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2015-2016學年江西省宜春市豐城市孺子學校八年級（下）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 1．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．將下列長度的三根木棒首尾順次連接，不能組成直角三角形的是（　?。? A．8，15，17 B．0.9，1.2，1.5 C．，， D．，， 3．若=a，則等于（　　） A．3a B．5a C．15a D．25a 4．矩形各內(nèi)角的平分線能圍成一個（　?。? A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 5．二次根式中x的取值范圍是（　?。? A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．一切實數(shù) 6．將（c﹣1）中的根號外的因式移入根號內(nèi)后為（　?。? A． B． C．﹣ D．﹣ 　 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分） 7．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　　　　　?。? 8．若實數(shù)a、b滿足，則=　　　　　?。? 9．如圖，□ABCD與□DCFE的周長相等，且∠BAD=60，∠F=110，則∠DAE的度數(shù)為　　　　　?。? 10．計算：5+﹣=　　　　　?。? 11．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是　　　　　　cm． 12．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為　　　　　?。? 13．若=a﹣5成立，則a的取值范圍是　　　　　　． 14．如圖，在直角坐標系中，已知點A（﹣3，0）、B（0，4），對△OAB連續(xù)作旋轉變換，依次得到△1、△2、△3、△4…，則△2013的直角頂點的坐標為　　　　　?。? 　 三．（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 15．先化簡，再求值：（1+），其中x=﹣1． 16．（1）計算：（﹣1）2﹣（）（）； （2）已知y=++9，求的值． 17．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點，E是BC上的一點，且EC=BC=1，試判斷AF與EF是否垂直，并說明理由． 18．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形： （1）使三角形的三邊長分別為3、2、（在圖（1））中畫一個即可）； （2）使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖2）中畫一個即可）． 　 四．（本大題4小題，每小題7分，共28分） 19．如圖，甲輪船以16海里/小時的速度離開港口O向東南方向航行，乙輪船同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個半小時后分別到達B、A兩點，且知AB=30海里，問乙輪船每小時航行多少海里？ 20．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，經(jīng)過點O的直線交AB于E，交CD于F． 求證：OE=OF． 21．四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分線段BD，∠BAC=90，AC交BD于O， （1）求證：四邊形ABCD是矩形； （2）若AE⊥BD于E，AE=4，DE=2，求BD的長． 22．△ABC中，中線BE、CF相交于O，M是BO的中點，N是CO的中點， 求證：四邊形MNEF是平行四邊形． 　 五、解答題（共2小題，滿分16分） 23．如圖1，在△OAB中，∠OAB=90，∠AOB=30，OB=8．以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E． （1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形； （2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長． 24．如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D． （1）求證：BE=CF； （2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長． 　 六、解答題（共1小題，滿分10分） 25．如圖1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點，DM的延長線交EF于點N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無需寫證明過程） （1）如圖2，當點B、C、F在同一條直線上，DM的延長線交EG于點N，其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關系？請寫出猜想，并給予證明； （2）如圖3，當點E、B、C在同一條直線上，DM的延長線交CE的延長線于點N，其余條件不變，探究線段DM與FM有怎樣的關系？請直接寫出猜想． 　  2015-2016學年江西省宜春市豐城市孺子學校八年級（下）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 1．下列各式一定是二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次根式的定義． 【分析】根據(jù)二次根式的概念和性質(zhì)，逐一判斷． 【解答】解：A、二次根式無意義，故A錯誤； B、是三次根式，故B錯誤； C、被開方數(shù)是正數(shù)，故C正確； D、當b=0或a、b異號時，根式無意義，故D錯誤． 故選：C． 【點評】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．當二次根式在分母上時還要考慮分母不等于零，此時被開方數(shù)大于0． 　 2．將下列長度的三根木棒首尾順次連接，不能組成直角三角形的是（　?。? A．8，15，17 B．0.9，1.2，1.5 C．，， D．，， 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】分別求出兩小邊的平方和和大邊的平方，看看是否相等即可． 