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2015-2016學年湖北省襄陽三十九中九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題 1．將一元一次方程3x2﹣1=6x化成一般形式后，二次項系數和一次項系數分別為（　?。? A．3，﹣6 B．3，6 C．3，﹣1 D．3x2，﹣6x 2．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0時，配方后得的方程為（　?。? A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2 3．下列電視臺的臺標，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 4．如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A=50，則∠BOC的度數為（　?。? A．40 B．50 C．80 D．100 5．如圖，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到△A′B′C′，且點B剛好落在A′B′上，若∠A=25，∠BCA′=45，則∠A′BA等于（　?。? A．30 B．35 C．40 D．45 6．把拋物線先向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線的解析式為（　?。? A． B． C． D． 7．要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設比賽組織者應邀請x個隊參賽，則x滿足的關系式為（　?。? A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28 8．二次函數y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 則該函數圖象的頂點坐標為（　?。? A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6） 9．如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長為（　?。? A．7 B． C． D．9 10．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（﹣1，0）．下列結論：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當x＞﹣1時，y＞0，其中正確結論的個數是（　?。? A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 　 二、填空題 11．一元二次方程x2﹣x=0的根是　?。? 12．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，若點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸為直線x=2，則線段AB的長為　?。? 13．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實數根，則整數a的最大值是　?。? 14．著名畫家達芬奇不僅畫意超群，同時還是一個數學家，發(fā)明家．他增進設計過一種圓規(guī)．如圖所示，有兩個互相垂直的話槽（滑槽寬度忽略不計）一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來，若AB=10cm，則畫出的圓半徑為　　cm． 15．在平面直角坐標系中，對于平面內任一點（a，b），若規(guī)定以下三種變換： ①△（a，b）=（﹣a，b）； ②○（a，b）=（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）=（a，﹣b）， 按照以上變換例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），則○（Ω（3，4））等于　?。? 16．如圖，正方形ABCD中，已知AB=3，點E，F分別在BC、CD上，且∠BAE=30，∠DAF=15，則△AEF的面積為　?。? 　 三、解答題：（共9小題，共72分） 17．解方程：x2+3x﹣1=0． 18．如果關于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個不相等實數根x1，x2滿足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，求a的值． 19．如圖，弦AB和CD相交于⊙O內一點E，AE=CE．求證：BE=DE． 20．如圖是一張長8cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個同樣大小的正方形，可制成底面積是18cm2的一個無蓋長方體紙盒，求剪去的正方形的邊長． 21．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（3，4）、B（1，1）、C（4，2）． （1）畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90后得到的△A1BC1，其中A、C分別和A1、C1對應． （2）平移△ABC，使得A點落在x軸上，B點落在y軸上，畫出平移后的△A2B2C2，其中A、B、C分別和A2B2C2對應． （3）填空：在（2）的條件下，設△ABC，△A2B2C2的外接圓的圓心分別為M、M2，則MM2=　?。? 22．如圖，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90，點C是上的一點，且BC=2，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E． （1）求線段OD、DE的長； （2）求線段OE的長． 23．某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少銷售10件玩具，設該種品牌玩具的銷售單價為x元（x＞40），銷售量為y件，銷售該種品牌玩具獲得的利潤為w元． （1）請直接寫出y與x，w與x的函數表達式； （2）若商場獲得了10000元的銷售利潤，求該種品牌玩具銷售單價x應定為多少元？ （3）若玩具廠規(guī)定該種品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務，求商場銷售該種品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ 24．（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，求證：△ACD≌△BCE； （2）如圖2，將圖1中△DCE繞點C逆時針旋轉n（0＜n＜45），使∠BED=90，又作△DCE中DE邊上的高CM，請完成圖2，并判斷線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由； （3）如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90，請直接寫出點A到BP的距離． 25．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C． （1）求拋物線的解析式； （2）在第一象限內拋物線上，找一點M使△OCM的面積是△OAM的面積的倍，求點M的坐標； （3）在拋物線上，找一點N使∠NCA=2∠ACB，求點N的坐標． 　  2015-2016學年湖北省襄陽三十九中九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．將一元一次方程3x2﹣1=6x化成一般形式后，二次項系數和一次項系數分別為（　?。? A．3，﹣6 B．3，6 C．3，﹣1 D．3x2，﹣6x 【考點】一元二次方程的一般形式． 【專題】計算題． 【分析】方程移項變形為一般形式，找出二次項系數和一次項系數即可． 【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x﹣1=0， 則二次項系數和一次項系數分別為3，﹣6， 故選A． 【點評】考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項． 　 2．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0時，配方后得的方程為（　?。? A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】在本題中，把常數項﹣1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數﹣2的一半的平方． 【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常數項移到等號的右邊，得到x2﹣2x=1， 方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1 配方得（x﹣1）2=2． 故選D． 【點評】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步驟： （1）把常數項移到等號的右邊； （2）把二次項的系數化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數． 　 3．下列電視臺的臺標，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形． 【分析】根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故A選項錯誤； B、不是中心對稱圖形，故B選項錯誤； C、不是中心對稱圖形，故C選項錯誤； D、是中心對稱圖形，故D選項正確． 故選D． 【點評】本題考查了中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180后與原圖重合是解題的關鍵． 　 4．如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A=50，則∠BOC的度數為（　?。? A．40 B．50 C．80 D．100 【考點】圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，由此可得出答案． 【解答】解：由題意得∠BOC=2∠A=100． 故選D． 【點評】本題考查了圓周角定理，屬于基礎題，掌握圓周角定理的內容是解答本題的關鍵． 　 5．如圖，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到△A′B′C′，且點B剛好落在A′B′上，若∠A=25，∠BCA′=45，則∠A′BA等于（　?。? A．30 B．35 C．40 D．45 【考點】旋轉的性質． 【分析】首先根據旋轉的性質以及三角形外角的性質得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45+25=70，以及∠BB′C=∠B′BC=70，再利用三角形內角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40． 【解答】解：∵∠A=25，∠BCA′=45， ∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45+25=70， ∵CB=CB′， ∴∠BB′C=∠B′BC=70， ∴∠B′CB=40， ∴∠ACA′=40， ∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC， ∴∠ACA′=∠A′BA=40． 故選：C． 【點評】此題主要考查了旋轉的性質以及三角形的外角的性質和三角形內角和定理等知識，根據已知得出∠ACA′=40是解題關鍵． 　 6．把拋物線先向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線的解析式為（　　） A． B． C． D． 【考點】二次函數圖象與幾何變換． 【分析】確定出平移前的拋物線的頂點坐標，然后根據向右平移橫坐標加，向下平移縱坐標減求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式形式寫出拋物線解析式即可． 【解答】解：拋物線y=x2﹣1的頂點坐標為（0，﹣1）， ∵向右平移一個單位，再向下平移2個單位， ∴平移后的拋物線的頂點坐標為（1，﹣3）， ∴得到的拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣3． 