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2015-2016學(xué)年北京十三中分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．） 1．拋物線y=（x﹣1）2+2的對稱軸是（　　） A．直線x=﹣1 B．直線x=1 C．直線x=﹣2 D．直線x=2 2．若將拋物線y=2x2先向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到一個新的拋物線，則新拋物線的頂點坐標是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=1：3，若△ADE的面積等于4，則△ABC的面積等于（　?。? A．12 B．16 C．24 D．36 4．如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，tanα的值等于（　?。? A． B． C． D． 5．如圖，在平面直角坐標系中，以P（4，6）為位似中心，把△ABC縮小得到△DEF，若變換后，點A、B的對應(yīng)點分別為點D、E，則點C的對應(yīng)點F的坐標應(yīng)為（　?。? A．（4，2） B．（4，4） C．（4，5） D．（5，4） 6．為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖所示圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)，根據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是（　?。? A．BC，∠ACB B．DE，DC，BC C．EF，DE，BD D．CD，∠ACB，∠ADB 7．將拋物線y=2x2+1繞原點O旋轉(zhuǎn)180，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（　?。? A．y=﹣2x2 B．y=﹣2x2+1 C．y=2x2﹣1 D．y=﹣2x2﹣1 8．圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關(guān)系式是（　　） A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2 9．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應(yīng)值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 當函數(shù)值y＜0時，x的取值范圍是（　?。? A．﹣2＜x＜0 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜3 D．0＜x＜2 10．如圖，正△ABC的邊長為3cm，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向運動，到達點C時停止，設(shè)運動時間為x（秒），y=PC2，則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（　　） A． B． C． D． 　 二、填空題（每小題3分，共18分） 11．已知△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1=2：3，則S△ABC與S△A1B1C1之比為　?。? 12．在Rt△ABC中，∠C=90，BC：AC=3：4，則cosA=　　． 13．點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣1的圖象上，若當1＜x1＜2，3＜x2＜4時，則y1與y2的大小關(guān)系是y1　　y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 14．二次函數(shù)y=m2x2+（2m+1）x+1的圖象與x軸有兩個交點，則m取值范圍是　　． 15．在研究了平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容后，老師提出這樣一個問題：“四邊形ABCD 中，AD∥BC，請?zhí)砑右粋€條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形”．經(jīng)過思考，小明說“添加AD=BC”，小紅說“添加AB=DC”．你同意　　的觀點，理由是　?。? 16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x圖象位于x軸上方的部分記作F1，與x軸交于點P1和O；F2與F1關(guān)于點O對稱，與x軸另一個交點為P2；F3與F2關(guān)于點P2對稱，與x軸另一個交點為P3；…．這樣依次得到F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，F(xiàn)n，則其中F1的頂點坐標為　　，F(xiàn)8的頂點坐標為　　，F(xiàn)n的頂點坐標為　?。╪為正整數(shù)，用含n的代數(shù)式表示）． 　 三、解答題（本題共72分，第17-21題，每小題6分，第22-25題，每小題6分，第26題7分，第27題7分，第28題8分） 17．計算：3tan30+2cos45﹣sin60﹣2sin30． 18．已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三點， （1）求：二次函數(shù)的表達式； （2）求：二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標，并畫出此二次函數(shù)的圖象． 19．如圖，?ABCD中，點E在BA的延長線上，連接CE，與AD相交于點F． （1）求證：△EBC∽△CDF； （2）若BC=8，CD=3，AE=1，求AF的長． 20．已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD的長和tanB的值． 21．如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20米，如果水位上升3米，則水面CD的寬是10米． （1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式； （2）當水位在正常水位時，有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里，船艙上有高出水面3.6米的長方體貨物（貨物與貨船同寬）．問：此船能否順利通過這座拱橋？ 22．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45方向，距離燈塔100海里的A處，它計劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30方向上的B處． （1）B處距離燈塔P有多遠？ （2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長線上，距離燈塔200海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險．請判斷若海輪到達B處是否有觸礁的危險，并說明理由． 23．如圖，在四邊形ABCD中，∠C=60，∠B=∠D=90，AD=2AB，CD=3，求BC的長． 24．