高中數(shù)學《四種命題及其相互關系》同步課件新人教A版選修.ppt
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1．知識與技能了解四種命題的概念，并會判斷命題的真假．2．過程與方法了解命題的逆命題，否命題、逆否命題，能寫出原命題的其它三種命題．能利用四種命題間的相互關系判斷命題的真假．,本節(jié)重點：了解命題的逆命題、否命題、逆否命題．本節(jié)難點：分析四種命題的相互關系以及四種命題的真假之間的關系．1．要通過實例去發(fā)現(xiàn)四種命題間的關系，并能用命題間的關系去驗證寫出的命題是否正確．2．要注意否命題與命題的否定是不同的．例如：原命題“若∠A＝∠B，則a＝b”的否命題是“若∠A≠∠B，則a≠b”，而原命題的否定是“若∠A＝∠B，則a≠b”．通過實例真正弄清一個命題的否命題與它的否定的本質(zhì)區(qū)別：否命題是既否定條件又否定結論；命題的否定是只否定結論．,1．四種命題的概念關于原命題的逆命題、否命題和逆否命題的寫法：首先：把原命題整理成“如果p，則q”．其次：(1)“換位”得到“如果q，則p”，即為逆命題；(2)“換質(zhì)”(分別否定)得到“如果非p，則非q”即為否命題；(3)既“換位”又“換質(zhì)”得到“如果非q，則非p”即為逆否命題．,注意：“命題的否定”只否定結論，而否命題要對條件和結論分別進行否定．只有“如果p，則q”形式的命題才有否命題，形式為“如果綈p，則綈q”．在寫一個命題的否定或否命題時要注意一些關鍵詞的否定．,2．命題的四種形式間的關系(1)命題的四種形式中，哪個是原命題是相對的，不是絕對的；(2)四種命題間有兩對互逆關系，兩對互否關系，兩對互為逆否的關系，對互為逆否的兩命題同真同假，在判斷和證明中要注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化．,3．間接證明有關問題由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明一個命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真來間接證明原命題為真，即正難則反的思想．注意：間接法常用于證明否定性、存在性、惟一性，至多至少等，結論的反面是比原結論更具體、更易于研究和掌握的問題．,1．一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做，其中一個命題叫做，另一個叫做原命題的．2．一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做，其中一個命題叫做，另一個叫做原命題的．,互逆命題,原命題,逆命題,互否命題,原命題,否命題,3．一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做，其中一個命題叫做，另一個叫做原命題的．4．原命題為真，它的逆命題．5．原命題為真，它的否命題．6．原命題為真，它的逆否命題．7．互為逆否的命題是等價命題，它們同同，同一個命題的逆命題和否命題是一對互為的命題，它們同同．,互為逆否命題,原命題,逆否命題,不一定為真,不一定為真,為真,真,假,逆否,真,假,[例1]寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題．(1)負數(shù)的平方是正數(shù)；(2)正方形的四條邊相等．[分析]此題的題設和結論不很明顯，因此首先將命題改寫成“若p，則q”的形式，然后再寫出它的逆命題、否命題與逆否命題．,[解析](1)改寫成“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”．逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)．否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)．逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)．,(2)原命題可以寫成：若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等．逆命題：若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形．否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等．逆否命題：若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形．,[點評]例1(1)題還有另一種解答：原命題可以寫成：若一個數(shù)是負數(shù)的平方，則這個數(shù)是正數(shù)．逆命題：若一個數(shù)是正數(shù)，則它是負數(shù)的平方．否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)的平方，則這個數(shù)不是正數(shù)．逆否命題：若一個數(shù)不是正數(shù)，則它不是負數(shù)的平方．這兩種解答都可以，實際上例1中的第(2)小題也有同樣的另一種解答．,寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題．(1)若x2＋y2＝0，則x，y全為0.(2)若a＋b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)．[解析](1)逆命題：若x，y全為0，則x2＋y2＝0；否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為0；逆否命題：若x，y不全為0，則x2＋y2≠0.(2)逆命題：若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)；否命題：若a＋b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)；逆否命題：若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù).,[例2]判斷下列命題的真假，寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．