故選B． 【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，利用頂點的變化確定函數解析式可以使計算更加簡便． 　 7．要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設比賽組織者應邀請x個隊參賽，則x滿足的關系式為（　?。? A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】關系式為：球隊總數每支球隊需賽的場數2=47，把相關數值代入即可． 【解答】解：每支球隊都需要與其他球隊賽（x﹣1）場，但2隊之間只有1場比賽， 所以可列方程為： x（x﹣1）=47． 故選：B． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關鍵是得到比賽總場數的等量關系，注意2隊之間的比賽只有1場，最后的總場數應除以2． 　 8．二次函數y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 則該函數圖象的頂點坐標為（　?。? A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6） 【考點】二次函數圖象上點的坐標特征． 【分析】根據二次函數的對稱性確定出二次函數的對稱軸，然后解答即可． 【解答】解：∵x=﹣3和﹣1時的函數值都是﹣3，相等， ∴二次函數的對稱軸為直線x=﹣2， ∴頂點坐標為（﹣2，﹣2）． 故選：B． 【點評】本題考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數的對稱性，仔細觀察表格數據確定出對稱軸是解題的關鍵． 　 9．如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長為（　?。? A．7 B． C． D．9 【考點】解直角三角形；全等三角形的判定；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理． 【專題】綜合題． 【分析】作DF⊥CA，交CA的延長線于點F，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據角平分線的性質得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD=7． 【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD ∴DF=DG，弧AD=弧BD， ∴DA=DB． ∵∠AFD=∠BGD=90， ∴△AFD≌△BGD， ∴AF=BG． 易證△CDF≌△CDG， ∴CF=CG． ∵AC=6，BC=8， ∴AF=1，（也可以：設AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8﹣x=6+x，解x=1） ∴CF=7， ∵△CDF是等腰直角三角形，（這里由CFDG是正方形也可得）． ∴CD=7． 故選B． 【點評】本題綜合考查了圓周角的性質，圓心角、弧、弦的對等關系，全等三角形的判定，角平分線的性質等知識點的運用． 此題是一個大綜合題，難度較大． 　 10．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（﹣1，0）．下列結論：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當x＞﹣1時，y＞0，其中正確結論的個數是（　　） A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 【考點】二次函數圖象與系數的關系． 【專題】壓軸題． 【分析】由拋物線的對稱軸在y軸右側，可以判定a、b異號，由此確定①正確； 由拋物線與x軸有兩個交點得到b2﹣4ac＞0，又拋物線過點（0，1），得出c=1，由此判定②正確； 由拋物線過點（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正確； 由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正確； 由圖象可知，當自變量x的取值范圍在一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根之間時，函數值y＞0，由此判定⑤錯誤． 【解答】解：∵二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）過點（0，1）和（﹣1，0）， ∴c=1，a﹣b+c=0． ①∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴x=﹣＞0， ∴a與b異號，∴ab＜0，正確； ②∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b2﹣4ac＞0， ∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正確； ④∵拋物線開口向下，∴a＜0， ∵ab＜0，∴b＞0． ∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1， ∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1， ∴0＜b＜1，正確； ③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b， ∴a+b+c=2b＞0． ∵b＜1，c=1，a＜0， ∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2， ∴0＜a+b+c＜2，正確； ⑤拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為（﹣1，0），設另一個交點為（x0，0），則x0＞0， 由圖可知，當x0＞x＞﹣1時，y＞0，錯誤； 綜上所述，正確的結論有①②③④． 故選B． 【點評】本題主要考查二次函數圖象與系數之間的關系，不等式的性質，難度適中．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置決定；拋物線與x軸的交點個數，決定了b2﹣4ac的符號，此外還要注意二次函數與方程之間的轉換． 　 