在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）經(jīng)過變換τ得到點P′（x′，y′），該變換記作τ（x，y）=（x′，y′），其中（a，b為常數(shù)）．例如，當a=1，且b=1時，τ（﹣2，3）=（1，﹣5）． （1）當a=1，且b=﹣2時，τ（0，1）=　?。? （2）若τ（1，2）=（0，﹣2），則a=　　，b=　??； （3）設(shè)點P（x，y）是直線y=2x上的任意一點，點P經(jīng)過變換τ得到點P′（x′，y′）．若點P與點P′重合，求a和b的值． 25．動手操作：小明利用等距平行線解決了二等分線段的問題． 作法： （1）在e上任取一點C，以點C為圓心，AB長為半徑畫弧交c于點D，交d于點E； （2）以點A為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點M；∴點M為線段AB的二等分點． 解決下列問題：（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡） （1）仿照小明的作法，在圖2中作出線段AB的三等分點； （2）點P是∠AOB內(nèi)部一點，過點P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，請找出一個滿足下列條件的點P．（可以利用圖1中的等距平行線） ①在圖3中作出點P，使得PM=PN； ②在圖4中作出點P，使得PM=2PN． 26．小東同學(xué)在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)圖象以后，自己提出了這樣一個問題： 探究：函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了如下探究：下面是小東的探究過程，請補充完成： （1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是　??； （2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … y … m … 則m的值是　??； （3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象； （4）小東進一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點的坐標是，結(jié)合函數(shù)的圖象， 寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：　?。? 27．如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90，AB=AC=2，點E是BC邊上一點，∠DEF=45且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q． （1）如圖2，若點E為BC中點，將∠DEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q．設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； （2）如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點A，EF與邊AC交于Q點．探究：在∠DEF運動過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由． 28．已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側(cè)），根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”． （1）①如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長； ②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是　?。? （2）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值； （3）若拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值． 　  2015-2016學(xué)年北京十三中分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．） 1．拋物線y=（x﹣1）2+2的對稱軸是（　?。? A．直線x=﹣1 B．直線x=1 C．直線x=﹣2 D．直線x=2 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】由拋物線的頂點式y(tǒng)=（x﹣h）2+k直接看出對稱軸是x=h． 【解答】解：∵拋物線的頂點式為y=（x﹣1）2+2， ∴對稱軸是x=1． 故選B． 【點評】要求熟練掌握拋物線解析式的各種形式的運用． 　 2．若將拋物線y=2x2先向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到一個新的拋物線，則新拋物線的頂點坐標是（　?。? A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】先確定出原拋物線的頂點坐標，再根據(jù)向左平移橫坐標減，向下平移，縱坐標減解答即可． 【解答】解：拋物線y=2x2的頂點坐標為（0，0）， ∵向左平移2個單位，向下平移1個單位， ∴新拋物線的頂點坐標是（﹣2，﹣1）． 故選：B． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用點的平移規(guī)律左減右加，上加下減解答是解題的關(guān)鍵． 　 3．（2015秋?北京校級期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=1：3，若△ADE的面積等于4，則△ABC的面積等于（　?。? A．12 B．16 C．24 D．36 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由條件證明△ADE∽△ABC，且相似比為，再利用相似三角形的性質(zhì)可求得△ABC的面積． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=（）2=（）2=， ∵S△ADE=2， ∴=， 解得S△ABC=36． 故選D． 【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，tanα的值等于（　　） A． B． C． D． 【考點】銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵AD⊥BC，AD=3，BD=2， ∴tanα==． 故選C． 【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，在平面直角坐標系中，以P（4，6）為位似中心，把△ABC縮小得到△DEF，若變換后，點A、B的對應(yīng)點分別為點D、E，則點C的對應(yīng)點F的坐標應(yīng)為（　?。? A．（4，2） B．（4，4） C．（4，5） D．（5，4） 【考點】位似變換． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】根據(jù)兩個圖形必須是相似形；②對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點，即可得出F點的坐標． 