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黑龍江省牡丹江市第一高級(jí)中學(xué)2017屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文 一、選擇題（每小題5分，滿分60分） 1、若集合，且，則集合可能是（ ） A． B． C． D． 2、已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ） A、 B. C. D. 3、下列拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離最小的是( ) A、 B. C. D. 4、在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的概率為( ） A. B. C. D. 5、閱讀如下程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為( ) A、7 B、9 C、10 D、11 6、下列四個(gè)判斷： ?某校高三（1）班的人數(shù)和高三（2）班的人數(shù)分別是和，某次數(shù)學(xué)測(cè)試平均分分別是，則這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)平均分為； ?從總體中抽取的樣本，則回歸直線必過(guò)點(diǎn)； ?在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的所有直方圖的面積相等. 其中正確的個(gè)數(shù)有( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 7、已知變量滿足：，則的最大值為（ ） A． B． C．2 D．4 8、已知，且，則（ ） A、 B、 C、 D、 9、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積積是( ) A. B. C. D. 10、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則“”是“的最小值僅為”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 11、長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，為的中點(diǎn)，，,且四邊形為正方形，則球的直經(jīng)為( ) A、4 B、6 C 、4或 D、6或 12、已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，則經(jīng)過(guò)第一象限的漸近線的斜率的取值范圍是（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空題（每題5分，共20分，把答案填在答題紙的橫線上） 13、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則交點(diǎn)確定的圓的方程為 14、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi), 點(diǎn)到直線的距離. 運(yùn)用類(lèi)比的思想，我們可以解決下面問(wèn)題: 在空間內(nèi)直角坐標(biāo)系內(nèi), 點(diǎn) 到平面 的距離 __________. 15、數(shù)列中，滿足，則 16、已知△的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為，，，若，， 則△的外接圓的面積是 . 三、解答題： 17.(本小題滿分12分) 已知函數(shù)的周期為4. (1)求的解析式； (2)將的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，分別為函數(shù)圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，求的大小． 18、（本題滿分12分） 某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． （1）從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率； （2）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成一個(gè)22列 聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”？ P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 附：， 19、（本小題滿分12分） 如圖所示的幾何體為一簡(jiǎn)單組合體，在底面中，，，平面，，. （1）求證：平面平面； （2）求該組合體的體積. 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn)為橢圓的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：為定值． 21、（本小題滿分12分） 已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中． （1）設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，用表示，并求的最大值； （2）設(shè)，證明：若，則對(duì)任意，， 有． 請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑. 22．（本題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)與參數(shù)方程 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù), 曲線的極坐標(biāo)方程為. (1) 求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; （2）設(shè)直線與曲線C相交于兩點(diǎn), 當(dāng)變化時(shí), 求的最小值. 23．（本題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知為正實(shí)數(shù). （1）求證：； （2）利用（1）的結(jié)論求函數(shù)的最小值. 2017年高三期末考試 數(shù)學(xué)文科試題答案 一、選擇題： 1A 2B 3C 4A 5B 6A 7D 8C 9B 10B 11C 12A 二、填空題： 13、 14、2 15、 16、 三、解答題： 17.解　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx ＝ ＝ ＝sin. ∵T＝4，ω>0，∴ω＝＝. ∴f(x)＝sin............................................6分 (2)將f(x)的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g(x)＝sin. ∵P，Q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)， ∴P(1，)，Q(3，－)． ∴OP＝2，PQ＝4，OQ＝. ∴cos∠OQP＝＝. ∴∠OQP＝............................................12分 18.解：（1）由已知得，抽取的100名學(xué)生中，男生60名，女生40名分?jǐn)?shù)小于等于110分的學(xué)生中，男生人有600.05 = 3(人)，記為A1，A2，A3；女生有400.05 = 2(人)，記為B1，B2 從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2) ,其中，兩名學(xué)生恰好為一男一女的可能結(jié)果共有6種，它們是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)， ∴所求的概率 （2）由頻率分布直方圖可知， 在抽取的100名學(xué)生中，男生 600.25 = 15(人)，女生400.375 = 15(人) 據(jù)此可得22列聯(lián)表如下： 數(shù)學(xué)尖子生 非數(shù)學(xué)尖子生 合計(jì) 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 ∴得的一個(gè)觀測(cè)值 ∵1.786 < 2.706. ∴沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”． 19.解析：（1）證明：∵，，∴， 又∵，∴， 又，，，， ∴，又∵， ∴平面. （2）連接，過(guò)作于， ∵平面，， ∴， 又，，，， ∴， ∵，，∴是等邊三角形，∴. ∴. ∵，∴，又， ∴，∴. ∵，∴. ∴該組合體的體積. 20、（1）由，可得橢圓方程．．．．．．．．．．4分 （2）設(shè)的方程為，代入并整理得： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 設(shè)，則， 又因?yàn)?，同理．．．．．．．．．．．．．?分 則， 所以是定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 21、解（1）設(shè)交于點(diǎn)，則有 ，即（1） 又由題意知，即 （2） ……2分 由（2）解得 將代入（1）整理得 …………………………4分 令，則 時(shí)，遞增，時(shí)遞減，所以 即，的最大值為 ……………………………………6分 （2）不妨設(shè)，要證明 只需變形得 ……………………………………8分 即 令，，， ……10分 即在內(nèi)單調(diào)增，， 所以若，則對(duì)任意，， 有． ……12分 22、解: (1) 由消去得的普通方程, 由, 得, 把代入上式, 得, 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為. (2) 將直線l的參數(shù)方程代入, 得, 設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為, 則 所以 當(dāng)時(shí)， 的最小值為4 23、解：（1）∵， ∴＝. ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立． （2）∵，∴，由(1)的結(jié)論，函數(shù). 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立． ∴函數(shù) ()的最小值為.