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江西省崇仁縣第一中學2017屆九年級數(shù)學上學期第一次月考試題 （時間：120分鐘，滿分120分） 一、選擇題（本大題共6分，每小題3分，共18分。） 1．（本題3分）下列命題中，真命題是（）. A．兩條對角線垂直且相等的四邊形是正方形 B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．兩條對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 2．（本題3分）如圖，一個含有30角的直角三角板的兩個頂點放在一個矩形的對邊上，如果∠1=25，那么∠2的度數(shù)是（） A．100 B．105 C．115 D．120 3．（本題3分）如圖，要使平行四邊形ABCD成為菱形，需添加的一個條件是（） A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90 D．AC與BD互相平分 4．（本題3分）若方程是關于x的一元二次方程，則m的值是（） A． B．m=2 C．m= —2 D． 5．（本題3分）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2－6x＋8＝0的一個根，則這個三角形的周長是（） A．9 B．11 C．13 D．11或13 6．（本題3分）根據(jù)下列表格的對應值,判斷方程ax2+bx+c=0一個解的范圍是 x 3．23 3．24 3．25 3．26 ax2+bx+c -0．06 -0．02 0．03 0．09 A．3＜x＜3．23 B．3．23＜x＜3．24 C．3．24＜x＜3．25 D．3．25＜x＜3．26 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 7．（本題3分）若關于x的一元二次方程ax2－bx+c=0有一個根為0，則c=． 8．（本題3分）菱形ABCD的周長為36，其相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)比為1：5，則此菱形的面積為． 9．（本題3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E， 連接DF，則∠CDF等于____ 10．（本題3分）如圖，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面積為16，AE=1，則正方形EFGH的面積為． 10題 12題 9題 11．（本題3分）在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“”，其規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)則，方程的解為． 12．（本題3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點F是對角線BD上的一點，EF∥AB交AD于點E，F(xiàn)G∥BC交DC于點G，四邊形EFGP是平行四邊形，給出如下結論： ①四邊形EFGP是菱形； ②△PED為等腰三角形； ③若∠ABD=90，則△EFP≌△GPD； ④若四邊形FPDG也是平行四邊形，則BC∥AD且∠CDA=60． 其中正確的結論的序號是（把所有正確結論的序號都填在橫線上）． 三、解答題（6+6+6+6+6+8+8+8+8+10+12=84分） 13．（本題6分）（（12分）如圖，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 14題15題 求證：四邊形BCDE是矩形． 14．（本題6分）（本題滿分4分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠ABD，CE∥AD交AB于E．求證：四邊形AECD是菱形； 15．（本題6分）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=90，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB． 求證：四邊形BEDF是正方形． 16．（本題6分）（8分）已知是方程的一個根，求的值 17．（本題6分）（本題滿分10分）按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 18．（本題8分）（2015?江西校級模擬）如圖是一個正方形網(wǎng)格圖，圖中已畫了線段AB和線段EG，請使用無刻度的直尺在正方形網(wǎng)格中畫圖． （1）畫一個以AB為邊的正方形ABCD； （2）畫一個以EG為一條對角線的菱形EFGH，且面積與（1）中正方形的面積相等． （1）畫一個以AB為邊的正方形ABCD； （2）畫一個以EG為一條對角線的菱形EFGH，且面積與（1）中正方形的面積相等． 19．（本題8分）閱讀下面的材料，回答問題： 解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是： 設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4． 當y=1時，x2=1，∴x=1； 當y=4時，x2=4，∴x=2； ∴原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0． 20．（本題8分）（8分）（2010?泰州）如圖，四邊形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90． （1）求證：AC∥DE； （2）過點B作BF⊥AC于點F，連接EF，試判別四邊形BCEF的形狀，并說明理由． 21．（本題8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點． 22題 （1）求證：四邊形EGFH是菱形； （2）若AB=1，則當∠ABC+∠DCB=90時，求四邊形EGFH的面積． 22．（本題10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． （1）求證：CE=AD； （2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； （3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 23．