【解答】解：∵△DEF∽△ABC，且F點在CP的連線上， ∴可得F點位置如圖所示： 故P點坐標為（4，4）． 故選B． 【點評】本題考查位似的定義，難度不大，注意掌握兩位似圖形的對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點，這一點即是位似中心． 　 6．為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖所示圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)，根據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是（　　） A．BC，∠ACB B．DE，DC，BC C．EF，DE，BD D．CD，∠ACB，∠ADB 【考點】相似三角形的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)即可解答． 【解答】解：此題比較綜合，要多方面考慮， A、因為知道∠ACB和BC的長，所以可利用∠ACB的正切來求AB的長； B、無法求出A，B間距離． C、因為△ABD∽△EFD，可利用，求出AB； D、可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB； 據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是選項B； 故選：B． 【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵． 　 7．將拋物線y=2x2+1繞原點O旋轉(zhuǎn)180，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（　　） A．y=﹣2x2 B．y=﹣2x2+1 C．y=2x2﹣1 D．y=﹣2x2﹣1 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩點的橫坐標縱坐標都互為相反數(shù)求解則可． 【解答】解：根據(jù)題意，可得﹣y=2（﹣x）2+1，得到y(tǒng)=﹣2x2﹣1． 故旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是y=﹣2x2﹣1． 故選D． 【點評】此題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式． 　 8．圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關(guān)系式是（　?。? A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2 【考點】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式． 【專題】壓軸題． 【分析】由圖中可以看出，所求拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，可設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，利用待定系數(shù)法求解． 【解答】解：設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，a≠0； 那么（2，﹣2）應(yīng)在此函數(shù)解析式上． 則﹣2=4a 即得a=﹣， 那么y=﹣x2． 故選：C． 【點評】根據(jù)題意得到函數(shù)解析式的表示方法是解決本題的關(guān)鍵，關(guān)鍵在于找到在此函數(shù)解析式上的點． 　 9．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應(yīng)值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 當函數(shù)值y＜0時，x的取值范圍是（　?。? A．﹣2＜x＜0 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜3 D．0＜x＜2 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)圖表可以得出二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣4），圖象與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（3，0），且圖象開口向上，結(jié)合圖象可以得出函數(shù)值y＜0時，x的取值范圍． 【解答】解：根據(jù)圖表可以得出二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣4），圖象與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（3，0），如右圖所示： ∴當函數(shù)值y＜0時，x的取值范圍是：﹣1＜x＜3． 故選C． 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用圖表得出二次函數(shù)的圖象即可得出函數(shù)值的取值范圍．數(shù)形結(jié)合是這部分考查重點，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握． 　 10．如圖，正△ABC的邊長為3cm，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向運動，到達點C時停止，設(shè)運動時間為x（秒），y=PC2，則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（　?。? A． B． C． D． 【考點】動點問題的函數(shù)圖象． 【專題】壓軸題． 【分析】需要分類討論：①當0≤x≤3，即點P在線段AB上時，根據(jù)余弦定理知cosA=，所以將相關(guān)線段的長度代入該等式，即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定該函數(shù)的圖象．②當3＜x≤6，即點P在線段BC上時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），根據(jù)該函數(shù)關(guān)系式可以確定該函數(shù)的圖象． 【解答】解：∵正△ABC的邊長為3cm， ∴∠A=∠B=∠C=60，AC=3cm． ①當0≤x≤3時，即點P在線段AB上時，AP=xcm（0≤x≤3）； 根據(jù)余弦定理知cosA=， 即=， 解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）； 該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線； 解法二：過C作CD⊥AB，則AD=1.5cm，CD=cm， 點P在AB上時，AP=x cm，PD=|1.5﹣x|cm， ∴y=PC2=（）2+（1.5﹣x）2=x2﹣3x+9（0≤x≤3） 該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線； ②當3＜x≤6時，即點P在線段BC上時，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）； 則y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6）， ∴該函數(shù)的圖象是在3＜x≤6上的拋物線； 故選：C． 