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2015-2016學年湖北省宜昌二十五中九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（下列各小題中，只有一個選項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.每小題3分，計45分.） 1．一元二次方程x2﹣2x=0的一次項系數(shù)是（　?。? A．2 B．﹣2 C．1 D．0 2．拋物線y=（x﹣2）2+3的頂點坐標是（　?。? A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 3．方程x2﹣9=0的根為（　　） A．3 B．﹣3 C．3 D．無實數(shù)根 4．對于拋物線y=（x+1）2+3有以下結論：①拋物線開口向下；②對稱軸為直線x=1；③頂點坐標為（﹣1，3）；④x＞1時，y隨x的增大而減?。渲姓_結論的個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 5．在下列函數(shù)中，當x＞0時，y隨x的增大而增大的是（　　） A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣1 C．y=﹣5x D．y=﹣x2+1 6．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應變形為（　　） A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 7．已知關于x的方程（m+3）x2﹣3m﹣1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣3 C．m≠3 D．m≠x 8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，若點A（﹣1，y1）、B（﹣6，y2）是它圖象上的兩點，則y1與y2的大小關系是（　?。? A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．不能確定 9．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，則BC的長是（　?。? A．2 B．4 C．6 D．8 10．為了改善居民住房條件，某市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10m2提高到12.1m2．若每年的年增長率相同，則年增長率為（　　） A．9% B．10% C．11% D．12% 11．不在拋物線y=x2﹣2x﹣3上的一個點是（　?。? A．（﹣1，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（1，4） 12．小明在探索一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的近似解時作了如下列表計算．觀察表中對應的數(shù)據(jù)，可以估計方程的其中一個解的整數(shù)部分是（　?。? x 1 2 3 4 2x2﹣x﹣2 ﹣1 4 13 26 A．4 B．3 C．2 D．1 13．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是（　?。? A．a＞0 B．c＞0 C． D．b2+4ac＞0 14．如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（　　） A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2） 15．二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=ax+b的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 　 二、解答題.（將解答過程寫在答題卡上指定的位置.本大題共有9小題，計75分.） 16．用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2﹣2x﹣5=0． 17．已知拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3． （1）將其化為y=a（x﹣h）2+k的形式，并直接寫出拋物線的頂點坐標； （2）求出拋物線與x軸交點坐標． 18．如圖，在54正方形網(wǎng)格中，有A，B，C三個格點（線與線的交點）． （1）若小正方形邊長為1，則AC=　　，AB=　?。? （2）在圖中再找出一個格點D，滿足：D與A，B，C三點中的兩點組成的三角形恰好與△ABC相似：　　∽△ABC． 19．已知關于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根． （1）求實數(shù)k的取值范圍； （2）0可能是方程的一個根嗎？若是，請求出它的另一個根；若不是，請說明理由． 20．如圖，在一次高爾夫球比賽中，小明從山坡下O點打出一球向球洞A點飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大高度10m時，球移動的水平距離為8m．已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30，OC=12m． （1）求點A的坐標； （2）求球的飛行路線所在拋物線的解析式； （3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A點． 