(1)若a>b，則ac2>bc2；(2)若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；(3)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4acbc2，則a>b為真；否命題：若a≤b，則ac2≤bc2為真；逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b為假．(2)該命題為真．逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角互補，為真．否命題：若四邊形的對角不互補，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真．逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角不互補，為真．,(3)該命題為假．逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有公共點，則b2－4acbc?a>b；(2)已知x、y為正整數(shù)，當y＝x＋1時，y＝3，x＝2；(3)當m>時，mx2－x＋1＝0無實根；(4)當abc＝0時，a＝0或b＝0或c＝0；(5)若x2－2x－3＝0，則x＝3或x＝－1.,[解析](1)原命題：若ac>bc，則a>b.(假)否命題：若ac≤bc，則a≤b.(假)逆否命題：若a≤b，則ac≤bc.(假)(2)原命題：已知x、y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3且x＝2.(假)否命題：已知x、y為正整數(shù)，若y≠x＋1，則y≠3或x≠2.(真)逆否命題：已知x、y為正整數(shù)，若y≠3或x≠2，則y≠x＋1.(假),(4)原命題：若abc＝0，則a＝0或b＝0或c＝0.(真)否命題：若abc≠0，則a≠0且b≠0且c≠0.(真)逆否命題：若a≠0且b≠0且c≠0，則abc≠0.(真),(5)原命題：若x2－2x－3＝0，則x＝3或x＝－1.(真)否命題：若x2－2x－3≠0，則x≠3且x≠－1.(真)逆否命題：若x≠3且x≠－1，則x2－2x－3≠0.(真),[例3]有下列四個命題：(1)“若x＋y＝0，則x、y互為相反數(shù)”的否命題；(2)“若a>b，則a2>b2”的逆否命題；(3)“若x≤－3，則x2－x－6>0”的否命題；(4)“對頂角相等”的逆命題．其中真命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3[答案]B,[解析](1)“若x＋y≠0，則x、y不是相反數(shù)”是真命題．(2)“若a2≤b2，則a≤b”，取a＝－1，b＝0，因為ab2，故是假命題．(3)“若x>－3，則x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式的解，故是假命題．(4)“相等的角是對頂角”是假命題．故選B.,[點評]本題的解法中運用了舉反例的辦法，如(2)、(3)的解法．舉出一個反例說明一個命題不正確是以后經(jīng)常用到的方法．,判斷命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題的真假．[解析]解法一：寫出逆否命題，再判斷其真假．原命題：若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根；逆否命題：若x2＋x－a＝0無實根，則a<0.判斷如下：因為x2＋x－a＝0無實根．所以Δ＝1＋4a<0，所以a<－<0.所以“若x2＋x－a＝0無實根，則a0，所以方程x2＋x－a＝0的判別式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有實根．故原命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”為真．又因原命題與逆否命題等價，所以“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題為真．,[例4]寫出下列命題的否命題及命題的否定形式，并判斷真假．(1)若m>0，則關于x的方程x2＋x－m＝0有實根．(2)若x、y都是奇數(shù)，則x＋y是奇數(shù)．(3)若abc＝0，則a、b、c中至少有一個為0.,[解析](1)否命題：若m≤0，則關于x的方程x2＋x－m＝0無實根．(假命題)命題的否定：若m>0，則關于x的方程x2＋x－m＝0無實根．(假命題)(2)否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù)．(假命題)命題的否定：若x、y都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù)．(真命題)(3)否命題：若abc≠0，則a、b、c全不為0.(真命題)命題的否定：若abc＝0，則a、b、c全不為0.(假命題),[點評]命題的否定形式及否命題是兩個不同的概念，要注意區(qū)別，不能混淆．從形式上看，否命題既否定條件，又否定結論，而命題的否定，條件不變，只否定結論.,[例5]已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a、b∈R，對命題“如果a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)寫出其否命題，判斷其真假，并證明你的結論．(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結論．,[分析]由題目可獲取以下主要信息：①給出一個具體的命題，②寫出它的否命題及逆否命題，判斷其真假并證明．解答這類題關鍵是根據(jù)命題的特點，選擇合適的證明方法．,[解析](1)①否命題：如果a＋b<0，則f(a)＋f(b)
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- 四種命題及其相互關系 高中數(shù)學 命題 及其 相互關系 同步 課件 新人 選修
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