二、填空題 11．一元二次方程x2﹣x=0的根是　x1=0，x2=1　． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】方程左邊分解因式后，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解． 【解答】解：方程變形得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案為：x1=0，x2=1． 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握方程的解法是解本題的關鍵． 　 12．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，若點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸為直線x=2，則線段AB的長為　8?。? 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=2，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標為（﹣2，0），根據二次函數的對稱性，求得B點的坐標，再求出AB的長度． 【解答】解：∵對稱軸為直線x=2的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點， ∴A、B兩點關于直線x=2對稱， ∵點A的坐標為（﹣2，0）， ∴點B的坐標為（6，0）， AB=6﹣（﹣2）=8． 故答案為：8． 【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點．此題難度不大，解題的關鍵是求出B點的坐標． 　 13．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實數根，則整數a的最大值是　0?。? 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【專題】計算題． 【分析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到a﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）3≥0，再求出兩不等式的公共部分得到a≤且a≠1，然后找出此范圍內的最大整數即可． 【解答】解：根據題意得a﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）3≥0， 解得a≤且a≠1， 所以整數a的最大值為0． 故答案為0． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義． 　 14．著名畫家達芬奇不僅畫意超群，同時還是一個數學家，發(fā)明家．他增進設計過一種圓規(guī)．如圖所示，有兩個互相垂直的話槽（滑槽寬度忽略不計）一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來，若AB=10cm，則畫出的圓半徑為　5　cm． 【考點】直角三角形斜邊上的中線． 【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP=AB，即為圓的半徑． 【解答】解：如圖，∵兩個滑槽互相垂直，點P是木棒的中點， ∴OP=AB=10=5cm， 即畫出的圓半徑為5cm． 故答案為：5． 【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵． 　 15．在平面直角坐標系中，對于平面內任一點（a，b），若規(guī)定以下三種變換： ①△（a，b）=（﹣a，b）； ②○（a，b）=（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）=（a，﹣b）， 按照以上變換例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），則○（Ω（3，4））等于　（﹣3，4）?。? 【考點】點的坐標． 【專題】新定義． 【分析】根據三種變換規(guī)律的特點解答即可． 【解答】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）． 故答案為：（﹣3，4）． 【點評】本題考查了點的坐標，讀懂題目信息，理解三種變換的變換規(guī)律是解題的關鍵． 　 16．如圖，正方形ABCD中，已知AB=3，點E，F分別在BC、CD上，且∠BAE=30，∠DAF=15，則△AEF的面積為　9﹣3　． 【考點】正方形的性質． 【專題】計算題；推理填空題． 【分析】如圖，把△ADF繞點A逆時針旋轉90得到△ABM．則AM=AF，∠FAD=∠MAB=15，首先證明△EAF≌EAM，推出ME=EF，推出ME=BM+BE=BE+DF，設FE=a，在Rt△ABE中，由∠ABE=90，AB=3，∠BAE=30，推出BE=，DF=a﹣，CF=3﹣（a﹣），根據EF2=EC2+CF2，列出方程求出a即可解決問題． 【解答】解：如圖，把△ADF繞點A逆時針旋轉90得到△ABM．則AM=AF，∠FAD=∠MAB=15 ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=∠ABM=90， ∵∠BAE=30，∠DAF=15， ∴∠EAF=45，∠MAE=∠MAB+∠BAE=45=∠EAF， 在△EAF和△EAM中， ， ∴△EAF≌EAM， ∴ME=EF， ∵ME=BM+BE=BE+DF，設FE=a， 在Rt△ABE中，∵∠ABE=90，AB=3，∠BAE=30， ∴BE=，DF=a﹣，CF=3﹣（a﹣）， ∵EF2=EC2+CF2， ∴a2=（3﹣）2+[3﹣（a﹣）]2， ∴a=6﹣2， ∴S△AEF=S△AME=?EM?AB=?（6﹣2）3=9﹣3． 故答案為9﹣3． 【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形30度角旋轉等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線的方法，記住基本圖形、基本結論，屬于中考常考題型． 　 三、解答題：（共9小題，共72分） 17．解方程：x2+3x﹣1=0． 【考點】解一元二次方程-公式法． 【專題】計算題． 