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2015-2016學年江蘇省無錫市格致中學八年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份） 一、選擇題（310=30） 1．下列交通標識中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．等腰三角形的一邊等于5，一邊等于12，則它的周長是（　?。? A．22 B．29 C．22或29 D．17 3．如圖，給出下列四組條件： ①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF； ③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E． 其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（　?。? A．1組 B．2組 C．3組 D．4組 4．如圖，DE是△ABC中邊AC的垂直平分線，若BC=18cm，AB=10cm，則△ABD的周長為（　?。? A．16 cm B．28 cm C．26 cm D．18 cm 5．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（　　） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 6．請仔細觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，請你根據(jù)所學的三角形全等有關的知識，說明畫出∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 7．小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來一樣大小的三角形玻璃．應該帶（　?。? A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊 8．已知∠AOB=30，點P在∠AOB內(nèi)部，點P1與點P關于OA對稱，點P2與點P關于OB對稱，則△P1OP2是（　　） A．含30角的直角三角形 B．頂角是30的等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 9．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（　?。? A．6 B．7 C．8 D．9 10．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和38，則△EDF的面積為（　?。? A．8 B．12 C．4 D．6 　 二、填空題 11．如圖，是從鏡中看到的一串數(shù)字，這串數(shù)字應為　?。? 12．一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三邊為y、2、6，若這兩個三角形全等，則x+y=　?。? 13．如圖，若∠1=∠2，加上一個條件　　，則有△AOC≌△BOC． 14．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32，則∠BAC=　?。? 15．如圖，△ABC中，∠C=90，AC=BC=a，AB=b，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足為E，則△DEB的周長為　　．（用a、b代數(shù)式表示） 16．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則這個等腰三角形頂角為　?。? 17．如圖，一個經(jīng)過改造的臺球桌面上四個角的陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），那么該球最后將落入　　號球袋． 18．在44的方格中有五個同樣大小的正方形如圖擺放，請你添加一個正方形到空白方格中，使它與其余五個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的添法共有　　種． 　 三、解答題 19．尺規(guī)作圖：某學校正在進行校園環(huán)境的改造工程設計，準備在校內(nèi)一塊四邊形花壇內(nèi)栽上一棵桂花樹．如圖，要求桂花樹的位置（視為點P），到花壇的兩邊AB、BC的距離相等，并且點P到點A、D的距離也相等．請用尺規(guī)作圖作出栽種桂花樹的位置點P（不寫作法，保留作圖痕跡）． 20．要在公路MN上修一個車站P，使得P與A，B兩個地方的距離和最小，請在圖中畫出P的位置． 21．如圖所示，在△AFD和△BEC中，點A、E、F、C在同一條直線上，有下面四個論斷：（1）AD=CB，（2）AE=CF，（3）∠B=∠D，（4）AD∥BC， 請你從這四個條件中選出三個作為已知條件（3個條件都用上），另一個作 為結論，組成一個真命題，并給予證明． 題設：　??； 結論：　　．（均填寫序號） 證明： 22．如圖，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于O點． ①試說明△OBC是等腰三角形； ②連接OA，試判斷直線OA與線段BC的關系，并說明理由． 23．如圖，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥AB，PE∥AC． （1）求△PDE的周長； （2）若∠A=50，求∠BPC的度數(shù)． 24．如圖，直線m經(jīng)過正三角形ABC的頂點A，在直線m上取兩點D，E，使得使∠ADB=∠AEC=120．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明． 25．如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，點D為AB的中點． （1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動． ①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請說明理由． ②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為　　cm/s時，在某一時刻也能夠使△BPD與△CPQ全等． （2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC的三邊運動．求經(jīng)過多少秒后，點P與點Q第一次相遇，并寫出第一次相遇點在△ABC的哪條邊上？ 26．如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題： （1）如果AB=AC，∠BAC=90， ①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為　　，數(shù)量關系為　　． ②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由． 　  2015-2016學年江蘇省無錫市格致中學八年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（310=30） 1．下列交通標識中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷各項即可． 【解答】解：由軸對稱的概念可得，只有B選項符合軸對稱的定義． 故選B． 　 2．等腰三角形的一邊等于5，一邊等于12，則它的周長是（　　） A．22 B．29 C．22或29 D．