21．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是AD邊上一動點，AE=m，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE．延長BG交直線CD于點F． （1）若∠ABE：∠BFC=n，則n=　??； （2）當E運動到AD中點時，求線段GF的長； （3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，直接寫出m的取值范圍． 22．【背景】國家為扶持軟件企業(yè)的發(fā)展，對企業(yè)實行月補貼，以提高企業(yè)的凈利潤． 【問題】國內某軟件企業(yè)2014 年12月份并未如期收到700萬元的月補貼，這樣導致2014 年的凈利潤增長只有55%．而若補貼及時到位，則2014 年的凈利潤增長將達到60%． （1）求2013年該企業(yè)凈利潤是多少萬元？ （2）又據(jù)統(tǒng)計，2014年12月該企業(yè)不含月補貼的月凈利潤為2100萬元，2015年1月及2月不含月補貼的月凈利潤比上月增加的百分數(shù)分別是m和 2m，這兩個月的月補貼相等，且都在2014年12月基礎上增加了2m．據(jù)推算，若以后各月不含月補貼的月凈利潤和月補貼均穩(wěn)定在2月份的水平不變，則 2015年該企業(yè)凈利潤將達到2013年的3倍，求m的值． 23．把兩個全等的等腰直角三角板（直角邊長為4）疊放在一起，且三角板EFG的直角頂點G位于三角板ABC的斜邊中點處．現(xiàn)將三角板EFG繞G點按順時針方向旋轉α度（0＜α＜90）（如圖1），四邊形GKCH為兩三角板的重疊部分． （1）猜想BH與CK有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論； （2）連接HK（如圖2），在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y， ①求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍； ②當△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，求x． 24．如圖1在平面直角坐標系中．等腰Rt△OAB的斜邊OA在x軸上．P為線段OB上﹣動點（不與O，B重合）．過P點向x軸作垂線．垂足為C．以PC為邊在PC的右側作正方形PCDM．OP=t、OA=3．設過O，M兩點的拋物線為y=ax2+bx．其頂點N（m，n） （1）寫出t的取值范圍　　，寫出M的坐標：（　　，　　）； （2）用含a，t的代數(shù)式表示b； （3）當拋物線開向下，且點M恰好運動到AB邊上時（如圖2） ①求t的值； ②若N在△OAB的內部及邊上，試求a及m的取值范圍． 　  2015-2016學年湖北省宜昌二十五中九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（下列各小題中，只有一個選項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.每小題3分，計45分.） 1．一元二次方程x2﹣2x=0的一次項系數(shù)是（　?。? A．2 B．﹣2 C．1 D．0 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）中，ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項． 【解答】解：∵方程x2﹣2x=0的一次項為﹣2x， ∴一次項系數(shù)為﹣2． 故選B． 【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項． 　 2．拋物線y=（x﹣2）2+3的頂點坐標是（　?。? A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【考點】二次函數(shù)的性質． 【分析】由拋物線的頂點式y(tǒng)=（x﹣h）2+k直接看出頂點坐標是（h，k）． 【解答】解：∵拋物線為y=（x﹣2）2+3， ∴頂點坐標是（2，3）． 故選B． 【點評】要求熟練掌握拋物線的頂點式． 　 3．方程x2﹣9=0的根為（　　） A．3 B．﹣3 C．3 D．無實數(shù)根 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【專題】計算題． 【分析】先把方程變形為x2=9，然后利用直接開平方法求解． 【解答】解：x2=9， x=3． 所以x1=3，x2=﹣3． 故選C． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=． 　 4．對于拋物線y=（x+1）2+3有以下結論：①拋物線開口向下；②對稱軸為直線x=1；③頂點坐標為（﹣1，3）；④x＞1時，y隨x的增大而減?。渲姓_結論的個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】二次函數(shù)的性質． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式寫出開口方向、對稱軸和頂點坐標以及增減性即可得解． 【解答】解：拋物線y=（x+1）2+3開口向上，故①錯誤； 對稱軸為直線x=﹣1，故②錯誤； 頂點坐標為（﹣1，3），故③正確； ∵x＞﹣1時，y隨x的增大而增大， ∴x＞1時，y隨x的增大而增大．故④錯誤． 綜上所述，結論正確的是③共1個． 故選A． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，主要是利用頂點式解析式求拋物線開口方向、頂點坐標和增減性，需熟記． 　 5．在下列函數(shù)中，當x＞0時，y隨x的增大而增大的是（　?。? A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣1 C．y=﹣5x D．y=﹣x2+1 【考點】二次函數(shù)的性質；一次函數(shù)的性質；正比例函數(shù)的性質． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質即可作出判斷． 【解答】解：A、y=﹣x+1中y隨x的增大而減小，故選項錯誤； B、y=x2﹣1當x＞1時，y隨x的增大而增大，選項正確； C、y=﹣5x中y隨x的增大而減小，故選項錯誤； D、y=﹣x2+1當x＞1時y隨x的增大而減?。? 故選B． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），當a＞0時，在對稱軸左側y隨x的增大而減小，在對稱軸右側y隨x的增大而增大；當a＜0時，在對稱軸左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減?。淮魏瘮?shù)中當k＞0時，y隨x的增大而增大，k＜0時，y隨x的增大而減?。? 　 6．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】計算題． 【分析】方程常數(shù)項移到右邊，兩邊加上1變形即可得到結果． 【解答】解：方程移項得：x2﹣2x=5， 配方得：x2﹣2x+1=6， 即（x﹣1）2=6． 故選：B 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵． 　 7．已知關于x的方程（m+3）x2﹣3m﹣1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣3 C．m≠3 D．m≠x 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程二次項的系數(shù)不等于0解答即可． 【解答】解：∵關于x的方程（m+3）x2﹣3m﹣1=0是一元二次方程， ∴m+3≠0， 解得，m≠﹣3， 故選：B． 【點評】本題考查的是一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件． 　 8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，若點A（﹣1，y1）、B（﹣6，y2）是它圖象上的兩點，則y1與y2的大小關系是（　?。? A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．不能確定 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可得x=﹣6和x=0時的函數(shù)值相同，再根據(jù)x＞﹣3時，y隨x的增大而減小解答． 【解答】解：由圖可知，二次函數(shù)的對稱軸為直線x=﹣3， ∴x=﹣6和x=0時的函數(shù)值相同， ∵x＞﹣3時，y隨x的增大而減小， ∴x=0時的函數(shù)值小于x=﹣1時的函數(shù)值， ∴y1＞y2． 故選C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數(shù)圖象的對稱性和增減性，熟記性質并準確識圖是解題關鍵． 　 9．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，則BC的長是（　?。? A．2 B．4 C．6 D．8 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】由平行可得平行線分線段成比例，可得=，代入可求得BC． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴=， ∵AD=1，AB=3，DE=2， ∴=， ∴BC=6． 故選C． 【點評】本題主要考查平行線分線段成比例的性質，掌握平行線分線段成比例中的對應線段是解題的關鍵． 　 10．為了改善居民住房條件，某市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10m2提高到12.1m2．若每年的年增長率相同，則年增長率為（　?。? A．9% B．10% C．11% D．12% 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】此題可設年增長率為x，第一年為10（1+x）m2，那么第二年為10（1+x）（1+x）m2，列出一元二次方程解答即可． 【解答】解：設年增長率為x，根據(jù)題意列方程得 10（1+x）2=12.1 解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不符合題意舍去） 所以年增長率為0.1，即10%， 故選B． 【點評】考查了一元二次方程的應用，找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解． 　 11．不在拋物線y=x2﹣2x﹣3上的一個點是（　?。? A．（﹣1，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（1，4） 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【專題】計算題． 