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天津市部分區(qū)2016～2017學(xué)年度第一學(xué)期期末考試 高三數(shù)學(xué)（文科）試卷 溫馨提示：使用答題卡的區(qū)，學(xué)生作答時(shí)請(qǐng)將答案寫在答題卡上；不使用答題卡的區(qū)，學(xué)生作答時(shí)請(qǐng)將答案寫在試卷上. 題 號(hào) 一 二 三 總 分 15 16 17 18 19 20 得 分 本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.第I卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至8頁(yè). 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘帖考試用條形碼.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回. 祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷（選擇題，共40分） 注意事項(xiàng)： 1．選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào). 2．本卷共8小題，每小題5分，共40分. 參考公式： 如果事件互斥，那么． 如果事件相互獨(dú)立，那么． 錐體的體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高. 柱體的體積公式，其中表示柱體的底面面積，表示柱體的高. 一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. （1）已知集合，則 （A） （B） （C） （D） （2）從數(shù)字1，2，3，4，5，6中任取兩個(gè)數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)的乘積為奇數(shù)的概率為 （A） （B） （C） （D） 第3題圖 （3）已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積是 （A）48 （B）36 （C）24 （D）12 （4）設(shè)，則“”是“”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 （5）已知，，，則 （A） （B） （C） （D） （6）已知雙曲線（）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為 （A） （B） （C） （D） （7）已知向量，，（其中），則的最小值為 （A） （B） （C） （D） （8）已知函數(shù)若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題，共110分） 注意事項(xiàng)： 1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. 2．本卷共12小題，共110分. 二、填空題：本大題共有6小題，每小題5分，共30分. （9）已知i是虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)=___________． （10）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序， 則輸出的值為___________. （11）已知（其中是自 然對(duì)數(shù)的底數(shù)），為的導(dǎo) 函數(shù)，則的值為___________. （12）在等比數(shù)列{}中， 已知，， 則{}的前10項(xiàng)和___________. （13）如圖，為邊長(zhǎng)為1的 正三角形，為AB的中點(diǎn)，在 第13題圖 上，且，連結(jié) 并延長(zhǎng)至，使，連結(jié) ．則的值為________. （14）已知 （），若函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值 范圍是___________. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. （15）（本小題滿分13分） 在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為，且滿足． （I）求角C的值； （II）若，的面積為，求的值． （16）（本小題滿分l3分） 某石材加工廠可以把甲、乙兩種類型的大理石板加工成三種規(guī)格的小石板，每種類型的大理石板可同時(shí)加工成三種規(guī)格小石板的塊數(shù)如下表所示： 板材類型 甲型石板（塊） 乙型石板（塊） 某客戶至少需要訂購(gòu)兩種規(guī)格的石板分別為塊和塊，至多需要規(guī)格的石板塊．分別用表示甲、乙兩種類型的石板數(shù)． （I）用列出滿足客戶要求的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； （II）加工廠為滿足客戶的需求，需要加工甲、乙兩種類型的石板各多少塊，才能使所用石板總數(shù)最少？ （17）（本小題滿分13分） 如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，底面為直角梯形，,, ,，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn). （I）求證：直線平面； （II）求證：平面平面； （III）若，求直線與平面所成的角. （18）（本小題滿分13分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），（），數(shù)列的前項(xiàng)和為. （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)（），求數(shù)列的前項(xiàng)和； （III）證明： （）. （19）（本小題滿分14分） 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，若的周長(zhǎng)為，且點(diǎn)到直線的距離為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：以為直徑的圓過(guò)點(diǎn). （20）（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（），函數(shù)的圖象記為曲線. （I）若函數(shù)在時(shí)取得極大值2，求的值； （II）若函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （III）設(shè)動(dòng)點(diǎn)處的切線與曲線交于另一點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為，兩切線的斜率分別為，當(dāng)為何值時(shí)存在常數(shù)使得？并求出的值. 天津市部分區(qū)2016～2017學(xué)年度第一學(xué)期期末考試 高三數(shù)學(xué)（文科）參考答案 一、選擇題: 1-4 DCDA 5-8 BACD 二、填空題: 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答題: 15.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）已知 可化為 ， …………………………3分 整理得 ， ， 又 …………………………6分 （Ⅱ）由 得 ， 由（Ⅰ） ， 所以由余弦定理得： ， ，即， …………………………9分 所以 . …………………………13分 16.