【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象．解答該題時，需要對點P的位置進行分類討論，以防錯選． 　 二、填空題（每小題3分，共18分） 11．已知△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1=2：3，則S△ABC與S△A1B1C1之比為　4：9　． 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1=2：3， ∴． 【點評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解： （1）相似三角形周長的比等于相似比； （2）相似三角形面積的比等于相似比的平方； （3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比． 　 12．（2007?眉山）在Rt△ABC中，∠C=90，BC：AC=3：4，則cosA=　?。? 【考點】銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)BC：AC=3：4，設(shè)BC：AC的長，再根據(jù)勾股定理及直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義求解． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90，BC：AC=3：4， ∴設(shè)BC=3x，則AC=4x， ∴AB=5x， ∴cosA===． 【點評】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單． 　 13．點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣1的圖象上，若當1＜x1＜2，3＜x2＜4時，則y1與y2的大小關(guān)系是y1?。肌2．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出拋物線的開口方向及對稱軸，根據(jù)圖象上的點的橫坐標距離對稱軸的遠近來判斷縱坐標的大?。? 【解答】解：由二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣1=（x﹣2）2﹣5可知，其圖象開口向上，且對稱軸為x=2， ∵1＜x1＜2，3＜x2＜4， ∴A點橫坐標離對稱軸的距離小于B點橫坐標離對稱軸的距離， ∴y1＜y2． 故答案為：＜． 【點評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能求出對稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關(guān)鍵． 　 14．二次函數(shù)y=m2x2+（2m+1）x+1的圖象與x軸有兩個交點，則m取值范圍是　m＞﹣且m≠0?。? 【考點】拋物線與x軸的交點． 【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)． 【分析】題目考查二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，當圖象與x軸有兩個交點時，△＞0，當圖象與x軸有一個交點時，△=0，當圖象與x軸沒有交點時，△＜0，同時不要遺漏二次函數(shù)二次項系數(shù)不為零． 【解答】解：∵二次函數(shù)y=m2x2+（2m+1）x+1的圖象與x軸有兩個交點， ∴△＞0 即b2﹣4ac＞0 代入得：（2m+1）2﹣4m21＞0 解得：m＞﹣ ∵二次函數(shù)二次項系數(shù)大于零， ∴m2＞0 ∴m≠0 綜上所述： 【點評】題目考查二次函數(shù)定義及二次函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)與△的關(guān)系，在計算△＞0取值范圍后，不要忘記二次函數(shù)不為零的前提．題目較簡單． 　 15．在研究了平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容后，老師提出這樣一個問題：“四邊形ABCD 中，AD∥BC，請?zhí)砑右粋€條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形”．經(jīng)過思考，小明說“添加AD=BC”，小紅說“添加AB=DC”．你同意　小明　的觀點，理由是　一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形　． 【考點】平行四邊形的判定． 【分析】根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得小明正確． 【解答】解：四邊形ABCD 中，AD∥BC，請?zhí)砑右粋€條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形，應(yīng)添加AD=BC， 根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，因此小明說的對； 小紅添加的條件，也可能是等腰梯形，因此小紅錯誤， 故答案為：小明；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形． 【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理． 　 16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x圖象位于x軸上方的部分記作F1，與x軸交于點P1和O；F2與F1關(guān)于點O對稱，與x軸另一個交點為P2；F3與F2關(guān)于點P2對稱，與x軸另一個交點為P3；…．這樣依次得到F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，F(xiàn)n，則其中F1的頂點坐標為?。ī?，1）　，F(xiàn)8的頂點坐標為　（13，﹣1）　，F(xiàn)n的頂點坐標為　[2n﹣3，（﹣1）n+1]?。╪為正整數(shù)，用含n的代數(shù)式表示）． 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】根據(jù)拋物線的解析式來求F1的頂點坐標；根據(jù)該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和﹣1即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1， ∴F1的頂點坐標為 （﹣1，1）． 又y=﹣x2﹣2x=﹣x（x+2）， ∴P1（﹣2，0）， ∴根據(jù)函數(shù)的對稱性得到：F2的頂點坐標為（1，﹣1），P2（2，0）， F3的頂點坐標為（3，1），P3（4，0）， … F8的頂點坐標為（13，﹣1）， Fn的頂點坐標為[2n﹣3，（﹣1）n+1]． 故答案是：（﹣1，1）；（13，﹣1）；[2n﹣3，（﹣1）n+1]． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．解題的關(guān)鍵是找到Fn的頂點坐標變換規(guī)律． 　 三、解答題（本題共72分，第17-21題，每小題6分，第22-25題，每小題6分，第26題7分，第27題7分，第28題8分） 17．計算：3tan30+2cos45﹣sin60﹣2sin30． 