【分析】找出a，b，c的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：這里a=1，b=3，c=﹣1， ∵△=9+4=13， ∴x=， 則x1=，x2=． 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵． 　 18．如果關于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個不相等實數根x1，x2滿足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，求a的值． 【考點】根的判別式；根與系數的關系． 【分析】利用根與系數的關系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后將其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=0列出關于a的方程，通過解方程即可求得a的值． 【解答】解：∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個不相等實數根， ∴x1x2=a，x1+x2=﹣4， ∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得：a=﹣3． 【點評】本題考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法． 　 19．如圖，弦AB和CD相交于⊙O內一點E，AE=CE．求證：BE=DE． 【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質． 【專題】證明題． 【分析】由∠A=∠C，∠D=∠B，再加上AE=CE，即可得到△AED≌△CEB，從而有BE=DE． 【解答】證明：在△ADE和△CBE中有， ∴△AED≌△CEB， ∴BE=DE． 【點評】本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了三角形全等的判定與性質． 　 20．如圖是一張長8cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個同樣大小的正方形，可制成底面積是18cm2的一個無蓋長方體紙盒，求剪去的正方形的邊長． 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】由于剪去的正方形邊長為xcm，那么長方體紙盒的底面的長為（8﹣2x），寬為（5﹣2x），然后根據底面積是18cm2即可列出方程． 【解答】解：設剪去的正方形邊長為xcm， 依題意得（8﹣2x）?（5﹣2x）=18， 解得：x=1或x=＞5（舍去）． 答：減去的正方形的邊長為1cm． 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，明白紙盒的結構是解題的關鍵． 　 21．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（3，4）、B（1，1）、C（4，2）． （1）畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90后得到的△A1BC1，其中A、C分別和A1、C1對應． （2）平移△ABC，使得A點落在x軸上，B點落在y軸上，畫出平移后的△A2B2C2，其中A、B、C分別和A2B2C2對應． （3）填空：在（2）的條件下，設△ABC，△A2B2C2的外接圓的圓心分別為M、M2，則MM2=　?。? 【考點】作圖-旋轉變換；勾股定理；作圖-平移變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據網格結構找出點A、C繞點B逆時針旋轉90的對應點A1、C1的位置，再與點A順次連接即可； （2）根據網格結構找出點A、B、C平移后的對應點的位置，然后順次連接即可； （3）根據平移的性質，對應點的連續(xù)互相平行且相等可得MM2=AA2，再利用勾股定理列式計算即可得解． 【解答】解：（1）△A1BC1如圖所示； （2）△A2B2C2如圖所示； （3）∵M、M2分別為△ABC，△A2B2C2的外接圓的圓心， ∴MM2=AA2， 由勾股定理得，AA2==， 所以，MM2=． 故答案為：． 【點評】本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，勾股定理，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵． 　 22．如圖，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90，點C是上的一點，且BC=2，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E． （1）求線段OD、DE的長； （2）求線段OE的長． 【考點】垂徑定理；勾股定理；三角形中位線定理． 【專題】計算題． 【分析】（1）連結AB，如圖1，根據垂徑定理，由OD⊥BC得到BD=BC=1，再在Rt△OBD中，利用勾股定理可計算出OD=2，然后證明DE為△ABC的中位線，根據三角形中位線性質得到DE=AB，接著證明△AOB為等腰直角三角形得到AB=OB=5，所以DE=； （2）作DH⊥OE，連結OC，如圖2先證明∠2+∠3=45，得到△ODH為等腰直角三角形，則OH=DH=OD=2，再在Rt△DHE中，利用勾股定理計算出HE=，然后由OE=OH+HE計算即可． 【解答】解：（1）連結AB，如圖1， ∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=1， 在Rt△OBD中，∵BD=1，OB=5， ∴OD==2， ∵OE⊥AC， ∴AE=CE， ∴DE為△ABC的中位線， ∴DE=AB， ∵∠AOB=90， ∴△AOB為等腰直角三角形， ∴AB=OB=5， ∴DE=； 即線段OD、DE的長分別為2，； （2）作DH⊥OE，連結OC，如圖2， ∵OC=OB，OD垂直平分BC， ∴OD平分∠BOC，即∠3=∠4， 同理可得∠1=∠2， 而∠1+∠2+∠3+∠4=90， ∴∠2+∠3=45， ∴△ODH為等腰直角三角形， ∴OH=DH=OD=?2=2， 在Rt△DHE中，∵DH=2，DE=， ∴HE==， ∴OE=OH+HE=2+． 【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ砗腿切沃形痪€定理． 　 