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北京市西城區(qū)2016 — 2017學年度第一學期期末試卷 高三數(shù)學（文科） 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，，那么 （A） （B） （C） （D） 2．下列函數(shù)中，定義域為的奇函數(shù)是 （A） （B） （C） （D） 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 （A） （B） （C） （D） 4．已知雙曲線的一個焦點是，則其漸近線的方程為 （A） （B） （C） （D） 5．實數(shù)，滿足則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 6．設是非零向量，且．則“”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 7．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是 （A） （B） （C） （D） 8．8名象棋選手進行單循環(huán)賽（即每兩名選手比賽一場）．規(guī)定兩人對局勝者得2分，平局各得1分，負者得0分，并按總得分由高到低進行排序．比賽結(jié)束后，8名選手的得分各不相同，且第二名的得分與最后四名選手得分之和相等．則第二名選手的得分是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．復數(shù)____． 10．在平面直角坐標系中，已知點，，則△的面積是____． 11．已知圓與拋物線的準線相切，則____． 12．函數(shù)的定義域是____；最小值是____． 13．在△中，角的對邊分別為．若，，，則____． 14．設函數(shù)其中． ① 若，則____； ② 若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是____． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 在等差數(shù)列中，，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設，其中，求數(shù)列的前項和． 16．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)的最小正周期為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 17．（本小題滿分13分） 手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時間稱為手機的待機時間． 為了解A，B兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取A，B兩個型號的手機各5臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下： 手機編號 1 2 3 4 5 A型待機時間（h） 120 125 122 124 124 B型待機時間（h） 118 123 127 120 a 已知 A，B兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）判斷A，B兩個型號被測試手機待機時間方差的大?。ńY(jié)論不要求證明）； （Ⅲ）從被測試的手機中隨機抽取A，B型號手機各1臺，求至少有1臺的待機時間超過122小時的概率． （注：n個數(shù)據(jù)的方差，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)） 18．（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐中，，，，，，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若為的中點，求證：平面； （Ⅲ）設平面平面，點在平面 上．當時，求的長． 19．（本小題滿分14分） 已知橢圓的兩個焦點是，，點在橢圓上，且． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設點關于軸的對稱點為，是橢圓上一點，直線和與軸分別相交于點，，為原點．證明：為定值． 20．（本小題滿分13分） 對于函數(shù)，若存在實數(shù)滿足，則稱為函數(shù)的一個不動點． 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當時， （ⅰ）求的極值點； （ⅱ）若存在既是的極值點，又是的不動點，求的值； （Ⅱ）若有兩個相異的極值點，，試問：是否存在，，使得， 均為的不動點？證明你的結(jié)論． 北京市西城區(qū)2016 — 2017學年度第一學期期末 高三數(shù)學（文科）參考答案及評分標準 2017.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．10．11． 12．；13．14．； 注：第12，14題第一空2分，第二空3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分. 15．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，則有 [4分] 解得，．[6分] 所以數(shù)列的通項公式為．[7分] （Ⅱ）．[8分] 因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，[9分] 所以[11分] ．[13分] 16．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）因為 [ 4分] ， [ 6分] 所以的最小正周期, 解得． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ． 因為，所以． [ 9分] 所以，當，即時，取得最大值為1； [11分] 當，即時，取得最小值為． [13分] 17．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ），[2分] ，[3分] 由，解得．[4分] （Ⅱ）設A，B兩個型號被測試手機的待機時間的方差依次為，， 則．[7分] （Ⅲ）設A型號手機為，，，，；B型號手機為，，，，，“至少有1臺的待機時間超過122小時”為事件C．[8分] 從被測試的手機中隨機抽取A，B型號手機各1臺，不同的抽取方法有25種． [10分] 抽取的兩臺手機待機時間都不超過122小時的選法有： ，，，，共4種． [11分] 因此，所以． 所以至少有1臺的待機時間超過122小時的概率是．[13分] 18．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）因為， 所以，[1分] 又因為，[2分] 所以平面，[3分] 所以．[4分] （Ⅱ）取的中點，連接，．[5分] 因為為棱中點，所以，， 又因為，， 所以，． 所以四邊形是平行四邊形，．[8分] 又平面，平面， 所以平面．[9分] （Ⅲ）在平面上，延長，交于點． 因為，所以平面；又，所以平面， 所以平面平面．[11分] 在△中，因為，， 所以 ．[12分] 因為，所以△是等腰直角三角形，所以．[13分] 由（Ⅰ）得平面，所以． 在直角△中，．[14分] 19．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由橢圓的定義，得，．[2分] 將點的坐標代入，得， 解得．[4分] 所以，橢圓的方程是．[5分] （Ⅱ）依題意，得． 設，則有，，．[6分] 直線的方程為，[7分] 令，得，[8分] 所以． 直線的方程為，[9分] 令，得，[10分] 所以． 所以 [12分] ． 所以為定值．[14分] 20．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）的定義域為，且．[1分] 當時，． （?。?當時，顯然在上單調(diào)遞增，無極值點．[2分] ② 當時，令，解得．[3分] 和的變化情況如下表： ↗ ↘ ↗ 所以，是的極大值點；是的極小值點．[5分] （ⅱ）若是的極值點，則有； 若是的不動點，則有． 從上述兩式中消去， 整理得．[6分] 設． 所以，在上單調(diào)遞增． 又，所以函數(shù)有且僅有一個零點， 即方程的根為， 所以 ．[8分] （Ⅱ）因為有兩個相異的極值點，， 所以方程有兩個不等實根，， 所以，即．[9分] 假設存在實數(shù)，，使得，均為的不動點，則，是方程 的兩個實根，顯然，． 對于實根，有．① 又因為．② ①②，得 ． 同理可得． 所以，方程也有兩個不等實根，．[11分] 所以． 對于方程，有 ， 所以， 即， 這與相矛盾！ 所以，不存在，，使得，均為的不動點．[13分]