17 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關系． 【分析】分別從若5為底邊長，12為腰長與若12為底邊長，5為腰長去分析求解即可求得答案． 【解答】解：若5為底邊長，12為腰長， ∵12+5＞12， ∴能組成三角形， ∴此時它的周長是：12+12+5=29； 若12為底邊長，5為腰長， ∵5+5＜12， ∴不能組成三角形，故舍去． ∴它的周長是29． 故選B． 　 3．如圖，給出下列四組條件： ①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF； ③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E． 其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（　?。? A．1組 B．2組 C．3組 D．4組 【考點】全等三角形的判定． 【分析】要使△ABC≌△DEF的條件必須滿足SSS、SAS、ASA、AAS，可據(jù)此進行判斷． 【解答】解：第①組滿足SSS，能證明△ABC≌△DEF． 第②組滿足SAS，能證明△ABC≌△DEF． 第③組滿足ASA，能證明△ABC≌△DEF． 第④組只是SSA，不能證明△ABC≌△DEF． 所以有3組能證明△ABC≌△DEF． 故符合條件的有3組． 故選：C． 　 4．如圖，DE是△ABC中邊AC的垂直平分線，若BC=18cm，AB=10cm，則△ABD的周長為（　　） A．16 cm B．28 cm C．26 cm D．18 cm 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周長=AB+BC，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線， ∴AD=CD， ∴△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC， ∵BC=18cm，AB=10cm， ∴△ABD的周長=18+10=28cm． 故選B． 　 5．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（　?。? A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】本題要從已知條件OP平分∠AOB入手，利用角平分線的性質(zhì)，對各選項逐個驗證，選項D是錯誤的，雖然垂直，但不一定平分OP． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB ∴PA=PB ∴△OPA≌△OPB ∴∠APO=∠BPO，OA=OB ∴A、B、C項正確 設PO與AB相交于E ∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE ∴△AOE≌△BOE ∴∠AEO=∠BEO=90 ∴OP垂直AB 而不能得到AB平分OP 故D不成立 故選D． 　 6．請仔細觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，請你根據(jù)所學的三角形全等有關的知識，說明畫出∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性質(zhì)，全等三角形的對應角相等． 【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依據(jù)SSS可判定△COD≌△COD（SSS），則△COD≌△COD，即∠AOB=∠AOB（全等三角形的對應角相等）． 故選D． 　 7．小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來一樣大小的三角形玻璃．應該帶（　　） A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊 【考點】全等三角形的應用． 【分析】根據(jù)題意應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證． 【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)ィ? 只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的． 故選：B． 　 8．已知∠AOB=30，點P在∠AOB內(nèi)部，點P1與點P關于OA對稱，點P2與點P關于OB對稱，則△P1OP2是（　　） A．含30角的直角三角形 B．頂角是30的等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結合等邊三角形的判定求解． 【解答】解：∵P為∠AOB內(nèi)部一點，點P關于OA、OB的對稱點分別為P1、P2， ∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60， ∴故△P1OP2是等邊三角形． 故選C． 　 9．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【考點】等腰三角形的判定． 【分析】根據(jù)題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰． 【解答】解：如上圖：分情況討論． ①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個； ②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個． 故選：C． 　 10．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和38，則△EDF的面積為（　　） A．8 B．12 C．4 D．6 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】過點D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DF=DH，然后利用“HL”證明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△EDF=S△GDH，設面積為S，然后根據(jù)S△ADF=S△ADH列出方程求解即可． 【解答】解：如圖，過點D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB， ∴DF=DH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中，， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△EDF=S△GDH，設面積為S， 同理Rt△ADF≌Rt△ADH， ∴S△ADF=S△ADH， 即38+S=50﹣S， 解得S=6． 故選D． 　 二、填空題 11．如圖，是從鏡中看到的一串數(shù)字，這串數(shù)字應為　810076?。? 【考點】鏡面對稱． 【分析】關于鏡子的像，實際數(shù)字與原來的數(shù)字關于豎直的線對稱，根據(jù)相應數(shù)字的對稱性可得實際數(shù)字． 【解答】解：∵是從鏡子中看， ∴對稱軸為豎直方向的直線， ∵鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反， ∴這串數(shù)字應為 810076， 故答案為：810076． 　 12．一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三邊為y、2、6，若這兩個三角形全等，則x+y=　11　． 