23．（2015?沈陽二模）某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少銷售10件玩具，設該種品牌玩具的銷售單價為x元（x＞40），銷售量為y件，銷售該種品牌玩具獲得的利潤為w元． （1）請直接寫出y與x，w與x的函數表達式； （2）若商場獲得了10000元的銷售利潤，求該種品牌玩具銷售單價x應定為多少元？ （3）若玩具廠規(guī)定該種品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務，求商場銷售該種品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ 【考點】二次函數的應用． 【分析】（1）由銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）10=1000﹣10x，利潤W=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000； （2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可； （3）首先求出x的取值范圍，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000轉化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，結合x的取值范圍，求出最大利潤． 【解答】解：（1）y=600﹣（x﹣40）10=1000﹣10x， W=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000； （2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000 解之得：x1=50，x2=80 答：玩具銷售單價為50元或80元時，可獲得10000元銷售利潤， （3）根據題意得 ， 解之得：44≤x≤46， w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250， ∵a=﹣10＜0，對稱軸是直線x=65， ∴當44≤x≤46時，w隨x增大而增大． ∴當x=46時，W最大值=8640（元）． 答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為8640元． 【點評】本題主要考查了二次函數的應用的知識點，解答本題的關鍵熟練掌握二次函數的性質以及二次函數最大值的求解，此題難度不大． 　 24．（2015秋?武昌區(qū)期中）（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，求證：△ACD≌△BCE； （2）如圖2，將圖1中△DCE繞點C逆時針旋轉n（0＜n＜45），使∠BED=90，又作△DCE中DE邊上的高CM，請完成圖2，并判斷線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由； （3）如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90，請直接寫出點A到BP的距離． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【分析】（1）易證∠ACD=∠BCE，即可解題； （2）根據△ACD≌△BCE，即可證明AD=EB，即可解題； （3）易證△DPE∽△BAE，即可求得PE的值，即可解題． 【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）如圖2， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135， ∴A、D、E三點共線， ∵DE=DM+ME=2CM， ∴AE=BE+2CM； （3）①如圖， ∵∠DPE=∠BAE=90， ∴△DPE∽△BAE， ∴=， ∵BP==3， 解得PE=， ∴A到BE距離為=1． ②如圖， ∵∠DPE=∠BCE=90， ∴△DPE∽△BCE， ∴=， ∵BP==3， ∴PE=， ∴C到BE距離為=1． ∴A到BE距離為2． 【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應邊比例相等的性質，考查了勾股定理的運用． 　 25．（2014秋?漢陽區(qū)校級期中）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C． （1）求拋物線的解析式； （2）在第一象限內拋物線上，找一點M使△OCM的面積是△OAM的面積的倍，求點M的坐標； （3）在拋物線上，找一點N使∠NCA=2∠ACB，求點N的坐標． 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點代入y=ax2+bx﹣3求解即可， （2）由y=x2﹣2x﹣3交y軸于點C．可得OC=3，設M（x，y），由△OCM的面積是△OAM的面積的倍，可得OC?x=?|AO|?y，解得y=2x，代入y=x2﹣2x﹣3求解即可． （3）作NQ⊥AB于點Q，CH⊥NQ于點H，由△AOC∽△NHC，設N（x，y），由=，可得x=﹣3y﹣9，與y=x2﹣2x﹣3聯立求解即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點代入y=ax2+bx﹣3得，解得， 所以拋物線的解析式y=x2﹣2x﹣3． （2）如圖1， ∵y=x2﹣2x﹣3交y軸于點C． ∴OC=3， 設M（x，y）， ∵△OCM的面積是△OAM的面積的倍， ∴OC?x=?|AO|?y， ∴y=2x， 代入y=x2﹣2x﹣3得，x1=2+，x2=2﹣（舍去）， ∴y=2x=4+2， ∴M（2+，4+2）． （3）如圖2，作NQ⊥AB于點Q，CH⊥NQ于點H， ∵OB=3，OC=3， ∴∠OCB=∠BCH=45， ∵∠NCA=2∠ACB， ∴∠OCA=∠NCH，∠AOC=∠NHC=90， ∴△AOC∽△NHC， 設N（x，y）， ∴=， ∴=，解得x=﹣3y﹣9， 與y=x2﹣2x﹣3聯立得，解得（舍去），． ∴N（（，﹣）． 【點評】本題主要考查了二次函數的綜合題，解題的關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識求解．