【分析】分別把x=﹣1，3，0，1代入y=x2﹣2x﹣3，計算出對應的函數(shù)值，然后判各點是否在拋物線y=x2﹣2x﹣3上． 【解答】解：當x=﹣1時，y=x2﹣2x﹣3=（﹣1）2﹣2（﹣1）﹣3=0； 當x=3時，y=x2﹣2x﹣3=32﹣23﹣3=0； 當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3； 當x=1時，y=x2﹣2x﹣3=12﹣21﹣3=﹣4， 所以點（1，4）不在拋物線y=x2﹣2x﹣3上． 故選D． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式． 　 12．小明在探索一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的近似解時作了如下列表計算．觀察表中對應的數(shù)據(jù)，可以估計方程的其中一個解的整數(shù)部分是（　?。? x 1 2 3 4 2x2﹣x﹣2 ﹣1 4 13 26 A．4 B．3 C．2 D．1 【考點】估算一元二次方程的近似解． 【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：x=1時，2x2﹣x﹣2=﹣1；x=2時，2x2﹣x﹣2=4，故一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的其中一個解x的范圍是1＜x＜2，進而求解． 【解答】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，知： 方程的一個解x的范圍是：1＜x＜2， 所以方程的其中一個解的整數(shù)部分是1． 故選D． 【點評】本題考查了估算一元二次方程的近似解，此類題要細心觀察表格中的對應數(shù)據(jù)，即可找到x的取值范圍． 　 13．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是（　?。? A．a＞0 B．c＞0 C． D．b2+4ac＞0 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷． 【解答】解：A、正確，∵拋物線開口向上，∴a＞0； B、正確，∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴c＞0； C、錯誤，∵拋物線的對稱軸在x的正半軸上，∴； D、正確，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴△=b2﹣4ac＞0； 故選C． 【點評】主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用． 　 14．如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（　?。? A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2） 【考點】相似三角形的判定；坐標與圖形性質． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定：兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似即可判斷． 【解答】解：△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=3，AB：BC=2． A、當點E的坐標為（6，0）時，∠CDE=90，CD=2，DE=1，則AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項不符合題意； B、當點E的坐標為（6，3）時，∠CDE=90，CD=2，DE=2，則AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項符合題意； C、當點E的坐標為（6，5）時，∠CDE=90，CD=2，DE=4，則AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項不符合題意； D、當點E的坐標為（4，2）時，∠ECD=90，CD=2，CE=1，則AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項不符合題意； 故選：B． 【點評】本題考查了相似三角形的判定，難度中等．牢記判定定理是解題的關鍵． 　 15．二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=ax+b的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【專題】數(shù)形結合． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向向下確定出a＜0，再根據(jù)對稱軸確定出b＞0，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象解答即可． 【解答】解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向下， ∴a＜0， ∵對稱軸為直線x=﹣＞0， ∴b＞0， ∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經過第二四象限，且與y軸的正半軸相交， C選項圖象符合． 故選：C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖形確定出a、b的正負情況是解題的關鍵． 　 