（本題12分）（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求的度數(shù)． （2）如圖②，在Rt△ABD中，，，點M，N是BD邊上的任意兩點，且，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADH位置，連接，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關系，并說明理由． （3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若，，，求AG，MN的長． 絕密★啟用前 崇仁一中2016-2017學年度上學期初三月考一 數(shù)學試題解答參考 一、選擇題（本大題共6分，每小題3分，共18分。） 1．（本題3分）下列命題中，真命題是（）. A．兩條對角線垂直且相等的四邊形是正方形 B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．兩條對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 【答案】C 【解析】 試題分析：因為兩條對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以A錯誤，是假命題；因為兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B錯誤，是假命題；因為兩條對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以C正確，是真命題；因為一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以D錯誤，是假命題,故選：C. 考點：1.特殊四邊形的判定；2.命題. 2．（本題3分）如圖，一個含有30角的直角三角板的兩個頂點放在一個矩形的對邊上，如果∠1=25，那么∠2的度數(shù)是（） A．100 B．105 C．115 D．120 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)題意可得：∠AEF=90－25=65，根據(jù)AD∥BC可得∠AEF+∠2=180，則∠2=115． 考點：平行線的性質(zhì)． 3．（本題3分）如圖，要使平行四邊形ABCD成為菱形，需添加的一個條件是（） A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90 D．AC與BD互相平分 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)菱形的判定方法得出A正確，B、C、D不正確；即可得出結果． 解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC， ∴平行四邊形ABCD是菱形，故本選項正確； B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD， ∴平行四邊形ABCD是矩形，故本選項錯誤； C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90， ∴四邊形ABCD是矩形， 不能推出，平行四邊形ABCD是菱形，故本選項錯誤； D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD互相平分， ∴四邊形ABCD是矩形，不是菱形； 故選：A． 考點：菱形的判定． 4．（本題3分）若方程是關于x的一元二次方程，則m的值是（） A． B．m=2 C．m= —2 D． 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意得，所以m=2； 故選B 考點：一元二次方程的定義 5．（本題3分）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2－6x＋8＝0的一個根，則這個三角形的周長是（） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)題意知：x2-6x+8=0，利用因式分解法可得（x-2）（x-4）=0，因此x-2=0，x-4=0，解得x1=2，x2=4，所以： 當x=2時，2+3＜6，不符合三角形的三邊關系定理，所以x=2舍去， 當x=4時，符合三角形的三邊關系定理，三角形的周長是3+6+4=13， 故選C 考點：因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關系 6．（本題3分）根據(jù)下列表格的對應值,判斷方程ax2+bx+c=0一個解的范圍是 x 3．23 3．24 3．25 3．26 ax2+bx+c -0．06 -0．02 0．03 0．09 A．3＜x＜3．23 B．3．23＜x＜3．24 C．3．24＜x＜3．25 D．3．25＜x＜3．26 【答案】C 【解析】 試題分析：因為當x=3．24時，ax2+bx+c=-0．02＜0，當x=3．2,5時，ax2+bx+c=0．03＞0，所以方程ax2+bx+c=0一個解在3．24＜x＜3．25，故選：C． 考點：一元二次方程根的估算．  二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 7．（本題3分）若關于x的一元二次方程ax2－bx+c=0有一個根為0，則c=． 【答案】0 【解析】 試題分析：由于方程有一個根為0，直接代入原方程可得c=0. 考點：方程的解 8．（本題3分）菱形ABCD的周長為36，其相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)比為1：5，則此菱形的面積為． 【答案】40.5 【解析】 試題分析：根據(jù)相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)比為1：5，可求出一個30角，根據(jù)周長為36，求出菱形的邊長，根據(jù)直角三角形里30角的性質(zhì)求出高，從而求出面積． 解：作AE⊥BC于E點， ∵其相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)比為1：5， ∴∠B=180=30， ∵菱形ABCD的周長為36， ∴AB=BC=36=9． ∴AE=9=． ∴菱形的面積為：BC?AE=9=40.5． 故答案為：40.5． 點評：本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的鄰角互補，四邊相等． 