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)已知條件分清對應邊，結合全的三角形的性質(zhì)可得出答案． 【解答】解：∵這兩個三角形全等，兩個三角形中都有2 ∴長度為2的是對應邊，x應是另一個三角形中的邊6．同理可得y=5 ∴x+y=11． 故填11． 　 13．如圖，若∠1=∠2，加上一個條件　∠A=∠B　，則有△AOC≌△BOC． 【考點】全等三角形的判定． 【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，如∠A=∠B，或者OA=OB等． 【解答】解：∠A=∠B， 理由是：在△AOC和△BOC中， ， ∴△AOC≌△BOC（AAS）． 故答案為：∠A=∠B． 　 14．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32，則∠BAC=　69?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】由題意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出底角，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關系即可求出內(nèi)角∠CAD，再相加即可求出∠BAC的度數(shù)． 【解答】解：在△ABC中，AB=AD=DC， 在三角形ABD中，∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB==74， 在三角形ADC中，又∵AD=DC， ∴∠CAD=∠ADB=74=37． ∴∠BAC=32+37=69． 故答案為：69． 　 15．如圖，△ABC中，∠C=90，AC=BC=a，AB=b，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足為E，則△DEB的周長為　b?。ㄓ胊、b代數(shù)式表示） 【考點】角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】由題目的已知條件應用AAS易證△CAD≌△EAD．得到DE=CD，于是BD+DE=BC=AC=AE，則周長可利用對應邊相等代換求解． 【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90，DE⊥AB， ∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED． 在△CAD和△EAD中， ， ∴△CAD≌△EAD（AAS）， ∴AC=AE，CD=DE． ∵AC=BC， ∴BC=AE． ∴△DEB的周長為DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=AB=b． 故答案為：b． 　 16．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則這個等腰三角形頂角為　60或120?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上．根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應分兩種情況進行討論． 【解答】解：當高在三角形內(nèi)部時（如圖1），頂角是60； 當高在三角形外部時（如圖2），頂角是120． 故答案為：60或120． 　 17．如圖，一個經(jīng)過改造的臺球桌面上四個角的陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），那么該球最后將落入　1　號球袋． 【考點】生活中的軸對稱現(xiàn)象． 【分析】由已知條件，按照反射的原理畫圖即可得出結論． 【解答】解： 如圖，該球最后將落入1號球袋． 　 18．在44的方格中有五個同樣大小的正方形如圖擺放，請你添加一個正方形到空白方格中，使它與其余五個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的添法共有　4　種． 【考點】利用軸對稱設計圖案． 【分析】因為中間4個小正方形組成一個大的正方形，正方形有四條對稱軸，試著利用這四條對稱軸添加圖形得出答案即可． 【解答】解：如圖所示． 這樣的添法共有4種． 故答案為：4． 　 三、解答題 19．尺規(guī)作圖：某學校正在進行校園環(huán)境的改造工程設計，準備在校內(nèi)一塊四邊形花壇內(nèi)栽上一棵桂花樹．如圖，要求桂花樹的位置（視為點P），到花壇的兩邊AB、BC的距離相等，并且點P到點A、D的距離也相等．請用尺規(guī)作圖作出栽種桂花樹的位置點P（不寫作法，保留作圖痕跡）． 【考點】作圖—應用與設計作圖． 【分析】到AB、BC距離相等的點在∠ABC的平分線上，到點A、D的距離相等的點在線段AD的垂直平分線上，AD的中垂線與∠B的平分線的交點即為點P的位置． 【解答】解：如圖所示：點P即為所求． 　 20．要在公路MN上修一個車站P，使得P與A，B兩個地方的距離和最小，請在圖中畫出P的位置． 【考點】作圖—應用與設計作圖；軸對稱-最短路線問題． 【分析】作出A點關于MN的對稱點A′，再連接A′B，與MN交于一點，就是P點所在位置． 【解答】解：如圖所示： ， 點P即為所求． 　 21．如圖所示，在△AFD和△BEC中，點A、E、F、C在同一條直線上，有下面四個論斷：（1）AD=CB，（2）AE=CF，（3）∠B=∠D，（4）AD∥BC， 請你從這四個條件中選出三個作為已知條件（3個條件都用上），另一個作 為結論，組成一個真命題，并給予證明． 題設：　（1）（2）（4）　； 結論：　（3）?。ň顚懶蛱枺? 證明： 【考點】命題與定理． 【分析】選擇①②④得到③，組成命題為如果AD=CB，AE=CF，AD∥BC，那么∠D=∠B；利用“SAS”證明△ADF≌△CBE，然后根據(jù)相似的性質(zhì)得到∠D=∠B． 【解答】解：題設：（1）（2）（4）； 結論：（3）． 證明如下：∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵AE=CF， ∴AE+EF=EF+CF， ∴AF=CE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠D=∠B． 故答案為：（1）（2）（4）；（3）． 　 22．如圖，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于O點． ①試說明△OBC是等腰三角形； ②連接OA，試判斷直線OA與線段BC的關系，并說明理由． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】①根據(jù)對邊對等角得到∠ABC=∠ACB，再結合角平分線的定義得到∠OBC=∠OCB，從而證明OB=OC； ②首先根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到OA平分∠BAC，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到直線AO垂直平分BC． 【解答】解：①∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠BCA； ∵BD、CE分別平分∠ABC、∠BCA， ∴∠OBC=∠BCO； ∴OB=OC， ∴△OBC為等腰三角形． ②在△AOB與△AOC中． ∵， ∴△AOB≌△AOC（SSS）； ∴∠BAO=∠CAO； ∴直線AO垂直平分BC．（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合） 　 23．