【解答】解：A、∵82+152=172， ∴以8、15、17為邊能組成直角三角形，故本選項錯誤； B、∵0.92+1.22=1.52， ∴以0.9、1.2、1.5為邊能組成直角三角形，故本選項錯誤； C、∵（）2+（）2=（）2， ∴以、、為邊能組成直角三角形，故本選項錯誤； D、∵（）2+（）2=（）2， ∴以、、為邊不能組成直角三角形，故本選項正確； 故選D． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理的應用，能熟記定理的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：如果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形． 　 3．若=a，則等于（　?。? A．3a B．5a C．15a D．25a 【考點】算術平方根． 【分析】利用算術平方根的定義計算即可． 【解答】解： =5， ∵， ∴=5a， 故選B． 【點評】本題考查了算術平方根的定義，掌握算術平方根的非負性是解答此題的關鍵． 　 4．矩形各內(nèi)角的平分線能圍成一個（　?。? A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 【考點】正方形的判定；矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)進行分析即可． 【解答】解：矩形的四個角平分線將矩形的四個角分成8個45的角，因此形成的四邊形每個角是90 又知兩條角平分線與矩形的一邊構成等腰直角三角形， 所以這個四邊形鄰邊相等，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，得到該四邊形是正方形． 故選：D． 【點評】此題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角 　 5．二次根式中x的取值范圍是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．一切實數(shù) 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】先判斷二次根式被開方數(shù)的符號，保證為非負數(shù)即可． 【解答】解：∵x2為非負數(shù)， ∴x2+1＞0， ∴x為一切實數(shù)，二次根式均有意義，故選D． 【點評】二次根式的被開方數(shù)應為非負數(shù)，如果已知是非負數(shù)，那么x的取值為一切實數(shù)． 　 6．將（c﹣1）中的根號外的因式移入根號內(nèi)后為（　?。? A． B． C．﹣ D．﹣ 【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡． 【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)，首先判斷根號外的因式符號，進而平方后移入根號內(nèi)，再化簡求出答案． 【解答】解：由題意得：c﹣1＜0， 則（c﹣1）=﹣=﹣， 故選：D． 【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確判斷出二次根式的符號是解題關鍵． 　 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分） 7．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　x≤2且x≠1?。? 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由題意得，2﹣x≥0，x﹣1≠0， 解得，x≤2且x≠1， 故答案為：x≤2且x≠1． 【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)、分式分母不為0是解題的關鍵． 　 8．若實數(shù)a、b滿足，則=　?。? 【考點】非負數(shù)的性質(zhì)：算術平方根；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值． 【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b的值，代入所求代數(shù)式計算即可． 【解答】解：根據(jù)題意得：， 解得：， 則原式=﹣． 故答案是：﹣． 【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0 　 9．如圖，□ABCD與□DCFE的周長相等，且∠BAD=60，∠F=110，則∠DAE的度數(shù)為　25?。? 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】由，□ABCD與□DCFE的周長相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60，∠F=110，即可求出∠DAE的度數(shù)． 【解答】解：∵□ABCD與□DCFE的周長相等，且CD=CD， ∴AD=DE， ∵∠DAE=∠DEA， ∵∠BAD=60，∠F=110， ∴∠ADC=120，∠CDE═∠F=110， ∴∠ADE=360﹣120﹣110=130， ∴∠DAE==25， 故答案為：25． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等、平行四邊形的對角相等以及鄰角互補和等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理． 　 10．計算：5+﹣=　6?。? 【考點】二次根式的加減法． 【分析】首先化簡二次根式，進而合并同類二次根式進而得出答案 【解答】解：5+﹣ =5+3﹣2 =6． 故答案為：6． 【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關鍵． 　 11．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是　8　cm． 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高線AD的長度． 【解答】解：如圖，AD是BC邊上的高線． ∵AB=AC=10cm，BC=12cm， ∴BD=CD=6cm， ∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）． 故答案是：8． 【點評】本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理．