9．（本題3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E， 連接DF，則∠CDF等于____ 【答案】60. 【解析】 試題分析：連接BF可得△CDF和△CBF全等，則∠CDF=∠CBF，根據(jù)∠BAD=80可得∠BAF=40，∠ABC=100，根據(jù)EF為中垂線，則AF=BF，即∠ABF=∠BAF=40，則∠CBF=∠ABC－∠ABF=60，即∠CDF=60. 考點：菱形的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì). 10．（本題3分）如圖，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面積為16，AE=1，則正方形EFGH的面積為． 【答案】10 【解析】 試題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)找出相等的邊角關系，從而證出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH，再由正方形ABCD的面積為16，AE=1，找出AF的長度，根據(jù)S正方形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AFE即可得出結論． 解：∵四邊形ABCD、EFGH均為正方形， ∴∠A=∠B=90，∠EFG=90，EF=FG． ∵∠AFE+∠BFG=90，∠BFG+∠BGF=90， ∴∠AFE=∠BGF． 在△AFE和△BGF中，， ∴△AFE≌△BGF（AAS）， ∴BF=AE=1． ∵正方形ABCD的面積為16， ∴AB=4，AF=AB﹣BF=3． 同理可證出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH． ∴S正方形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AFE=16﹣413=10． 故答案為：10． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積公式，解題的關鍵是找出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用分割圖形求面積法求出面積是關鍵． 11．（本題3分）在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“”，其規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)則，方程的解為． 【答案】 【解析】 試題分析：因為，所以由可得：，所以，所以，所以． 考點：1．新運算2．解一元二次方程． 12．（本題3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點F是對角線BD上的一點，EF∥AB交AD于點E，F(xiàn)G∥BC交DC于點G，四邊形EFGP是平行四邊形，給出如下結論： ①四邊形EFGP是菱形； ②△PED為等腰三角形； ③若∠ABD=90，則△EFP≌△GPD； ④若四邊形FPDG也是平行四邊形，則BC∥AD且∠CDA=60． 其中正確的結論的序號是（把所有正確結論的序號都填在橫線上）． 【答案】①③④ 【解析】 試題分析：∵EF∥AB， ∴， ∵FG∥BC， ∴， ∴， ∵AB=BC， ∴EF=EG， ∵四邊形EFGP是平行四邊形， ∴四邊形EFGP是菱形，故①正確； ∵BC=CD， ∴∠DBC=∠BDC， ∵FG∥BC， ∴∠DBC=∠DFG， ∴∠DFG=∠BDC， ∴FG=DG， ∵PG=FG=PE， ∴PG=DG， ∵無法證得△PDG是等邊三角形， ∴PD不一定等于PE， ∴△PED不一定是等腰三角形，故②錯誤； ∵∠ABD=90，PG∥EF， ∴PG⊥BD， ∵FG=DG， ∴∠FGP=∠DGP． ∵四邊形EFGP是平行四邊形， ∴∠PEF=∠FGP． ∴∠DGP=∠PEF． 在△EFP和△GPD中 ∴△EFP≌△GPD（SAS）．故③正確； ∵四邊形FPDG也是平行四邊形， ∴FG∥PD， ∵FG∥EP， ∴E、P、D在一條直線上， ∵FG∥BC∥PE， ∴BC∥AD， ∵四邊形FPDG也是平行四邊形， ∵FG=PD， ∵FG=DG=PG， ∴PG=PD=DG， ∴△PGD是等邊三角形， ∴∠CDA=60． ∴四邊形ABCD還應滿足BC∥AD，∠CDA=60．故④正確． 故答案為①③④． 考點：四邊形綜合題 三、解答題（6+6+6+6+6+8+8+8+8+10+12=84分） 13．（本題6分）（（12分）如圖，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 求證：四邊形BCDE是矩形． 【答案】見解析 【解析】 試題分析：先求出∠BAE=∠CAD，進而證明△BAE≌△CAD，得出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四邊形BCDE，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BED+∠CDE=180，求出∠BED，根據(jù)矩形的判定求出即可． 試題解析：證明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC， ∴∠BAE=∠CAD， ∵在△BAE和△CAD中 ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠BEA=∠CDA，BE=CD， ∵DE=CB， ∴四邊形BCDE是平行四邊形， ∵AE=AD， ∴∠AED=∠ADE， ∵∠BEA=∠CDA， ∴∠BED=∠CDE， ∵四邊形BCDE是平行四邊形， ∴BE∥CD， ∴∠CDE+∠BED=180， ∴∠BED=∠CDE=90， ∴四邊形BCDE是矩形． 考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)． 14．（本題6分）（本題滿分4分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠ABD，CE∥AD交AB于E．求證：四邊形AECD是菱形； 【答案】見解析． 【解析】 試題分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)說明AE=CE，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形進行判定． 