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河北省唐山市遷安一中2016-2017學(xué)年九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：（本大題共14題，每小題3，共42分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1．有19位同學(xué)參加歌詠比賽，所得的分數(shù)互不相同，取得前10位同學(xué)進入決賽．某同學(xué)知道自己的分數(shù)后，要判斷自己能否進入決賽，他只需知道這19位同學(xué)的（　　） A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差 2．某特警部隊為了選拔“神槍手”，舉行了1000米射擊比賽，最后由甲、乙兩名戰(zhàn)士進入決賽，在相同條件下，兩人各射靶10次，經(jīng)過統(tǒng)計計算，甲、乙兩名戰(zhàn)士的總成績都是99.68環(huán)，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，則下列說法中，正確的是（　　） A．甲的成績比乙的成績穩(wěn)定 B．乙的成績比甲的成績穩(wěn)定 C．甲、乙兩人成績的穩(wěn)定性相同 D．無法確定誰的成績更穩(wěn)定 3．對于數(shù)據(jù)3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等，其中正確的結(jié)論有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．綜合實踐活動中，同學(xué)們做泥塑工藝制作．小明將各同學(xué)的作品完成情況繪成了如圖的條形統(tǒng)計圖．根據(jù)圖表，我們可以知道平均每個學(xué)生完成作品（　　） A．12件 B．8.625件 C．8.5件 D．9件 5．方程x2﹣x+2=0根的情況是（　?。? A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 6．解方程2（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的最適當?shù)姆椒ㄊ牵ā　。? A．直接開平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 7．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應(yīng)變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 8．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　） A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 9．方程x2﹣9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（　?。? A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定 10．設(shè)a，b是方程x2+x﹣2009=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（　?。? A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 11．為了讓江西的山更綠、水更清，2008年省委、省政府提出了確保到2010年實現(xiàn)全省森林覆蓋率達到63%的目標，已知2008年我省森林覆蓋率為60.05%，設(shè)從2008年起我省森林覆蓋率的年平均增長率為x，則可列方程（　　） A．60.05（1+2x）=63% B．60.05（1+2x）2=63 C．60.05（1+x）=63% D．60.05（1+x）2=63 12．某班同學(xué)畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1035張照片，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（　?。? A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=10352 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035 13．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，則平行四邊形ABCD的周長為（　?。? A．4+2 B．12+6 C．2+2 D．2+2或12+6 14．在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（　?。? A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0 C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0 　 二．填空題（本題共3小題，每個3分，共9分） 15．已知2是關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一個根，則該方程的另一個根是　?。? 16．如圖，在長為32m，寬為20m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540m2，設(shè)道路的寬為xm，則可列方程為　?。? 17．在實屬范圍內(nèi)定義新運算“⊕”其法則為a⊕b=a2﹣b2，則（4⊕3）⊕x=24的解為　　． 　 三．解答題（本大題共4題，共49分） 18．（20分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠? ①（x﹣2）2=2 ②x（x﹣6）=2（x﹣8） ③3（5﹣x）2=2（x﹣5） ④3x2=4x﹣1． 19．（9分）某商場服裝部銷售一種襯衫，平均每天可銷售20件，每件盈利40元，為了擴大銷售 減少庫存，商場決定降價銷售，經(jīng)調(diào)查，每件降價4元，平均每天可以多賣出8件，若商場要求每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？ 20．（10分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0 （1）求證：無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根． （2）若等腰△ABC的一邊長為a=6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長． 21．（10分）如圖，在平面直角坐標系中有一點A，OA=16，動點P從A開始以每秒2個單位的速度向x軸負半軸運動，動點Q從0開始以每秒1個單位的速度向y軸正半軸運動，P，Q同時出發(fā)，設(shè)時間為t； （1）當t為何值時，三角形OPQ為等腰三角形； （2）當t為何值時，三角形OPQ的面積為15． 　  2016-2017學(xué)年河北省唐山市遷安一中九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：（本大題共14題，每小題3，共42分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1．有19位同學(xué)參加歌詠比賽，所得的分數(shù)互不相同，取得前10位同學(xué)進入決賽．某同學(xué)知道自己的分數(shù)后，要判斷自己能否進入決賽，他只需知道這19位同學(xué)的（　　） A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差 【考點】統(tǒng)計量的選擇． 