二、解答題.（將解答過程寫在答題卡上指定的位置.本大題共有9小題，計75分.） 16．用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2﹣2x﹣5=0． 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】先將常數(shù)項移到等號的右邊，然后配方將等式左邊配成一個完全平方式，再根據(jù)直接開配方法求出其解即可． 【解答】解：移項，得 x2﹣2x=5， 配方，得 x2﹣2x+1=5+1， （x﹣1）2=6， ∴x﹣1=， ∴x﹣1=，x﹣1=﹣， ∴x1=1+，x2=1﹣． 【點評】本題考查了運用配方法解一元二次方程的運用，解答時熟練運用配方法的步驟是關鍵． 　 17．已知拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3． （1）將其化為y=a（x﹣h）2+k的形式，并直接寫出拋物線的頂點坐標； （2）求出拋物線與x軸交點坐標． 【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的三種形式． 【分析】（1）利用配方法即可解決問題． （2）令y=0，解方程即可解決問題． 【解答】解：（1）y=（x﹣1）2﹣4， ∴拋物線頂點坐標（1，﹣4）． （2）令y=0，則x2﹣2x﹣3=0， ∴x=3和﹣1， ∴拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為（3，0），（﹣1，0）． 【點評】本題考查拋物線與x軸交點問題、配方法等知識，解題的關鍵是靈活應用配方法解決問題，學會求拋物線與x軸交點坐標的方法，屬于中考?？碱}型． 　 18．如圖，在54正方形網(wǎng)格中，有A，B，C三個格點（線與線的交點）． （1）若小正方形邊長為1，則AC=　2　，AB=　?。? （2）在圖中再找出一個格點D，滿足：D與A，B，C三點中的兩點組成的三角形恰好與△ABC相似：　△DCB　∽△ABC． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】（1）利用勾股定理計算出AC、AB長即可； （2）根據(jù)三組對應邊的比相等的兩個三角形相似畫出圖形即可． 【解答】解：（1）AC==2，AB==， 故答案為：2；； （2）如圖所示：△DCB∽△ABC， 故答案為：△DCB． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，以及相似三角形的判定，關鍵是掌握三組對應邊的比相等的兩個三角形相似． 　 19．已知關于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根． （1）求實數(shù)k的取值范圍； （2）0可能是方程的一個根嗎？若是，請求出它的另一個根；若不是，請說明理由． 【考點】根的判別式． 【分析】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，必須滿足△=b2﹣4ac＞0，由此可以得到關于k的不等式，然后解不等式即可求出實數(shù)k的取值范圍； （2）利用假設的方法，求出它的另一個根． 【解答】解：（1）∵△=[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1） =4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8， 又∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根， ∴﹣8k+8＞0， 解得k＜1， 即實數(shù)k的取值范圍是k＜1； （2）假設0是方程的一個根， 則代入原方程得02+2（k﹣1）?0+k2﹣1=0， 解得k=﹣1或k=1（舍去）， 即當k=﹣1時，0就為原方程的一個根， 此時原方程變?yōu)閤2﹣4x=0， 解得x1=0，x2=4， 所以它的另一個根是4． 【點評】總結一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 20．如圖，在一次高爾夫球比賽中，小明從山坡下O點打出一球向球洞A點飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大高度10m時，球移動的水平距離為8m．已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30，OC=12m． （1）求點A的坐標； （2）求球的飛行路線所在拋物線的解析式； （3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A點． 【考點】二次函數(shù)的應用． 【分析】（1）在Rt△ACO中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AC的長度，由此即可得出點A的坐標； （2）由頂點B的坐標設球的飛行路線所在拋物線的解析式為y=a（x﹣8）2+10，根據(jù)點O的坐標利用待定系數(shù)法即可求出該拋物線的解析式； （3）代入x=12，求出當x=12時，拋物線上點的縱坐標，將其與點A的縱坐標進行比較，即可得出結論． 【解答】解：（1）在Rt△ACO中，∠ACO=90，∠AOC=30，OC=12， ∴AC=OC?tan∠AOC=12=4， ∴點A的坐標為（12，4）． （2）∵頂點B的坐標為（8，10）， ∴設球的飛行路線所在拋物線的解析式為y=a（x﹣8）2+10， ∵點O（0，0）在拋物線上， ∴0=a（0﹣8）2+10，解得：a=﹣， ∴球的飛行路線所在拋物線的解析式為y=﹣（x﹣8）2+10=﹣x2+x． （3）令y=﹣x2+x中x=12，則y=﹣122+12=， ∵≠4， ∴點A不在球的飛行路線所在拋物線上． 