試題解析：∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠CAD ∵AD∥CE ∴∠ACE=∠CAD ∴∠CAB=∠ACE ∴AE=CE ∵AB∥CD，CE∥AD ∴四邊形AECD是平行四邊形∴□AECD是菱形… 考點：菱形的判定 15．（本題6分）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=90，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB． 求證：四邊形BEDF是正方形． 【答案】見解析 【解析】 試題分析：由題意知，四邊形BEDF是矩形，只要證明有一組鄰邊相等即可得到，四邊形BEDF是正方形． 證明：∵∠ABC=90，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90． ∴四邊形BEDF為矩形． 又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DF=DE． ∴矩形BEDF為正方形． 點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種： ①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等； ②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角． 16．（本題6分）（8分）已知是方程的一個根，求的值 【答案】 【解析】 試題分析：因為是方程的一個根，所以把，代入方程可得：，然后整體代入求值即可. 試題解析：因為是方程的一個根，所以把，代入方程可得：，所以=. 考點：1.方程的根；2.化簡求值. 17．（本題6分）（本題滿分10分）按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）由，得：，配方，得：， ∴，開方得：，∴； （2）由，得：，∴，∴． 考點：1．解一元二次方程-公式法；2．解一元二次方程-配方法． 18．（本題8分）（2015?江西校級模擬）如圖是一個正方形網(wǎng)格圖，圖中已畫了線段AB和線段EG，請使用無刻度的直尺在正方形網(wǎng)格中畫圖． （1）畫一個以AB為邊的正方形ABCD； （2）畫一個以EG為一條對角線的菱形EFGH，且面積與（1）中正方形的面積相等． 【答案】見解析 【解析】 試題分析：（1）利用網(wǎng)格結合勾股定理得出正方形ABCD的各邊； （2）利用菱形的面積公式得出其另一條對角線長為8，進而得出答案． 解：（1）如圖所示：正方形ABCD，即為所求； （2）如圖所示：菱形EFGH，即為所求． 考點：作圖—應用與設計作圖． 19．（本題8分）閱讀下面的材料，回答問題： 解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是： 設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4． 當y=1時，x2=1，∴x=1； 當y=4時，x2=4，∴x=2； ∴原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0． 【答案】（1）換元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2． 【解析】 試題分析：（1）本題主要是利用換元法降次來達到把一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，來求解，然后再解這個一元二次方程． （2）利用題中給出的方法先把x2+x當成一個整體y來計算，求出y的值，再解一元二次方程． 解：（1）換元，降次 （2）設x2+x=y，原方程可化為y2﹣4y﹣12=0， 解得y1=6，y2=﹣2． 由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2． 由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0， b2﹣4ac=1﹣42=﹣7＜0，此時方程無實根． 所以原方程的解為x1=﹣3，x2=2． 考點：換元法解一元二次方程． 20．（本題8分）（8分）（2010?泰州）如圖，四邊形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90． （1）求證：AC∥DE； （2）過點B作BF⊥AC于點F，連接EF，試判別四邊形BCEF的形狀，并說明理由． 【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形BCEF是平行四邊形，理由見解析． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠EDC=∠CAB即可得∠EDC=∠ACD，所以AC∥DE；（2）根據(jù)已知易證△CDE≌△BAF（AAS），可得CE=BF，DE=AF，再由DE=AF，DE∥AF，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，所以AD=EF，再證得EF=BC，CE=BF，即可得四邊形BCEF是平行四邊形． 試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， ∵∠EDC=∠CAB， ∴∠EDC=∠ACD， ∴AC∥DE； （2）解：四邊形BCEF是平行四邊形． 理由如下： ∵BF⊥AC，四邊形ABCD是矩形， ∴∠DEC=∠AFB=90，DC=AB 在△CDE和△BAF中， ， ∴△CDE≌△BAF（AAS）， ∴CE=BF，DE=AF（全等三角形的對應邊相等）， ∵AC∥DE， 即DE=AF，DE∥AF， ∴四邊形ADEF是平行四邊形， ∴AD=EF， ∵AD=BC， ∴EF=BC， ∵CE=BF， ∴四邊形BCEF是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）． 考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)；平行四邊形的判定及性質(zhì)． 21．（本題8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點． （1）求證：四邊形EGFH是菱形； （2）若AB=1，則當∠ABC+∠DCB=90時，求四邊形EGFH的面積． 