【分析】因為第10名同學(xué)的成績排在中間位置，即是中位數(shù)．所以需知道這19位同學(xué)成績的中位數(shù)． 【解答】解：19位同學(xué)參加歌詠比賽，所得的分數(shù)互不相同，取得前10位同學(xué)進入決賽，中位數(shù)就是第10位，因而要判斷自己能否進入決賽，他只需知道這19位同學(xué)的中位數(shù)就可以． 故選：B． 【點評】中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．學(xué)會運用中位數(shù)解決問題． 　 2．某特警部隊為了選拔“神槍手”，舉行了1000米射擊比賽，最后由甲、乙兩名戰(zhàn)士進入決賽，在相同條件下，兩人各射靶10次，經(jīng)過統(tǒng)計計算，甲、乙兩名戰(zhàn)士的總成績都是99.68環(huán)，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，則下列說法中，正確的是（　?。? A．甲的成績比乙的成績穩(wěn)定 B．乙的成績比甲的成績穩(wěn)定 C．甲、乙兩人成績的穩(wěn)定性相同 D．無法確定誰的成績更穩(wěn)定 【考點】方差． 【分析】根據(jù)方差的意義可作出判斷．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定． 【解答】解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21， ∴S甲2＞S乙2， ∴乙的成績比甲的成績穩(wěn)定； 故選B． 【點評】本題考查方差的意義，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定． 　 3．對于數(shù)據(jù)3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等，其中正確的結(jié)論有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】眾數(shù)；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)． 【分析】先把數(shù)據(jù)按大小排列，然后根據(jù)定義分別求出眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，最后逐一判斷． 【解答】解：從小到大排列此數(shù)據(jù)為：2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10． 數(shù)據(jù)3出現(xiàn)了6次，最多，為眾數(shù)； 第6位是3，3是中位數(shù)； 平均數(shù)為（2+2+3+3+3+3+3+3+6+6+10）11=4． 故選A． 【點評】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力．要明確定義．一些學(xué)生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而誤選其它選項．注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求．如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)． 　 4．綜合實踐活動中，同學(xué)們做泥塑工藝制作．小明將各同學(xué)的作品完成情況繪成了如圖的條形統(tǒng)計圖．根據(jù)圖表，我們可以知道平均每個學(xué)生完成作品（　　） A．12件 B．8.625件 C．8.5件 D．9件 【考點】加權(quán)平均數(shù)；條形統(tǒng)計圖． 【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法，用作品的總件數(shù)除以總?cè)藬?shù)，計算即可得解． 【解答】解： = =8.625（件）． 故選：B． 【點評】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算，要注意作品件數(shù)相應(yīng)的權(quán)重． 　 5．方程x2﹣x+2=0根的情況是（　　） A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 【考點】根的判別式． 【分析】把a=1，b=﹣1，c=2代入△=b2﹣4ac進行計算，然后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況． 【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=2， ∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣412=﹣7＜0， 所以方程沒有實數(shù)根． 故選D． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b2﹣4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根． 　 6．解方程2（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的最適當?shù)姆椒ㄊ牵ā　。? A．直接開平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】本題要選擇適合的方法解方程，通過觀察可知方程的左右兩邊都含有（5x﹣1），可將方程化簡為[2（5x﹣1）﹣3]（5x﹣1）=0即5（2x﹣1）（5x﹣1）=0，因此根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0．”即可解出此題．因此用因式分解法解題最合適． 【解答】解：方程可化為[2（5x﹣1）﹣3]（5x﹣1）=0， 即5（2x﹣1）（5x﹣1）=0， 根據(jù)分析可知分解因式法最為合適． 故選D． 【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的提點靈活選用合適的方法．本題運用的是因式分解法． 　 7．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應(yīng)變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】方程常數(shù)項移到右邊，兩邊加上1變形即可得到結(jié)果． 【解答】解：方程移項得：x2﹣2x=5， 配方得：x2﹣2x+1=6， 即（x﹣1）2=6． 故選：B 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵． 　 8．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根， ∴，即， 解得k＞﹣1且k≠0． 故選B． 【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵． 　 9．方程x2﹣9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（　?。? A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系． 【分析】先解一元二次方程，由于未說明兩根哪個是腰哪個是底，故需分情況討論，從而得到其周長． 【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3 ∵當?shù)诪?，腰為3時，由于3+3=6，不符合三角形三邊關(guān)系 ∴等腰三角形的腰為6，底為3 ∴周長為6+6+3=15 故選C． 