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A的最大因數(shù)是:A; A的最小倍數(shù)是:A; 最小的自然數(shù)是:0; 最小的奇數(shù)是:1; 最小的偶數(shù)是:0; 最小的質(zhì)數(shù)是:2; 最小的合數(shù)是:4; 7、分解質(zhì)因數(shù):把一個合數(shù)分解成多個質(zhì)數(shù)相乘的形式。 用短除法分解質(zhì)因數(shù) (一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式)。 比如:30分解質(zhì)因數(shù)是:(30=2×3×5) 8、互質(zhì)數(shù):公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。 兩個質(zhì)數(shù)的互質(zhì)數(shù):5和7 兩個合數(shù)的互質(zhì)數(shù):8和9 一質(zhì)一合的互質(zhì)數(shù):7和8 兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況: ⑴1和任何自然數(shù)互質(zhì); ⑵相鄰兩個自然數(shù)互質(zhì); ⑶兩個質(zhì)數(shù)一定互質(zhì); ⑷2和所有奇數(shù)互質(zhì); ⑸質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì); 9、公因數(shù)、最大公因數(shù) 幾個數(shù)公有的因數(shù)叫這些數(shù)的公因數(shù)。其中最大的那個就叫它們的最大公因數(shù)。 用短除法求兩個數(shù)或三個數(shù)的最大公因數(shù)(除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)連乘起來) 幾個數(shù)的公因數(shù)只有1，就說這幾個數(shù)互質(zhì)。 如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，那么較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。 如果兩數(shù)互質(zhì)時，那么1就是它們的最大公因數(shù)。 10、公倍數(shù)、最小公倍數(shù) 幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫這些數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數(shù)。 用短除法求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)(除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來) 用短除法求三個數(shù)的最小公倍數(shù)(除到兩兩互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來) 用12和16來舉例 1、求法一:(列舉求同法) 最大公因數(shù)的求法: 12的因數(shù)有:1、12、2、6、3、4 16的因數(shù)有:1、16、2、8、4 最大公因數(shù)是4 最小公倍數(shù)的求法: 12的倍數(shù)有:12、24、36、48、… 16的倍數(shù)有:16、32、48、… 最小公倍數(shù)是48 2、求法二:(分解質(zhì)因數(shù)法) 12=2×2×3 16=2×2×2×2 最大公因數(shù)是: 2×2=4(相同乘) 最小公倍數(shù)是: 2×2×3×2×2=48(相同乘×不同乘) 第三單元長方體和正方體 1、由6個長方形(特殊情況有兩個相對的面是正方形)圍成的立體圖形叫做長方體。兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。相交于一個頂點(diǎn)的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。 長方體特點(diǎn): (1)有6個面，8個頂點(diǎn)，12條棱，相對的面的面積相等，相對的棱的長度相等。 (2)一個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。 2、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體(也叫做立方體)。 正方體特點(diǎn): (1)正方體有12條棱，它們的長度都相等。 (2)正方體有6個面，每個面都是正方形，每個面的面積都相等。 (3)正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。 相同點(diǎn) 不同點(diǎn) 面 棱 長方體 都有6個面，12條棱，8個頂點(diǎn)。 6個面都是長方形。(有可能有兩個相對的面是正方形)。 相對的棱的長度都相等 正方體 6個面都是正方形。 12條棱都相等。 3、長方體、正方體有關(guān)棱長計算公式: 長方體的棱長總和=(長+寬+高)×4=長×4+寬×4+高×4 L=(a+b+h)×4 長=棱長總和÷4-寬 -高 a=L÷4-b-h 寬=棱長總和÷4-長 -高 b=L÷4-a-h 高=棱長總和÷4-長 -寬 h=L÷4-a-b 正方體的棱長總和=棱長×12 L=a×12 正方體的棱長=棱長總和÷12 a=L÷12 4、長方體或正方體6個面和總面積叫做它的表面積。 長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 無底(或無蓋) 長方體表面積=長×寬+(長×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh)-ab S=2(ah+bh)+ab 無底又無蓋長方體表面積=(長×高+寬×高)×2 S=2(ah+bh) 貼墻紙 正方體的表面積=棱長×棱長×6 S=a×a×6用字母表示:S= 6a2 生活實(shí)際: 油箱、罐頭盒等都是6個面 游泳池、魚缸等都只有5個面 水管、煙囪等都只有4個面。 注意1:用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。(表面積相應(yīng)增加) 注意2:長方體或正方體的長、寬、高同時擴(kuò)大幾倍，表面積會擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。 (如長、寬、高各擴(kuò)大2倍，表面積就會擴(kuò)大到原來的4倍)。 5、物體所占空間的大小叫做物體的體積。 V=a×a×a=a3 讀作“a的立方”表示3個a相乘，(即a·a·a) 長方體或正方體底面的面積叫做底面積。 長方體(或正方體)的體積=底面積×高 用字母表示:V=S h(橫截面積相當(dāng)于底面積，長相當(dāng)于高)。 注意:一個長方體和一個正方體的棱長總和相等，但體積不一定相等。 6、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。 