等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形． 　 12．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為　4﹣2?。? 【考點】正方形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ABD=∠ADB=45，再求出∠DAE的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠AED，從而得到∠DAE=∠AED，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)得到AD=DE，然后求出正方形的對角線BD，再求出BE，最后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍計算即可得解． 【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45， ∵∠BAE=22.5， ∴∠DAE=90﹣∠BAE=90﹣22.5=67.5， 在△ADE中，∠AED=180﹣45﹣67.5=67.5， ∴∠DAE=∠AED， ∴AD=DE=4， ∵正方形的邊長為4， ∴BD=4， ∴BE=BD﹣DE=4﹣4， ∵EF⊥AB，∠ABD=45， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF=BE=（4﹣4）=4﹣2． 故答案為：4﹣2． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對角線平分一組對角，等角對等邊的性質(zhì)，正方形的對角線與邊長的關系，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)角的度數(shù)的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解題的關鍵，也是本題的難點． 　 13．若=a﹣5成立，則a的取值范圍是　a≥5?。? 【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡． 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出a﹣5≥0，求解即可． 【解答】解：∵ =a﹣5成立， ∴a﹣5≥0， ∴a≥5． 故答案為：a≥5． 【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解答本題的關鍵在于得出不等式a﹣5≥0． 　 14．如圖，在直角坐標系中，已知點A（﹣3，0）、B（0，4），對△OAB連續(xù)作旋轉變換，依次得到△1、△2、△3、△4…，則△2013的直角頂點的坐標為?。?052，0）?。? 【考點】規(guī)律型：點的坐標． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB的長，再根據(jù)第四個三角形與第一個三角形的位置相同可知每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，然后求出一個循環(huán)組旋轉前進的長度，再用2013除以3，根據(jù)商為671可知第2013個三角形的直角頂點為循環(huán)組的最后一個三角形的頂點，求出即可． 【解答】解：∵點A（﹣3，0）、B（0，4）， ∴AB==5， 由圖可知，每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，一個循環(huán)組前進的長度為：4+5+3=12， ∵20133=671， ∴△2013的直角頂點是第671個循環(huán)組的最后一個三角形的直角頂點， ∵67112=8052， ∴△2013的直角頂點的坐標為（8052，0）． 故答案為：（8052，0）． 【點評】本題是對點的坐標變化規(guī)律的考查了，難度不大，仔細觀察圖形，得到每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵，也是求解的難點． 　 三．（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 15．先化簡，再求值：（1+），其中x=﹣1． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】分式的化簡，要熟悉混合運算的順序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘法運算，注意化簡后，將，代入化簡后的式子求出即可． 【解答】解： =（+） = = =， 把，代入原式====． 【點評】此題主要考查了分式混合運算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘法運算是解題關鍵． 　 16．（1）計算：（﹣1）2﹣（）（）； （2）已知y=++9，求的值． 【考點】二次根式的混合運算；二次根式有意義的條件． 【專題】計算題． 【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式計算； （2）根據(jù)二次根式有意義的條件得到4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得x=，再計算出對應的y的值，然后把x、y的值代入原式后化簡即可． 【解答】解：（1）原式=3﹣2+1﹣（2﹣3） =4﹣2+1 =5﹣2； （2）根據(jù)題意得4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得x= 所以y=9， 所以原式= = =3． 【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．也考查了二次根式有意義的條件． 　 17．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點，E是BC上的一點，且EC=BC=1，試判斷AF與EF是否垂直，并說明理由． 【考點】正方形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理． 【分析】分別計算AF，EF，AE的值，根據(jù)三角形三邊長和勾股定理的逆定理可以判定△AEF為直角三角形，即可證明AF⊥EF． 【解答】解：連接AE，AF與EF垂直， ∵ABCD是正方形，EC=BC=1， ∴AD=CD=BC=4，∠D=∠C=∠B=90． ∵F為DC中點， ∴DF=FC=2，BE=3， 由勾股定理可得：AF2=42+22=20，EF2=12+22=5，AE2=32+42=25， AE2=AF2+EF2， ∴AF⊥EF． 