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解． 【解答】解：原式=3+2﹣﹣2 =+﹣1． 【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值． 　 18．（2015秋?北京校級期中）已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三點， （1）求：二次函數(shù)的表達式； （2）求：二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標，并畫出此二次函數(shù)的圖象． 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】（1）設(shè)交點式二次函數(shù)解析式為：y=a（x﹣1）（x+3），然后把（0，﹣3）代入求出a即可； （2）把（1）中解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標，然后利用描點法畫函數(shù)圖象． 【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣3，0）、（1，0）兩點 ∴設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x﹣1）（x+3） 又∵圖象經(jīng)過（0，﹣3）點， ∴﹣3=a（0﹣1）（0+3）解得a=1 ∴二次函數(shù)解析式為：y=x2+2x﹣3； （2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=﹣1；頂點坐標為：（﹣1，﹣4）； 如圖， 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的圖象． 　 19．如圖，?ABCD中，點E在BA的延長線上，連接CE，與AD相交于點F． （1）求證：△EBC∽△CDF； （2）若BC=8，CD=3，AE=1，求AF的長． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)：對角相等和對邊平行可得∠B=∠D和∠FCD=∠E，有兩對角相等的三角形相似可判定△EBC∽△CDF； （2）有（1）可知：△EBC∽△CDF，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出AF的長． 【解答】（1）證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠B=∠D，AB∥CD， ∴∠FCD=∠E， ∴△EBC∽△CDF； （2）解：∵△EAF∽△EBC， ∴， 即． 解得：AF=2． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)性題目． 　 20．已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD的長和tanB的值． 【考點】解直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】由sinA=，CD=12，根據(jù)三角函數(shù)可得AC=15，根據(jù)勾股定理可得AD=9，則BD=4，再根據(jù)正切的定義求出tanB的值． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90…（1分） ∵sinA= ∴AC=15．…（2分） ∴AD=9．… ∴BD=4．…（4分） ∴tanB=… 【點評】考查了解直角三角形和銳角三角函數(shù)的定義，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系． 　 21．如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20米，如果水位上升3米，則水面CD的寬是10米． （1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式； （2）當水位在正常水位時，有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里，船艙上有高出水面3.6米的長方體貨物（貨物與貨船同寬）．問：此船能否順利通過這座拱橋？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】（1）以拱橋最頂端為原點，建立直角坐標系，根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)寫出函數(shù)解析式． （2）計算出本問可用兩種方法求得，求x=3米時求出水面求出此時y的值，A、B點的橫坐標減去y此時的值到正常水面AB的距離與3.6相比較即可得出答案． 【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2， 因為拋物線關(guān)于y軸對稱，AB=20，所以點B的橫坐標為10， 設(shè)點B（10，n），點D（5，n+3）， n=102?a=100a，n+3=52a=25a， 即， 解得， ∴； （2）∵貨輪經(jīng)過拱橋時的橫坐標為x=3， ∴當x=3時， ∵﹣（﹣4）＞3.6 ∴在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋． 答：在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋． 【點評】此題考查了坐標系的建立，以及拋物線的性質(zhì)與求值． 　 22．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45方向，距離燈塔100海里的A處，它計劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30方向上的B處． （1）B處距離燈塔P有多遠？ （2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長線上，距離燈塔200海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險．請判斷若海輪到達B處是否有觸礁的危險，并說明理由． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題． 【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA=90﹣45=45，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PC的長，即可得出答案； （2）首先求出OB的長，進而得出OB＞50，即可得出答案． 【解答】解：（1）作PC⊥AB于C．（如圖） 在Rt△PAC中，∠PCA=90，∠CPA=90﹣45=45． ∴． 在Rt△PCB中，∠PCB=90，∠PBC=30． ∴． 答：B處距離燈塔P有海里． （2）海輪到達B處沒有觸礁的危險． 理由如下： ∵， 而， ∴． ∴OB＞50． ∴B處在圓形暗礁區(qū)域外，沒有觸礁的危險． 【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出線段PC的長是解題關(guān)鍵． 　 23．如圖，在四邊形ABCD中，∠C=60，∠B=∠D=90，AD=2AB，CD=3，求BC的長． 【考點】解直角三角形． 【分析】延長DA、CB交于點E，解直角三角形求出DE、EC，求出∠E=30，解直角三角形求出EB，即可求出答案． 