故小明這一桿不能把高爾夫球從O點直接打入球洞A點． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關鍵是：（1）求出AC的長；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）判定點A是否在該拋物線上．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出拋物線關系式是關鍵． 　 21．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是AD邊上一動點，AE=m，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE．延長BG交直線CD于點F． （1）若∠ABE：∠BFC=n，則n=　1：2?。? （2）當E運動到AD中點時，求線段GF的長； （3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，直接寫出m的取值范圍． 【考點】四邊形綜合題；一元二次方程的解；勾股定理；正方形的性質． 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質可得∠ABF=∠BFC，根據(jù)折疊可得∠ABF=2∠ABE，由此得出n的值即可； （2）先根據(jù)折疊的性質，判定Rt△EDF≌Rt△EGF，再設DF=GF=x，在Rt△BCF中運用勾股定理求得x的值即可； （3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，則分兩種情況進行討論：點F與點D重合，點F與點C重合，進而求得m的取值范圍． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD， ∴∠ABF=∠BFC， 由折疊得，∠ABF=2∠ABE， ∴∠BFC=2∠ABE， ∴∠ABE：∠BFC=1：2， ∴n=1：2， 故答案為：1：2； （2）當E運動到AD中點時，AE=DE=， 由折疊得，DE=GE，∠EGF=∠D=90，BG=AB=1， 根據(jù)DE=GE，EF=EF可得，Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF=GF， 設DF=GF=x，則CF=1﹣x， ∵在Rt△BCF中，BC2+FC2=BF2， ∴12+（1﹣x）2=（1+x）2， 解得x=， ∴線段GF的長為； （3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，則 ①如圖，當點F與點D重合時，AE=EG=GF=m，F(xiàn)E=1﹣m， 在Rt△EFG中，m2+m2=（1﹣x）2， 解得m=﹣﹣1（舍去），m=﹣1； ②如圖，當點F與點C重合時，點E與點D重合，此時AE=AD=1， ∴m=1． 綜上，m的取值范圍是：﹣1≤m≤1． 【點評】本題主要考查了正方形的性質以及勾股定理的運用，解題時注意：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；當圖形中出現(xiàn)直角三角形時，可以運用勾股定理求得線段的長，也體現(xiàn)了方程思想的應用． 　 22．（2015秋?宜昌校級期中）【背景】國家為扶持軟件企業(yè)的發(fā)展，對企業(yè)實行月補貼，以提高企業(yè)的凈利潤． 【問題】國內某軟件企業(yè)2014 年12月份并未如期收到700萬元的月補貼，這樣導致2014 年的凈利潤增長只有55%．而若補貼及時到位，則2014 年的凈利潤增長將達到60%． （1）求2013年該企業(yè)凈利潤是多少萬元？ （2）又據(jù)統(tǒng)計，2014年12月該企業(yè)不含月補貼的月凈利潤為2100萬元，2015年1月及2月不含月補貼的月凈利潤比上月增加的百分數(shù)分別是m和 2m，這兩個月的月補貼相等，且都在2014年12月基礎上增加了2m．據(jù)推算，若以后各月不含月補貼的月凈利潤和月補貼均穩(wěn)定在2月份的水平不變，則 2015年該企業(yè)凈利潤將達到2013年的3倍，求m的值． 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】（1）設2013年該企業(yè)凈利潤是x萬元，根據(jù)2014年利潤的兩種求法列出方程即可． （2）根據(jù)2015年的利潤=42000，列出方程即可解決問題． 【解答】解：（1）設2013年該企業(yè)凈利潤是x萬元． 由題意x（1+55%）+700=x（1+60%）， 解得x=14000． 答：2013年該企業(yè)凈利潤是14000萬元． （2）由題意：12700（1+2m）+2100（1+m）+112100（1+m）（1+2m）=42000， 整理得：11m2+21m﹣2=0， 解得m=或﹣2（舍棄） 答：m的值為． 【點評】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是學會設未知數(shù)，尋找等量關系列出方程解決問題，屬于中考常考題型． 　 23．（2015秋?宜昌校級期中）把兩個全等的等腰直角三角板（直角邊長為4）疊放在一起，且三角板EFG的直角頂點G位于三角板ABC的斜邊中點處．