【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了正方形各邊長相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，本題中判定△AEF為直角三角形是解題的關鍵． 　 18．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形： （1）使三角形的三邊長分別為3、2、（在圖（1））中畫一個即可）； （2）使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖2）中畫一個即可）． 【考點】作圖—代數(shù)計算作圖． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】（1）兩直角邊長分別是2和2的直角三角形的斜邊長為2，兩直角邊長為2，1的直角三角形的斜邊長為． （2）可找一底邊長為2，高為4的三角形即可． 【解答】解： 【點評】應找到所求的無理數(shù)是直角邊長為哪兩個有理數(shù)的直角三角形的斜邊長．三角形的底邊高=面積的2倍． 　 四．（本大題4小題，每小題7分，共28分） 19．如圖，甲輪船以16海里/小時的速度離開港口O向東南方向航行，乙輪船同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個半小時后分別到達B、A兩點，且知AB=30海里，問乙輪船每小時航行多少海里？ 【考點】勾股定理的應用． 【專題】應用題． 【分析】根據(jù)題目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根據(jù)甲輪船的速度和行駛時間求得OB的長，利用勾股定理求得OA的長，除以時間即得到乙輪船的行駛速度． 【解答】解：∵甲輪船向東南方向航行，乙輪船向西南方向航行， ∴AO⊥BO， ∵甲輪船以16海里/小時的速度航行了一個半小時， ∴OB=161.5=24海里，AB=30海里， ∴在Rt△AOB中，AO===18， ∴乙輪船航行的速度為：181.5=12海里． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解決本題的關鍵是根據(jù)題目提供的方位角判定直角三角形． 　 20．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，經(jīng)過點O的直線交AB于E，交CD于F． 求證：OE=OF． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題；壓軸題． 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易證得△OAE≌△OCF，則可得OE=OF． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC，AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCF， ∵在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（ASA）， ∴OE=OF． 【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用． 　 21．四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分線段BD，∠BAC=90，AC交BD于O， （1）求證：四邊形ABCD是矩形； （2）若AE⊥BD于E，AE=4，DE=2，求BD的長． 【考點】矩形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）先用對角線互相平分判斷出四邊形ABCD是平形四邊形，再由∠BAC=90即可； （2）先求出AD，再用射影定理求解即可． 【解答】（1）∵AB∥CD， ∴∠BQC=∠ACD， ∵AC平分線段BD， ∴BO=DO， 又∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD， ∴AB=CD，四邊形ABCD是平形四邊形， 又∠BAC=90 ∴四邊形ABCD是矩形 （2）由（1）知，四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90 在Rt△ADE中，AE=4，DE=2， ∴AD==2， ∵AE⊥BD于E ∴根據(jù)射影定理得，AD2=DEDB， ∴DB===10． 【點評】此題是矩形的性質(zhì)和判定，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，射影定理，解本題的關鍵是四邊形ABCD是平形四邊形，此題也可以不用射影定理，用判定相似三角形． 　 22．△ABC中，中線BE、CF相交于O，M是BO的中點，N是CO的中點， 求證：四邊形MNEF是平行四邊形． 【考點】平行四邊形的判定；三角形中位線定理． 【專題】證明題． 【分析】主要考查平行四邊形的判定以及三角形中中位線的運用，由中位線定理，可得EF∥BC，MN∥BC，且都等于邊長BC的一半．分析到此，此題便可解答． 【解答】證明：∵BE，CF是△ABC的中線， ∴EF∥BC且EF=BC， ∵M是BO的中點，N是CO的中點， ∴MN∥BC且MN=BC， ∴EF∥MN且EF=MN， ∴四邊形MNEF是平行四邊形． 【點評】本題考查了平行四邊形的判定和三角形的中位線定理，三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù)． 　 五、解答題（共2小題，滿分16分） 23．如圖1，在△OAB中，∠OAB=90，∠AOB=30，OB=8．以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E． （1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形； （2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長． 【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【分析】（1）首先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據(jù)等邊對等角可得∠DAO=∠DOA=30，進而算出∠AEO=60，再證明BC∥AE，CO∥AB，進而證出四邊形ABCE是平行四邊形； （2）設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函數(shù)可計算出AO，再利用勾股定理計算出OG的長即可． 