【解答】解：延長DA、CB交于點E， ∵在Rt△CDE中，tanC==， cosC==， ∴DE=3，EC=6， ∵AD=2AB 設(shè)AB=k，則AD=2k， ∵∠C=60，∠B=∠D=90， ∴∠E=30， ∵在Rt△ABE中，sinE==tanE==， ∴AE=2AB=2k，EB=AB=k， ∴DE=4k=3， 解得：k=， ∴EB=， ∴BC=6﹣=． 【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生進行計算的能力，是一道比較好的題目，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形． 　 24．在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）經(jīng)過變換τ得到點P′（x′，y′），該變換記作τ（x，y）=（x′，y′），其中（a，b為常數(shù)）．例如，當a=1，且b=1時，τ（﹣2，3）=（1，﹣5）． （1）當a=1，且b=﹣2時，τ（0，1）=?。ī?，2）??； （2）若τ（1，2）=（0，﹣2），則a=　﹣1　，b=　?。? （3）設(shè)點P（x，y）是直線y=2x上的任意一點，點P經(jīng)過變換τ得到點P′（x′，y′）．若點P與點P′重合，求a和b的值． 【考點】一次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）將a=1，b=﹣2，τ（0，1），代入，可求x′，y′的值，從而求解； （2）將τ（1，2）=（0，﹣2），代入，可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解； （3）由點P（x，y）經(jīng)過變換τ得到的對應(yīng)點P（x，y）與點P重合，可得τ（x，y）=（x，y）．根據(jù)點P（x，y）在直線y=2x上，可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解． 【解答】解：（1）當a=1，且b=﹣2時，x′=10+（﹣2）1=﹣2，y′=10﹣（﹣2）1=2， 則τ（0，1）=（﹣2，2）； （2）∵τ（1，2）=（0，﹣2）， ∴， 解得a=﹣1，b=； （3）∵點P（x，y）經(jīng)過變換τ得到的對應(yīng)點P（x，y）與點P重合， ∴τ（x，y）=（x，y）． ∵點P（x，y）在直線y=2x上， ∴τ（x，2x）=（x，2x）． ∴， 即 ∵x為任意的實數(shù)， ∴， 解得． ∴，． 故答案為：（﹣2，2）；﹣1，． 【點評】考查了一次函數(shù)綜合題，關(guān)鍵是對題意的理解能力，具有較強的代數(shù)變換能力，要求學(xué)生熟練掌握解二元一次方程組． 　 25．（2015秋?北京校級期中）動手操作：小明利用等距平行線解決了二等分線段的問題． 作法： （1）在e上任取一點C，以點C為圓心，AB長為半徑畫弧交c于點D，交d于點E； （2）以點A為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點M；∴點M為線段AB的二等分點． 解決下列問題：（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡） （1）仿照小明的作法，在圖2中作出線段AB的三等分點； （2）點P是∠AOB內(nèi)部一點，過點P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，請找出一個滿足下列條件的點P．（可以利用圖1中的等距平行線） ①在圖3中作出點P，使得PM=PN； ②在圖4中作出點P，使得PM=2PN． 【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖． 【分析】（1）作法：①在e上任取一點C，以點C為圓心，AB長為半徑畫弧交b于點D，交d于點E，交c于點F；②以點A為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點P1，再以點B為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點P2；則點P1、P2為線段AB的三等分點； （2）①以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；在d上任取一點C，以點C為圓心，MN長為半徑畫弧交b于點D，交c于點E；以點M為圓心，CE長為半徑畫弧交MN于點P；則P點為所求； ②以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；在d上任取一點C，以點C為圓心，MN長為半徑畫弧交a于點D，交c于點E，交b于點F；②以點M為圓心，CF長為半徑畫弧交MN于點P；則P點為所求． 【解答】解：（1）如下圖所示，點P1、P2為線段AB的三等分點； （2）①如下圖所示，點P即為所求； ②如下圖所示，點P即為所求． 【點評】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，理解等距平行線的含義及平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵． 　 26．小東同學(xué)在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)圖象以后，自己提出了這樣一個問題： 探究：函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了如下探究：下面是小東的探究過程，請補充完成： （1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是　x≠1　； （2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … y … m … 則m的值是　??； （3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象； （4）小東進一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點的坐標是，結(jié)合函數(shù)的圖象， 寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：　當x＜1時，y隨x的增大而減小?。? 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）分式的分母不等于零； （2）根據(jù)圖表可知當x=4時的函數(shù)值為m，把x=4代入解析式即可求得； （3）根據(jù)坐標系中的點，用平滑的直線連接即可； （4）觀察圖象即可得出該函數(shù)的其他性質(zhì)． 【解答】解：（1）由知，x﹣1≠0，即x≠1，所以變量x的取值范圍是x≠1． 故答案是：x≠1； （2）把x=4代入得到：m==， 即m的值是． 故答案是：； （3）如圖： ； （4）該函數(shù)的其他性質(zhì)：當x＜1時，y隨x的增大而減?。? 當1＜x＜2時，y隨x的增大而減小等． 故答案是：當x＜1時，y隨x的增大而減小． 【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖表畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵． 　 27．