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】 試題分析：（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的四邊相等，即可證得； （2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證得∠GFH=90，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位線定理求得GE的長，則正方形的面積可以求得． （1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點， ∴FG=CD，HE=CD，F(xiàn)H=AB，GE=AB． ∵AB=CD， ∴FG=FH=HE=EG． ∴四邊形EGFH是菱形． （2）解：∵四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點， ∴GF∥DC，HF∥AB． ∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC． ∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90． ∴∠GFH=90． ∴菱形EGFH是正方形． ∵AB=1， ∴EG=AB=． ∴正方形EGFH的面積=（）2=． 22．（本題10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． （1）求證：CE=AD； （2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； （3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形BECD是菱形，理由見解析；（3）當∠A=45時，四邊形BECD是正方形，理由見解析． 【解析】 試題分析：（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可； （2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可； （3）求出∠CDB=90，再根據(jù)正方形的判定推出即可． 試題解析：（1）∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90， ∵∠ACB=90， ∴∠ACB=∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四邊形ADEC是平行四邊形， ∴CE=AD； （2）解：四邊形BECD是菱形， 理由是：∵D為AB中點， ∴AD=BD， ∵CE=AD， ∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四邊形BECD是平行四邊形， ∵∠ACB=90，D為AB中點， ∴CD=BD， ∴?四邊形BECD是菱形； （3）當∠A=45時，四邊形BECD是正方形，理由是： ∵∠ACB=90，∠A=45， ∴∠ABC=∠A=45， ∴AC=BC， ∵D為BA中點， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90， ∵四邊形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即當∠A=45時，四邊形BECD是正方形． 考點：1．正方形的判定；2．平行四邊形的判定與性質(zhì)；3．菱形的判定． 23．（本題12分）（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求的度數(shù)． （2）如圖②，在Rt△ABD中，，，點M，N是BD邊上的任意兩點，且，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADH位置，連接，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關系，并說明理由． （3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若，，，求AG，MN的長． 【答案】（1） 45．（2） MN2=ND2+DH2．理由見解析；（3）5. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)高AG與正方形的邊長相等，證明三角形全等，進而證明角相等，從而求出解． （2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結論． （3）設出線段的長，結合方程思想，用數(shù)形結合得到結果． 試題解析：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）． ∴∠BAE=∠GAE． 同理，∠GAF=∠DAF． ∴∠EAF=∠BAD=45． （2）MN2=ND2+DH2． ∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45， ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45． ∴∠HAN=∠MAN． 又∵AM=AH，AN=AN， ∴△AMN≌△AHN． ∴MN=HN． ∵∠BAD=90，AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=45． ∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90． ∴NH2=ND2+DH2． ∴MN2=ND2+DH2． （3）由（1）知，BE=EG，DF=FG． 設AG=x，則CE=x-4，CF=x-6． 在Rt△CEF中， ∵CE2+CF2=EF2， ∴（x-4）2+（x-6）2=102． 解這個方程，得x1=12，x2=-2（舍去負根）． 即AG=12．（8分） 在Rt△ABD中， ∴BD=． 在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH， ∴MN2=ND2+BM2． 設MN=a，則a2=（12-3-a）2+（3）2． 即a 2=（9-a）2+（3） 2， ∴a=5．即MN=5. 考點：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.勾股定理．