如圖，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥AB，PE∥AC． （1）求△PDE的周長； （2）若∠A=50，求∠BPC的度數(shù)． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【分析】（1）分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得△DBP和△ECP為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長，即為8cm． （2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)即可求得． 【解答】解：（1）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線， ∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE， ∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE， ∴BD=PD，CE=PE， ∴△PDE的周長=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm． （2）∵∠A=50， ∴∠ABC+∠ACB=130， ∴∠ABC+∠ACB=65， ∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=65， ∴∠BPC=180﹣65=115． 　 24．如圖，直線m經(jīng)過正三角形ABC的頂點A，在直線m上取兩點D，E，使得使∠ADB=∠AEC=120．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC=60，AB=AC，求出∠BAD=∠ACE，根據(jù)AAS推出△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE=AD，AE=BD，即可得出答案． 【解答】DE=CE﹣BD， 證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60，AB=AC， ∴∠BAD+∠CAE=60， ∵∠AEC=120， ∴∠ACE+∠CAE=60， ∴∠BAD=∠ACE， 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴CE=AD，AE=BD， ∵DE=AD﹣AE， ∴DE=CE﹣BD． 　 25．如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，點D為AB的中點． （1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動． ①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請說明理由． ②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為　1.5　cm/s時，在某一時刻也能夠使△BPD與△CPQ全等． （2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC的三邊運動．求經(jīng)過多少秒后，點P與點Q第一次相遇，并寫出第一次相遇點在△ABC的哪條邊上？ 【考點】全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）①根據(jù)時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據(jù)SAS判定兩個三角形全等． ②根據(jù)全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據(jù)路程=速度時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度； （2）根據(jù)題意結合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應該比點P多走等腰三角形的兩個邊長． 【解答】解：（1）①全等， 理由如下： ∵t=1秒， ∴BP=CQ=11=1厘米， ∵AB=6cm，點D為AB的中點， ∴BD=3cm． 又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm， ∴PC=4﹣1=3cm， ∴PC=BD． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△BPD≌△CPQ； ②假設△BPD≌△CPQ， ∵vP≠vQ，∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，則BP=CP=2，BD=CQ=3， ∴點P，點Q運動的時間t==2秒， ∴vQ===1.5cm/s； （2）設經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇， 由題意，得 1.5x=x+26， 解得x=24， ∴點P共運動了241cm/s=24cm． ∵24=16+4+4， ∴點P、點Q在AC邊上相遇， ∴經(jīng)過24秒點P與點Q第一次在邊AC上相遇． 　 26．如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題： （1）如果AB=AC，∠BAC=90， ①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為　垂直　，數(shù)量關系為　相等?。? ②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由． 【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結合∠BAC=90，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD． （2）當∠ACB=45時，過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC=90，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD． 【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD … 故答案為：垂直、相等． ②成立，理由如下：… ∵∠FAD=∠BAC=90 ∴∠BAD=∠CAF 在△BAD與△CAF中， ∵ ∴△BAD≌△CAF（SAS） ∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45， ∴∠BCF=90 ∴CF⊥BD … （2）當∠ACB=45時可得CF⊥BC，理由如下：… 過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G … 則∵∠ACB=45 ∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45 ∵AG=AC，AD=AF， ∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90﹣∠DAC， ∴∠GAD=∠FAC， ∴△GAD≌△CAF（SAS） … ∴∠ACF=∠AGD=45 ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90 ∴CF⊥BC …