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石景山區(qū)2016—2017學年第一學期高三年級期末試卷 數 學（理） 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合,,那么等于（ ） A． B． C． D． 是 否 開始 結束 2．若，則（ ） A． B． C． D． 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值是（ ） A． B． C． D． 4．下列函數中既是奇函數又在區(qū)間上單調遞減的是（ ） A． B． C． D． 5．由直線，和所圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），用不等式組可表示為（ ） A． B． C． D． 6．一個幾何體的三視圖如右圖所示． 已知這個幾何體的體積為，則（ ） 側視圖 正視圖 4 h 俯視圖 3 A． B． C． D． 7．將函數圖象上的點向左平移m(m >0)個單位長度得到 點．若位于函數的圖象上，則以下說法正確的是（ ） A．當時，m的最小值為 B．當時，m一定為 C．當時，m的最大值為 D．，m一定為 8．六名同學A、B、C、D、E、F舉行象棋比賽，采取單循環(huán)賽制，即參加比賽的每兩個人之間僅賽一局．第一天，A、B各參加了局比賽，C、D各參加了局比賽，E參加了2局比賽，且A與C沒有比賽過，B與D也沒有比賽過，那么F在第一天參加的比賽局數為（ ） A． B． C． D． 第二部分（非選擇題共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9．在的展開式中，的系數是（結果用數值表示）． 10．已知中，，，，則的面積為． 11．若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點坐標是． 12．等差數列中，，公差不為零，且，，恰好是某等比數列的前三項，那么該等比數列公比的值等于 ． 13．有以下個條件：①；②；③與的方向相反；④與都是單位向量．其中//的充分不必要條件有．（填正確的序號）． 14．已知函數， ①方程有________個根； ②若方程恰有兩個不同實數根，則實數的取值范圍是____________． 三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 15．（本小題共13分） 已知函數． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最大值． 16．（本小題共13分）年微信用戶數量統(tǒng)計顯示，微信注冊用戶數量已經突破億．微信用戶平均年齡只有歲，的用戶在歲以下，的用戶在-歲之間．為調查大學生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數量，現(xiàn)從北京市大學生中隨機抽取位同學進行了抽樣調查，結果如下： 微信群數量 頻數 頻率 0至5個 6至10個 11至15個 16至20個 個以上 合計 （Ⅰ）求，，的值； （Ⅱ）若從這位同學中隨機抽取人，求這人中恰有人微信群個數超過個的概率； （Ⅲ）以這個人的樣本數據估計北京市的總體數據且以頻率估計概率，若從全市大學生中隨機抽取人，記表示抽到的是微信群個數超過個的人數，求的分布列和數學期望．17．（本小題共14分） 如圖1，等腰梯形中，∥，于點，，且． 沿把折起到的位置（如圖2），使． （Ⅰ）求證：⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； P′ A B C D B C A P D （Ⅲ）線段上是否存在點，使得∥平面．若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由． 圖1圖2 18．（本小題共13分） 已知橢圓的離心率為，點在橢圓上． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于兩點，設點關于軸的對稱點為．直線與軸的交點是否為定點？請說明理由． 19．（本小題共14分） 已知函數，． （Ⅰ）求函數的單調區(qū)間； （Ⅱ）若對任意，恒成立，求的取值范圍． 20．（本小題共13分） 集合的若干個子集的集合稱為集合的一個子集族．對于集合的一個子集族滿足如下條件：若，則，則稱子集族是“向下封閉”的． （Ⅰ）寫出一個含有集合的“向下封閉”的子集族并計算此時的值 （其中表示集合中元素的個數，約定；表示對子集族中所有成員求和）； （Ⅱ）是集合的任一“向下封閉的”子集族，對,記，（其中max表示最大值）， （ⅰ）求； （ⅱ）若是偶數，求． 石景山區(qū)2016—2017學年第一學期期末考試 高三數學（理科）參考答案 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D A B B D 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 題號 9 10 11 12 13 14 答案 ① ③ 三、解答題共6小題，共80分． 15．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）　 ……1分 ……2分 ， ……4分 因此的最小正周期為． …………6分 （Ⅱ）當時，， ………8分 當，有最大值． ………10分 即時，的最大值為． ……………13分 16．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）解得， ，．…………………3分 （Ⅱ）記“人中恰有人微信群個數超過個”為事件， 則． 所以，人中恰有人微信群個數超過個的概率為．　……………7分 （Ⅲ）依題意可知，微信群個數超過個的概率為． 的所有可能取值，，，．　　　　　　　　　　　……………8分 則，， ，． 其分布列如下： 所以，．……………13分 17．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）因為，所以⊥． 因為在等腰梯形中，⊥，所以在四棱錐中，⊥． 又，所以⊥面． 因為面，所以⊥．……3分 因為等腰梯形中，，，且． 所以，，．所以． 所以⊥． 因為=, 所以⊥平面． ……5分 P’ A B C D x y z （Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥面，⊥， 如圖，建立空間直角坐標系， ，，， ，．…………5分 所以，． 由（Ⅰ）知，平面的法向量為， 設為平面的一個法向量，則,即， 再令，得．==． 所以二面角的余弦值為． …………9分 （Ⅲ）若線段上存在點，使得∥平面． 依題意可設,其中．所以，． 由（Ⅱ）知，平面的一個法向量． 因為∥平面，所以， 所以，解得． 所以，線段上存在點，使得∥平面…………………14分 18．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）因為點（）在橢圓上，所以． 又因為，所以，． 所以橢圓的標準方程為：． ……………………5分 （Ⅱ）設． 設直線：． ……………………6分 聯(lián)立，得：． 所以，． ……………8分 直線的方程為， ……………9分 令，解得 ………11分 又， 所以． 所以直線與軸的交點是定點，坐標為．………分 19．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）函數的定義域為，．……2分 當變化時，，的變化情況如下表： 所以，函數的單調遞增區(qū)間是， 單調遞減區(qū)間是，．　　　　　　　　　…………5分 （Ⅱ）依題意，“對于任意，恒成立”等價于 “對于任意，成立”． 由（Ⅰ）知，函數在上單調遞增，在上單調遞減， 因為，，所以函數的最小值為． 所以應滿足．………………………………………………7分 因為，所以．………8分 因為，令得，，． （?。┊敚磿r， 在上，所以函數在上單調遞增， 所以函數． 由得，，所以． ……………11分 （ⅱ）當，即時, 在上，在上， 所以函數在上單調遞增，在上單調遞減， 所以． 由得，，所以． ……………13分 綜上所述，的取值范圍是． ……………14分 20．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）含有集合的“向下封閉”的子集族　……2分 此時 …………4分 （Ⅱ）設的所有不超過個元素的子集族為 （ⅰ）易知當時，達到最大值， 所以　…6分 （ⅱ）設是使得的任一個“向下封閉”的子集族，記，其中為不超過元的子集族，為元或元的子集 則= 　………8 分 現(xiàn)設有（）個的元子集，由于一個元子集至多出 現(xiàn)在個的元子集中，而一個元子集中有個元子集，故個元子集至少產生個不同的元子集． 由（ⅰ）得 …13分 【注：若有其它解法，請酌情給分．】