如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90，AB=AC=2，點E是BC邊上一點，∠DEF=45且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q． （1）如圖2，若點E為BC中點，將∠DEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q．設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； （2）如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點A，EF與邊AC交于Q點．探究：在∠DEF運動過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由． 【考點】相似形綜合題． 【分析】（1）根據(jù)條件由勾股定理可以求出BC的值，再求出∠DEB=∠EQC，就可以得出△BPE∽△CEQ，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論； （2））由∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C可以得出∠AQE＞∠AEF．從而有AE≠AQ，再分類討論，當AE=EQ時和AQ=EQ時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)就可以求出BE的值． 【解答】解：（1）∵∠BAC=90，AB=AC=2， ∴∠B=∠C，． 又∵∠FEB=∠FED+∠DEB=∠EQC+∠C，∠DEF=∠C， ∴∠DEB=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴． 設(shè)BP為x，CQ為y， ∴． ∴，自變量x的取值范圍是0＜x＜1； （2）∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C， ∴∠AQE＞∠AEF． ∴AE≠AQ． 當AE=EQ時， ∴∠EAQ=∠EQA， ∵∠AEQ=45， ∴∠EAQ=∠EQA=67.5， ∵∠BAC=90，∠C=45， ∴∠BAE=∠QEC=22.5． ∵在△ABE和△ECQ中， ， ∴△ABE≌ECQ（AAS）． ∴CE=AB=2． ∴BE=BC﹣EC=； 當AQ=EQ時，可知∠QAE=∠QEA=45， ∴AE⊥BC． ∴點E是BC的中點． ∴BE=． 綜上，在∠DEF運動過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時BE的長為或． 【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時合理利用相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵． 　 28．已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側(cè)），根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”． （1）①如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長； ②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是　相等??； （2）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值； （3）若拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）①①過點B作BN⊥x軸于N，根據(jù)△AMB為等腰直角三角形，AB∥x軸，所以∠BMN=∠ABM=45，所以∠BMN=∠MBN，得到MN=BN，設(shè)B點坐標為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，解得n=1，n=0（舍去），所以B（1，1），求出BM的長度，利用勾股定理，即可解答； ②因為拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同，所以拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等； （2）根據(jù)拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，所以拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，所以拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，所以拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，從而確定B點坐標為（2，2）或（2，﹣2），把點B代入y=ax2中，得到． （3））根據(jù)y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，得到，化簡得mn﹣4m﹣1=0，拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，所以拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，所以B點坐標為，代入拋物線y=mx2，得，mn=﹣2或n=0（不合題意舍去），所以，所以． 【解答】解：（1）①過點B作BN⊥x軸于N，如圖2， ∵△AMB為等腰直角三角形， ∴∠ABM=45， ∵AB∥x軸， ∴∠BMN=∠ABM=45， ∴∠MBN=90﹣45=45， ∴∠BMN=∠MBN， ∴MN=BN， 設(shè)B點坐標為（n，n），代入拋物線y=x2， 得n=n2， ∴n=1，n=0（舍去）， ∴B（1，1） ∴MN=BN=1， ∴MB==， ∴MA=MB=， 在Rt△AMB中，AB==2， ∴拋物線y=x2的“完美三角形”的斜邊AB=2． ②∵拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同， ∴拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等； 故答案為：相等． （2）∵拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同， ∴拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等， ∵拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4， ∴拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4， ∴B點坐標為（2，2）或（2，﹣2）， 把點B代入y=ax2中， ∴． （3）∵y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1， ∴， ∴mn﹣4m﹣1=0， ∵拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n， ∴拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n， ∴B點坐標為， ∴代入拋物線y=mx2，得， ∴mn=﹣2或n=0（不合題意舍去）， ∴， ∴． 【點評】本題考查了二次函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是理解“完美三角形”的定義，利用勾股定理，求出點B的坐標．