現(xiàn)將三角板EFG繞G點按順時針方向旋轉α度（0＜α＜90）（如圖1），四邊形GKCH為兩三角板的重疊部分． （1）猜想BH與CK有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論； （2）連接HK（如圖2），在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y， ①求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍； ②當△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，求x． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）先由ASA證出△CGK≌△BGH，再根據(jù)全等三角形的性質得出BH=CK，根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半； （2）①由（1）易得S四邊形CHGK=S△ABC，然后根據(jù)面積公式得出y=x2﹣2x+4； ②根據(jù)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，代入得出方程即可求得結果． 【解答】解：（1）BH=CK． 理由如下：∵點O是等腰直角三角板ABC斜邊中點， ∴∠B=∠GCK=45，BG=CG， 由旋轉的性質，知∠BGH=∠CGK， 在△BGH和△CGK中， ， ∴△BGH≌△CGK（ASA）， ∴BH=CK； （2）①∵△BGH≌△CGK， ∴S四邊形CHGK=S△CGK+S△CGH=S△BGH+S△CGH=S△BCG=S△ABC=4， ∴S△GKH=S四邊形CHGK﹣S△KCH=4﹣CHCK， ∴y=x2﹣2x+4（0＜x＜4）， ②當y=8=時，即x2﹣2x+4=， ∴x=1 或x=3． ∴當△GKH的面積恰好等于△ABC面積的時，BH=1 或BH=3． 【點評】此題屬于幾何變換的綜合題．主要考查了全等三角形的判定以及等腰直角三角形性質．解答本題的關鍵是掌握旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變． 　 24．（2015秋?宜昌校級期中）如圖1在平面直角坐標系中．等腰Rt△OAB的斜邊OA在x軸上．P為線段OB上﹣動點（不與O，B重合）．過P點向x軸作垂線．垂足為C．以PC為邊在PC的右側作正方形PCDM．OP=t、OA=3．設過O，M兩點的拋物線為y=ax2+bx．其頂點N（m，n） （1）寫出t的取值范圍　0＜t＜　，寫出M的坐標：（　2t　，　t?。?； （2）用含a，t的代數(shù)式表示b； （3）當拋物線開向下，且點M恰好運動到AB邊上時（如圖2） ①求t的值； ②若N在△OAB的內部及邊上，試求a及m的取值范圍． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）如圖1，先計算OB的長，因為P為線段OB上﹣動點（不與O，B重合），利用時間=得出t的取值；根據(jù)等腰直角三角形的性質表示邊長OC和PC的長，寫出點M的坐標； （2）因為點M在拋物線上，所以把M（2t，t）代入到y(tǒng)=ax2+bx中化簡即可； （3）如圖2，①根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式，得到關于t的方程解出即可； ②分兩種情況討論： i）當0≤﹣≤時，即a≤﹣時，因為點P的橫縱坐標相等，且點P在△AOB的邊上，所以要想保證拋物線頂點N在△OAB的內部及邊上，則頂點坐標的橫坐標要大于或等于縱坐標，則﹣≥﹣，解得a≥﹣，綜合一起a的取值為﹣≤a≤﹣； ii）當＜﹣≤3時，即﹣＜a≤﹣，因為∠OAB=45，所以要想保證拋物線頂點N在△OAB的內部及邊上，則OA﹣m≥n，列式得3﹣（﹣）≥﹣，得1≤b≤3，代入b==﹣2a計算出a的取值，則﹣＜a≤﹣；綜上所述：a的取值為：﹣≤a≤﹣，要注意不是取公共部分，而是取所有符合i）和ii）的a值；因為m=﹣=1﹣，根據(jù)a的取值計算m的取值． 【解答】解：（1）如圖1，∵△OAB為等腰直角三角形，OA=3， ∴OB=AB==， ∵P為線段OB上﹣動點（不與O，B重合）， ∴0＜t＜， ∴0＜t＜， ∵四邊形PCDM為正方形， ∴∠PCO=90， ∵∠POC=45， ∴△POC為等腰直角三角形， ∵OP=t， ∴PC=OC=t， ∴OD=t+t=2t， ∴M（2t，t）； （2）把M（2t，t）代入到y(tǒng)=ax2+bx中得： t=4at2+2tb， 1=4at+2b， b=； （3）①如圖2，∵OB=，OP=t， ∴PB=﹣t， ∵PM∥OA， ∴， ∴=， ∴t=1； ②由（2）得：b==﹣2a，即4a=1﹣2b， 頂點N（﹣，﹣）（a＜0，b＞0）， i）當0≤﹣≤時，即a≤﹣時， ﹣≥﹣，解得a≥﹣， ∴﹣≤a≤﹣， ii）當＜﹣≤3時，即﹣＜a≤﹣， 3﹣（﹣）≥﹣， b2﹣4b+3≤0， 1≤b≤3， 1≤﹣2a≤3，﹣≤a≤﹣， 則﹣＜a≤﹣， 綜上所述：a的取值為：﹣≤a≤﹣， m=﹣=1﹣， 得：4am=4a﹣1，a=﹣=， ﹣≤≤﹣， ∴≤m≤2． 【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了等腰直角三角形、正方形的性質，與二次函數(shù)相結合，根據(jù)點的坐標的特點，表示邊的長及求點的坐標；對于動點P，要明確其運動的路徑、速度、時間，根據(jù)路程OP的長和速度表示出時間的范圍；根據(jù)45的特殊三角函數(shù)值，計算出OC和PC的長；本題還利用了平行線分線段成比例定理列比例式，得方程，求出方程的解即可得到t的值；對于最后一個問題，利用了對稱軸和頂點坐標分情況進行討論，得出取值．