【解答】（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點， ∴AD=OB，OD=BD=OB ∴DO=DA， ∴∠DAO=∠DOA=30，∠EOA=90， ∴∠AEO=60， 又∵△OBC為等邊三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60， ∴BC∥AE， ∵∠BAO=∠COA=90， ∴CO∥AB， ∴四邊形ABCE是平行四邊形； （2）解：設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8﹣x， 在Rt△ABO中， ∵∠OAB=90，∠AOB=30，BO=8， ∴AO=BO?cos30=8=4， 在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2， x2+（4）2=（8﹣x）2， 解得：x=1， ∴OG=1． 【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應用，圖形的翻折變換，關鍵是掌握平行四邊形的判定定理． 　 24．如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D． （1）求證：BE=CF； （2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長． 【考點】旋轉的性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)． 【專題】計算題；證明題． 【分析】（1）先由旋轉的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據(jù)旋轉的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，然后根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到BE=CD； （2）由菱形的性質(zhì)得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AEB=∠ABE，根據(jù)平行線得性質(zhì)得∠ABE=∠BAC=45，所以∠AEB=∠ABE=45，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解． 【解答】（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC， ∵AB=AC， ∴AE=AF， ∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到， ∴BE=CF； （2）解：∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45， ∴∠AEB=∠ABE=45， ∴△ABE為等腰直角三角形， ∴BE=AC=， ∴BD=BE﹣DE=﹣1． 【點評】本題考查了旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質(zhì)． 　 六、解答題（共1小題，滿分10分） 25．如圖1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點，DM的延長線交EF于點N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無需寫證明過程） （1）如圖2，當點B、C、F在同一條直線上，DM的延長線交EG于點N，其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關系？請寫出猜想，并給予證明； （2）如圖3，當點E、B、C在同一條直線上，DM的延長線交CE的延長線于點N，其余條件不變，探究線段DM與FM有怎樣的關系？請直接寫出猜想． 【考點】四邊形綜合題． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）連接DF，NF，由四邊形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，證得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，證出△DFN是等腰直角三角形，即可得到結論； （2）連接DF，NF，由四邊形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由點E、B、C在同一條直線上，于是得到AD∥CN，求得∠DAM=∠NEM，證得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，證出△DFN是等腰直角三角形，于是結論得到． 【解答】解：（1）如圖2，DM=FM，DM⊥FM， 證明：連接DF，NF， ∵四邊形ABCD和CGEF是正方形， ∴AD∥BC，BC∥GE， ∴AD∥GE， ∴∠DAM=∠NEM， ∵M是AE的中點， ∴AM=EM， 在△MAD與△MEN中， ， ∴△MAD≌△MEN， ∴DM=MN，AD=EN， ∵AD=CD， ∴CD=NE， ∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90， 在△DCF與△NEF中， ， ∴△DCF≌△NEF， ∴DF=NF，∠CFD=∠EFN， ∵∠EFN+∠NFC=90， ∴∠DFC+∠CFN=90， ∴∠DFN=90， ∴DM⊥FM，DM=FM （2）猜想：DM⊥FM，DM=FM， 證明如下：如圖3，連接DF，NF， 連接DF，NF， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∵點E、B、C在同一條直線上， ∴AD∥CN， ∴∠ADN=∠MNE， 在△MAD與△MEN中， ， ∴△MAD≌△MEN， ∴DM=MN，AD=EN， ∵AD=CD， ∴CD=NE， ∵CF=EF， ∵∠DCF=90+45=135，∠NEF=180﹣45=135， ∴∠DCF=∠NEF， 在△DCF與△NEF中， ， ∴△MAD≌△MEN， ∴DF=NF，∠CFD=∠EFN， ∵∠CFD+∠EFD=90， ∴∠NFE+∠EFD=90， ∴∠DFN=90， ∴DM⊥FM，DM=FM． 【點評】本題考查了全等三角形的判定，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，本題中的難點是輔助線的作法，作好輔助線找對解題的方向是本題解答的關鍵所在．