【點評】此題是一元二次方程的解結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意分類討論． 　 10．設(shè)a，b是方程x2+x﹣2009=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（　　） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解． 【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根據(jù)方程的解的意義，求得（a2+a）的值，由根與系數(shù)的關(guān)系得到（a+b）的值，即可求解． 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2009=0的根， ∴a2+a=2009； 由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=﹣1， ∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009﹣1=2008． 故選：C． 【點評】本題綜合考查了一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，要正確解答本題還要能對代數(shù)式進行恒等變形． 　 11．為了讓江西的山更綠、水更清，2008年省委、省政府提出了確保到2010年實現(xiàn)全省森林覆蓋率達到63%的目標，已知2008年我省森林覆蓋率為60.05%，設(shè)從2008年起我省森林覆蓋率的年平均增長率為x，則可列方程（　　） A．60.05（1+2x）=63% B．60.05（1+2x）2=63 C．60.05（1+x）=63% D．60.05（1+x）2=63 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1+增長率），如果設(shè)從2008年起我省森林覆蓋率的年平均增長率為x，根據(jù)“2010年實現(xiàn)全省森林覆蓋率達到63%的目標”，可列出所求的方程． 【解答】解：設(shè)從2008年起我省森林覆蓋率的年平均增長率為x，依題意得60.05%（1+x）2=63%． 即60.05（1+x）2=63． 故選D． 【點評】本題考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1x）2=b（當增長時中間的“”號選“+”，當降低時中間的“”號選“﹣”）． 　 12．某班同學(xué)畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1035張照片，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（　?。? A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=10352 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】如果全班有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要送出（x﹣1）張，共有x名學(xué)生，那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）張，即可列出方程． 【解答】解：∵全班有x名同學(xué)， ∴每名同學(xué)要送出（x﹣1）張； 又∵是互送照片， ∴總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）=1035． 故選C． 【點評】本題考查一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用．計算全班共送多少張，首先確定一個人送出多少張是解題關(guān)鍵． 　 13．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，則平行四邊形ABCD的周長為（　　） A．4+2 B．12+6 C．2+2 D．2+2或12+6 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理． 【分析】利用已知條件和平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理，即可求解． 【解答】解：∵平行四邊形ABCD ∴AD∥BC， ∵AE⊥BC于E， ∵AE=EB=EC=a， ∴△AEB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，即AB=a，BC=BE+CE=2a， ∴平行四邊形ABCD的周長=2（AB+BC）=2a（2+）， ∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，解此方程得x=﹣3或x=1，顯然x=﹣3，不合題意，x=1， ∴x=a=1， ∴平行四邊形ABCD的周長=2（AB+BC）=2a（2+）=2（2+）=4+2 故選A． 【點評】本題要求我們能根據(jù)所給的條件與圖形，觀察出△BAE的特殊性，綜合運用平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理求得平行四邊形的周長． 　 14．在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（　?。? A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0 C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】本題可設(shè)長為（80+2x），寬為（50+2x），再根據(jù)面積公式列出方程，化簡即可． 【解答】解：依題意得：（80+2x）（50+2x）=5400， 即4000+260x+4x2=5400， 化簡為：4x2+260x﹣1400=0， 即x2+65x﹣350=0． 故選：B． 【點評】本題考查的是一元二次方程的運用，解此類題目要注意運用面積的公式列出等式再進行化簡． 　 二．填空題（本題共3小題，每個3分，共9分） 15．已知2是關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一個根，則該方程的另一個根是　﹣6?。? 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解． 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=﹣，x1?x2=，此題選擇兩根和即可求得． 【解答】解：∵2是關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一個根， ∴2+x1=﹣4， ∴x1=﹣6， ∴該方程的另一個根是﹣6． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系． 　 16．如圖，在長為32m，寬為20m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540m2，設(shè)道路的寬為xm，則可列方程為?。?2﹣x）（20﹣x）=540?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】把道路進行平移，可得草坪面積=長為32﹣x，寬為20﹣x的面積，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解． 【解答】解：把道路進行平移，可得草坪面積為一個矩形，長為32﹣x，寬為20﹣x， ∴可列方程為：（32﹣x）（20﹣x）=540． 故答案為（32﹣x）（20﹣x）=540． 【點評】本題考查用一元二次方程解決圖形問題，關(guān)鍵是得到草坪面積的等量關(guān)系． 　 