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崇仁一中2016-2017學(xué)年度九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 （時(shí)間：120分鐘， 滿分120分） 一、選擇題（本大題共6分，每小題3分，共18分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)。） 1．一元二次方程x(x-3)=0的根是（ ） A、0 B、0或3 C、3 D、0或-3 2．2014年底，我國(guó)核電裝機(jī)容量大約為2000萬(wàn)千瓦，到2016年底我國(guó)核電裝機(jī)容量將達(dá)到約3200萬(wàn)千瓦．若設(shè)平均每年的增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（　?。? A．2000（1+x）=3200 B．2000（1+2x）=3200 C．2000（1+x）2=3200 D．2000（1+x2）=3200 3．關(guān)于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(　　) A．k＞－1 B. k≥－1 C．k≠0 D．k＞－1且k≠0 4．已知，則的值是（　?。? A． B． C． D． 5．如圖1，菱形ABCD的周長(zhǎng)為48cm，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE的長(zhǎng)等于（　?。? A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 圖2 圖1 6．將矩形紙片ABCD按如圖2所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE=30，AB=，折疊后，點(diǎn)C落在AD邊上的C1處，并且點(diǎn)B落在EC1邊上的B1處．則BC的長(zhǎng)為（　?。? A． B．3 C．2 D．2 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 7．把方程x(x－1) = 2(x－2)化為一元二次方程的一般形式為 8．把方程x2+4x+1=0配方成(x+m)2=n的形式，配方后所得方程是　 9．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的兩個(gè)根分別是x1、x2，則x12x2+x1x2 2= ?。? 10．箱子里放有2個(gè)黑球和2個(gè)紅球，它們除顏色外其余都相同，現(xiàn)從箱子里隨機(jī)摸出兩個(gè)球，恰好為1個(gè)黑球和1個(gè)紅球的概率是　 ． 11．如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，要使△AED∽△ABC，添加一個(gè)條件　 ?。ㄖ荒芴钜粋€(gè)）即可． 圖4 圖3 12．．如圖4矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為　 　． 三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，滿分30分，） 13．解方程： 14．已知2是關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣3=0的一個(gè)根，求a的值及方程的另一個(gè)根； 15. 如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是為E，F(xiàn)，并且DE=DF．求證：四邊形ABCD是菱形． 16．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺作圖 （1）如圖1，在CD上找點(diǎn)F，使點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)； （2）如圖2，在AD上找點(diǎn)G，使點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)． 17．一個(gè)不透明的布袋里裝有三個(gè)球，其中2個(gè)紅球，1個(gè)白球，它們除顏色不同外其余都相同： （1）摸出一個(gè)球記下顏色后放回，并攪勻，再摸出一個(gè)球，求兩次摸出的球恰好顏色不同的概率（要求畫樹狀圖或列表）； （2）現(xiàn)再將n個(gè)白球放入布袋中攪勻后使摸出一個(gè)球是白球的概率為，求n的值。 四、（本大題共4小題，每小題8分，滿分32分，） 18．已知關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣2=0． （1）若此方程的一個(gè)根為1，求m的值； （2）求證：不論m取何實(shí)數(shù)，此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 19．如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，若∠DAC=∠B，CD=CE，試說(shuō)明△ACE∽△BAD． 20．某市百貨大樓服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“七彩”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接元旦，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡量減少庫(kù)存．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？ 21．如圖8，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連結(jié)AE，BD，設(shè)AE交CD于點(diǎn)F． （1）求證：△ACE≌△DCB； （2）求證：△ADF∽△BAD． 五、（本大題共10分） 22．如圖9，在Rt△ABC中，∠B=90，BC=5，∠C=30．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF． （1）求證：AE=DF； （2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由． （3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由． 　 六、（本大題共12分） 23. 已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行線l1與l2、l2與l3、l3與l4之間的距離分別為d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3、l4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”． （1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為　 ?。? （2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長(zhǎng)：寬=2：1，求矩形ABCD的寬．（可用備用圖） （3）如圖1，EG過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D且垂直l1于點(diǎn)E，分別交l2，l4于點(diǎn)F，G．