（本小題滿分13分） 解：（I）由題意得 ………………………………3分 二元一次不等式組所表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分. ………………………………6分 （Ⅱ）解：設(shè)需要加工甲、乙兩種類型的板材數(shù)為 ，則目標(biāo)函數(shù) ，作出直線 ，平移直線 ，如圖， 易知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)， 取到最小值， 解方程組 得點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，………………………………10分 所以最少需要加工甲、乙兩種類型的板材分別8塊和6塊． 答：加工廠為滿足客戶需求，最少需要加工甲、乙兩種類型的板材分別8塊和6塊．………………………………13分 17.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ） ，且 為 的中點(diǎn)， . 又因?yàn)?，則四邊形 是平行四邊形，∴ ， 平面 ， 平面 ， 直線 平面 . ……………4分 （II）∵在等邊 中， 是 的中點(diǎn)， ； 又 ， ； 又 ， ，又 ， ，又 ， 平面 ， 故平面 平面 ； ……8分 （III）設(shè) 與 交于點(diǎn) ， 由（II）知 平面 ， ， 故 平面 ，連結(jié) ， 為直線 與平面 所成的角. 在 中， ， ， . ………………………13分 18．（本小題滿分13分） 解：（I）當(dāng) 時(shí)， ， ， 兩式相減： ； 當(dāng) 時(shí)， ，也適合 ， 故數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ；………………………………….3分 （II） ， ， ， ，兩式相減可得： ， ………………………………… 4分 即 ， ， . ………………… 7分 （III） ，顯然 ， 即 ， ；………………………………. 9分 另一方面， ， 即 ， ，…， ， ， 即： . ……………………….. 13分 19．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由已知得 ，解得 . 所以橢圓 的方程為 . ……………5分 （Ⅱ）由題意知 ， ……………6分 設(shè) ，則 ，得 . 且由點(diǎn) 在橢圓上，得 . ……………9分 所以 …………13分 以 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) . ……………14分 20．（本小題滿分14分） 解：函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 . （I）當(dāng) 時(shí)極大值2，則 ，解得 ；…… 4分 （II）由題意可得 有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程 有三個(gè)實(shí)數(shù)解. 令 ，則 ，由 可得 或 ，且 是其單調(diào)遞增區(qū)間， 是其單調(diào)遞減區(qū)間， .因此，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 . 9分 （III）由（I）知點(diǎn) 處的切線 的方程為 ，與 聯(lián)立得 ，即 ，所以點(diǎn) 的橫坐標(biāo)是 ，可得 ，即 ， 等價(jià)于 ，解得 . 綜上可得，當(dāng) 時(shí)存在常數(shù) 使得 . ……………14分 天津市部分區(qū)2016～2017學(xué)年度第一學(xué)期期末考試 高三數(shù)學(xué)（文科）參考答案 一、選擇題: 1-4 DCDA 5-8 BACD 二、填空題: 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答題: 15.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）已知可化為 ， …………………………3分 整理得， ， 又 …………………………6分 （Ⅱ）由得， 由（Ⅰ）， 所以由余弦定理得： ， ，即， …………………………9分 所以. …………………………13分 16.（本小題滿分13分） 解：（I）由題意得………………………………3分 二元一次不等式組所表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分. ………………………………6分 （Ⅱ）解：設(shè)需要加工甲、乙兩種類型的板材數(shù)為，則目標(biāo)函數(shù)，作出直線，平移直線，如圖， 易知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取到最小值， 解方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為，………………………………10分 所以最少需要加工甲、乙兩種類型的板材分別8塊和6塊． 答：加工廠為滿足客戶需求，最少需要加工甲、乙兩種類型的板材分別8塊和6塊．………………………………13分 17.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ），且為的中點(diǎn)，. 又因?yàn)?，則四邊形是平行四邊形，∴ ，平面，平面，直線平面. ……………4分 （II）∵在等邊中，是的中點(diǎn)，； 又，； 又，，又， ，又，平面， 故平面平面； ……8分 （III）設(shè)與交于點(diǎn)， 由（II）知平面，， 故平面，連結(jié)，為直線與平面所成的角. 在中，，， . ………………………13分 18．（本小題滿分13分） 解：（I）當(dāng)時(shí)，，， 兩式相減：； 當(dāng)時(shí)，，也適合， 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；………………………………….3分 （II），， ，，兩式相減可得： ， ………………………………… 4分 即， ，. ………………… 7分 （III），顯然， 即，；………………………………. 9分 另一方面，， 即，，…，，， 即：. ……………………….. 13分 19．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由已知得，解得. 所以橢圓的方程為. ……………5分 （Ⅱ）由題意知， ……………6分 設(shè)，則，得. 且由點(diǎn)在橢圓上，得. ……………9分 所以 …………13分 以為直徑的圓過(guò)點(diǎn). ……………14分 20．（本小題滿分14分） 解：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為. （I）當(dāng)時(shí)極大值2，則，解得；…… 4分 （II）由題意可得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解. 令，則，由可得或，且是其單調(diào)遞增區(qū)間，是其單調(diào)遞減區(qū)間，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 9分 （III）由（I）知點(diǎn)處的切線的方程為，與聯(lián)立得，即，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，可得，即，等價(jià)于，解得. 綜上可得，當(dāng)時(shí)存在常數(shù)使得. ……………14分