17．在實屬范圍內(nèi)定義新運算“⊕”其法則為a⊕b=a2﹣b2，則（4⊕3）⊕x=24的解為　x1=5，x2=﹣5　． 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】根據(jù)題意將原式轉(zhuǎn)化為一元二次方程進而利用直接開平方法求出即可． 【解答】解：∵a⊕b=a2﹣b2， ∴（4⊕3）⊕x=24可化為：（42﹣32）⊕x=24， 則72﹣x2=24， 故x2=25， 解得：x1=5，x2=﹣5． 故答案為：x1=5，x2=﹣5． 【點評】此題主要考查了直接開平方法解方程，正確利用已知將原式轉(zhuǎn)化為方程是解題關(guān)鍵． 　 三．解答題（本大題共4題，共49分） 18．（20分）（2016秋?遷安市校級月考）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠? ①（x﹣2）2=2 ②x（x﹣6）=2（x﹣8） ③3（5﹣x）2=2（x﹣5） ④3x2=4x﹣1． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】①先把方程變形為（x﹣2）2=4，然后利用直接開平方法解方程； ②先把方程化一般式得到x2﹣8x+16=0，然后利用因式分解法解方程； ③先把方程變形為3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程； ④先把方程化為一般式為3x2﹣4x+1=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：①（x﹣2）2=4， x﹣2=2， 所以x1=4，x2=0； ②x2﹣8x+16=0 （x﹣4）2=0， 所以x1=x2=4； ③3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0， （x﹣5）（3x﹣15﹣2）=0， x﹣5=0或3x﹣15﹣2=0， 所以x1=5，x2=； ④3x2﹣4x+1=0， （3x﹣1）（x﹣1）=0， 3x﹣1=0或x﹣1=0， 所以x1=，x2=1． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）． 　 19．某商場服裝部銷售一種襯衫，平均每天可銷售20件，每件盈利40元，為了擴大銷售 減少庫存，商場決定降價銷售，經(jīng)調(diào)查，每件降價4元，平均每天可以多賣出8件，若商場要求每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？ 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)每件服裝應(yīng)降價x元，根據(jù)均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，要降價，如果每件服裝降價4元，商場平均每天可多售出8件，若商場每天要獲利潤1200元，可列方程求解． 【解答】解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，據(jù)題意得： （40﹣x）（20+2x）=1200， 解得x=10或x=20． 因題意要盡快減少庫存，所以x取20． 答：每件襯衫至少應(yīng)降價20元． 【點評】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是看出降價和銷售量的關(guān)系，然后以利潤做為等量關(guān)系列方程求解． 　 20．（10分）（2009春?海淀區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0 （1）求證：無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根． （2）若等腰△ABC的一邊長為a=6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長． 【考點】根的判別式；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，當△≥0時，方程有兩個實數(shù)根，所以只需證明△≥0即可． （2）利用求根公式計算出方程的兩根x1=3k﹣1，x2=2，則可設(shè)b=2k﹣1，c=2，然后討論：當a、b為腰；當b、c為腰，分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計算周長即可． 【解答】（1）證明：△=[﹣（3k+1）]2﹣41（2k2+2k）， =k2﹣2k+1， =（k﹣1）2， ∵無論k取什么實數(shù)值，（k﹣1）2≥0， ∴△≥0， 所以無論k取什么實數(shù)值，方程總有實數(shù)根； （2）x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0， 因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）=0， 解得：x1=2k，x2=k+1， ∵b，c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，設(shè)b=2k，c=k+1， 當a、b為腰，則a=b=6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周長為：6+6+4=16； 當b、c為腰，則k+1=2k，解得k=1， ∴b=c=2，因為6，2，2不構(gòu)成三角形，∴所以這種情況不成立； 當a、c為腰 k+1=6 則k=5， ∴b=10， ∴三角形的周長為：6+6+10=22． 綜上，三角形的周長為16或22． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運用． 　 21．（10分）（2016秋?遷安市校級月考）如圖，在平面直角坐標系中有一點A，OA=16，動點P從A開始以每秒2個單位的速度向x軸負半軸運動，動點Q從0開始以每秒1個單位的速度向y軸正半軸運動，P，Q同時出發(fā)，設(shè)時間為t； （1）當t為何值時，三角形OPQ為等腰三角形； （2）當t為何值時，三角形OPQ的面積為15． 【考點】等腰三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；坐標與圖形性質(zhì)． 【分析】（1）分兩種情況討論：P在x軸正半軸上和P在x軸負半軸上，根據(jù)三角形OPQ為等腰三角形，列出關(guān)于t的方程進行求解即可； （2）分兩種情況討論：P在x軸正半軸上和P在x軸負半軸上，根據(jù)三角形OPQ的面積為15，列出關(guān)于t的方程進行求解即可． 【解答】解：（1）①當P在x軸正半軸上時，OP=16﹣2t，OQ=t， ∵∠POQ=90， ∴當OP=OQ時，三角形OPQ為等腰三角形， 此時，16﹣2t=t，解得t=； ②當P在x軸負半軸上時，OP=2t﹣16，OQ=t， ∵∠POQ=90， ∴當OP=OQ時，三角形OPQ為等腰三角形， 此時，2t﹣16=t，解得t=16； 綜上所述，當t為或16秒時，三角形OPQ為等腰三角形； （2）①當P在x軸正半軸上時，OP=16﹣2t，OQ=t， ∵∠POQ=90，三角形OPQ的面積為15， ∴（16﹣2t）t=15， 解得t=3或5； ②當P在x軸負半軸上時，OP=2t﹣16，OQ=t， ∵∠POQ=90，三角形OPQ的面積為15， ∴（2t﹣16）t=15， 解得t=4+或4﹣（舍去）， 綜上所述，當t為3或5或4+秒時，三角形OPQ的面積為15． 【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定以及直角三角形的面積計算問題，解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想，根據(jù)等量關(guān)系列方程求解．