將∠AEG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到∠AE′D′（如圖2），點(diǎn)D′在直線l3上，以AD′為邊在E′D′左側(cè)作菱形AB′C′D′，使B′，C′分別在直線l2，l4上，求菱形AB′C′D′的邊長(zhǎng)． L1 L2 L3 L4 備用圖 L1 L2 L3 L4 備用圖 絕密★啟用前 崇仁一中2016-2017學(xué)年度上學(xué)期初三期中 數(shù)學(xué)試題解答參考 一、選擇題（本大題共6分，每小題3分，共18分。） 1．B 2．c 3．D 4．D 5．C 6．B 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 7．x2-3x+4=0 8．(x+2)2=3 9．﹣3 10． 11．∠AED=∠B 或∠ADE=∠C或= 12．解：如圖，連接BD′，過(guò)D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P ∵點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上， ∴MD′=PD′， 設(shè)MD′=x，則PD′=BM=x， ∴AM=AB﹣BM=7﹣x， 又折疊圖形可得AD=AD′=5， ∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4， 即MD′=3或4． 在Rt△END′中，設(shè)ED′=a， ①當(dāng)MD′=3時(shí)，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a， ∴a2=22+（4﹣a）2， 解得a=，即DE=， ②當(dāng)MD′=4時(shí)，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a， ∴a2=12+（3﹣a）2， 解得a=，即DE=． 故答案為：或． 13.解：x1=-9或x2=1 14. 解：將x=2代入方程x2+ax+a﹣3=0得4+2a+a﹣3=0，解得a=﹣， 方程為x2﹣x﹣=0，即3x2﹣x﹣10=0， 解得設(shè)x1=﹣，x2=2． 所以另一個(gè)根為- 15. 證明：在△ADE和△CDF中， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED=∠CFD=90． 又∵DE=DF， ∴△ADE≌△CDF（AAS） ∴DA=DC， ∴平行四邊形ABCD是菱形． 16. 解： （1）如圖1所示： （2）如圖2所示： 17解：（1）畫樹狀圖、列表得： 第二次 第一次 白 紅1 紅2 白 白，白 白，紅1 白，紅2 紅1 紅1，白 紅1，紅1 紅1，紅2 紅2 紅2，白 紅2，紅1 紅2，紅2 ∴一共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球恰好顏色不同的有4種， ∴兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為； （2）由題意得：， 解得：n=4． 經(jīng)檢驗(yàn)，n=4是所列方程的解，且符合題意， ∴n=4． 18. 解：（1）根據(jù)題意，將x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0， 得：1+m+m﹣2=0， 解得：m=； （2）∵△=m2﹣41（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0， ∴不論m取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 19. 證明：∵CE=CD， ∴∠CED=∠CDE， ∴∠AEC=∠ADB， ∵∠DAC=∠B， ∴△ACE∽△BAD． 20. 解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，則 （40﹣x）（20+2x）=1200， 解得x1=10，x2=20， 因?yàn)閿U(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫(kù)存， 所以x只取20． 答：每件童裝應(yīng)降價(jià)20元． 21. 解：（1）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形， ∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60 ∴∠ACE=∠DCB=120． ∴△ACE≌△DCB（SAS）； （2）∵△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB． ∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60， ∴DC∥BE， ∴∠CDB=∠DBE， ∴∠CAE=∠DBE， ∴∠DAF=∠DBA． ∴△ADF∽△BAD． 22. 【解答】（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90，∠C=30，DC=2t， ∴DF=t． 又∵AE=t， ∴AE=DF． （2）解：能．理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． 又AE=DF， ∴四邊形AEFD為平行四邊形． ∵AB=BC?tan30=5=5， ∴AC=2AB=10． ∴AD=AC﹣DC=10﹣2t． 若使?AEFD為菱形，則需AE=AD， 即t=10﹣2t，t=． 即當(dāng)t=時(shí)，四邊形AEFD為菱形． （3）解：①∠EDF=90時(shí)，四邊形EBFD為矩形． 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30， ∴AD=2AE． 即10﹣2t=2t，t=． ②∠DEF=90時(shí)，由（2）四邊形AEFD為平行四邊形知EF∥AD， ∴∠ADE=∠DEF=90． ∵∠A=90﹣∠C=60， ∴AD=AE?cos60． 即10﹣2t=t，t=4． ③∠EFD=90時(shí)，此種情況不存在． 綜上所述，當(dāng)t=秒或4秒時(shí)，△DEF為直角三角形． 23.解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED=90 ∴∠DGC=90， ∵四邊形ABCD為正方形 ∴∠ADC=90，AD=CD，∵∠ADE+∠2=90， ∴∠1+∠2=90， ∴∠1=∠ADE， ∵l3∥l4 ∴∠1=∠DCG， ∠ADE=∠DCG， 在△AED與△DGC中， ， ∴△AED≌△GDC（AAS）， ∴AE=GD=1，ED=GC=3， ∴AD==， 故答案為：； （2）如圖2過(guò)點(diǎn)B作BE⊥L1于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)BE交L4于點(diǎn)F， 則BE=1，BF=3， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90， ∴∠ABE+∠FBC=90， ∵∠ABE+∠EAB=90， ∴∠FBC=∠EAB， 當(dāng)AB＜BC時(shí)，AB=BC， ∴AE=BF=， ∴AB==； 如圖3當(dāng)AB＞BC時(shí)， 同理可得：BC=， ∴矩形的寬為：，； （3）如圖4過(guò)點(diǎn)E′作ON垂直于l1分別交l1，l4于點(diǎn)O，N， ∵∠OAE′=30，則∠E′FN=60 ∵AE′=AE=1， 故E′O=，E′N=，E′D′=， 由勾股定理可知菱形的邊長(zhǎng)為：==．