2）若點O是AC的中點，判斷OF與OE之間有怎樣的位置和數量關系？并說明理由． 【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質． 【分析】（1）連接BP，易證四邊形EPFB是矩形，由矩形的性質即可證明EF=PD； （2）OF與OE垂直且相等，連接BO，證明△EBO與△FCO全等即可． 【解答】解：（1）EF=PD，理由如下： 連接BP， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90，AD=AB，∠DAP=∠BAP=45， 在△BAP和△DAP中， ， ∴PD=PB， ∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F， ∴∠PEB=∠PFB=90， ∴四邊形EPFB是矩形， ∴EF=PB， ∴EF=PD； （2）OF與OE垂直且相等，理由如下： 連接BO， ∵點O是AC的中點， ∴∠EBO=∠FCO=45， ∵BF=EP，AE=EP， ∴AE=BF， ∴BE=CF， 在△EBO和△FCO中 ， ∴△EBO≌△FCO， ∴OE=OF，∠EOB=∠COF， ∵OB⊥AC， ∴∠BOC=90， ∴∠COF+∠BOF=90， ∴∠EOB+∠BOF=90， 即OE⊥OF． 【點評】本題主要考查了矩形的性質和判定，正方形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，解此題的關鍵是證明∠EOB=∠COF，題目較好但有一定的難度． 　 25． 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點P由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題： （1）當t為何值時，PE∥AB； （2）設△PEQ的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式； （3）是否存在某一時刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由； （4）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由． 【考點】平行線的判定；根據實際問題列二次函數關系式；三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定與性質． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）若要PE∥AB，則應有，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值； （2）過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N．由題意知，四邊形CDEF是平行四邊形，可證得△DEQ∽△BCD，得到，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到，求得PN的值，利用S△PEQ=EQ?PN得到y(tǒng)與t之間的函數關系式； （3）利用S△PEQ=S△BCD建立方程，求得t的值； （4）易得△PDE≌△FBP，故有S五邊形PFCDE=S△PDE+S四邊形PFCD=S△FBP+S四邊形PFCD=S△BCD，即五邊形的面積不變． 【解答】解：（1）當PE∥AB時， ∴． 而DE=t，DP=10﹣t， ∴， ∴， ∴當（s），PE∥AB． （2）∵線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動， ∴EF平行且等于CD， ∴四邊形CDEF是平行四邊形． ∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC． ∵BC=BD=10， ∴△DEQ∽△BCD． ∴． ． ∴． 過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N， ∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm， ∴CM=CD=2cm， ∴cm， ∵EF∥CD， ∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD， 又∵BD=BC， ∴∠BDC=∠BCD， ∴∠BQF=∠BFG， ∵ED∥BC， ∴∠DEQ=∠QFB， 又∵∠EQD=∠BQF， ∴∠DEQ=∠DQE， ∴DE=DQ， ∴ED=DQ=BP=t， ∴PQ=10﹣2t． 又∵△PNQ∽△BMD， ∴． ∴． ∴． ∴S△PEQ=EQ?PN=． （3）S△BCD=CD?BM=44=8， 若S△PEQ=S△BCD， 則有﹣t2+t=8， 解得t1=1，t2=4． （4）在△PDE和△FBP中， ∵DE=BP=t，PD=BF=10﹣t，∠PDE=∠FBP， ∴△PDE≌△FBP（SAS）． ∴S五邊形PFCDE=S△PDE+S四邊形PFCD=S△FBP+S四邊形PFCD=S△BCD=8． ∴在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變． 【點評】本題利用了平行線的性質，相似三角形和全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積公式求解．綜合性較強，難度較大．