固體一般就用體積單位，計量液體的體積，如水、油等。 常用的容積單位有升和毫升也可以寫成L和ml。 (1L3 3?) 長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同。 但要從容器里面量長、寬、高。(所以，對于同一個物體，體積大于容積。) 注意:長方體或正方體的長、寬、高同時擴(kuò)大幾倍，體積就會擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍。 (如長、寬、高各擴(kuò)大2倍，體積就會擴(kuò)大到原來的8倍)。 *形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，形狀規(guī)則的物體可以用公式直接求體積。 排水法的公式: V物體 =V現(xiàn)在-V原來 也可以 V物體 =S×(h現(xiàn)在- h原來) V物體 =S×h升高 8、【體積單位換算】 大單位×進(jìn)率=小單位 小單位÷進(jìn)率=大單位 進(jìn)率:1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米(立方相鄰單位進(jìn)率1000) 1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升 1立方厘米=1毫升 1平方米=100平方分米=10000平方厘米 1平方千米=100公頃=1000000平方米 注意:長方體與正方體關(guān)系 把長方體或正方體截成若干個小長方體(或正方體)后，表面積增加了，體積不變。 重量單位進(jìn)率，時間單位進(jìn)率，長度單位進(jìn)率 大單位×進(jìn)率=小單位 小單位÷進(jìn)率=大單位 長度單位: 1千米=1000米1分米=10厘米 1厘米=10毫米1分米=100毫米 1米=10分米=100厘米=1000毫米 (相鄰單位進(jìn)率10) 面積單位: 1平方千米=100公頃 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1公頃=10000平方米(平方相鄰單位進(jìn)率100) 質(zhì)量單位: 1噸=1000千克 1千克=1000克 人民幣: 1元=10角1角=10分1元=100分 第四單元分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì) 1、分?jǐn)?shù)的意義:一個物體、一物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。 2、單位“1”:一個整體可以用自然數(shù)1來表示，通常把它叫做單位“1”。(也就是把什么平均分什么就是單位“1”。) 3、分?jǐn)?shù)單位:把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。如4/5的分?jǐn)?shù)單位是1/5。 4、分?jǐn)?shù)與除法 A÷B=A/B(B≠0，除數(shù)不能為0，分母也不能夠?yàn)?)例如:4÷5=4/5 5、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù) 1、真分?jǐn)?shù):分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù) 2、假分?jǐn)?shù):分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)≧1 3、帶分?jǐn)?shù):帶分?jǐn)?shù)由整數(shù)和真分?jǐn)?shù)組成的分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)＞1. 6、假分?jǐn)?shù)與整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的互化 (1)假分?jǐn)?shù)化為整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)，用分子÷分母，商作為整數(shù)，余數(shù)作為分子，如: (2)整數(shù)化為假分?jǐn)?shù)，用整數(shù)乘以分母得分子如:(3)帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，用整數(shù)乘以分母加分子，得數(shù)就是假分?jǐn)?shù)的分子，分母不變，如:(4)1等于任何分子和分母相同的分?jǐn)?shù)。如:7、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì): 分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。 8、最簡分?jǐn)?shù):分?jǐn)?shù)的分子和分母只有公因數(shù)1，像這樣的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)。 一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質(zhì)因數(shù)，就能夠化成有限小數(shù)。反之則不可以。 9、約分:把一個分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。 如:24/30=4/5 10、通分:把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。 如:2/5和1/4可以化成8/20和5/20 11、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化 (1)小數(shù)化為分?jǐn)?shù):數(shù)小數(shù)位數(shù)。一位小數(shù)，分母是10;兩位小數(shù)，分母是100…… 如: 0.3=3/10 0.03=3/100 0.003=3/1000 (2)分?jǐn)?shù)化為小數(shù): 方法一:把分?jǐn)?shù)化為分母是10、100、1000…… 如:3/10=0.3 3/5=6/10=0.6 1/4=25/100=0.25 方法二:用分子÷分母 如:3/4=3÷4=0.75 (3)帶分?jǐn)?shù)化為小數(shù): 先把整數(shù)后的分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，再加上整數(shù) 12、比分?jǐn)?shù)的大小: 分母相同，分子大，分?jǐn)?shù)就大; 分子相同，分母小，分?jǐn)?shù)才大。 分?jǐn)?shù)比較大小的一般方法:同分子比較;通分后比較;化成小數(shù)比較。 13、分?jǐn)?shù)化簡包括兩步:一是約分;二是把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)。 1/2=0.51/4=0.253/4=0.75 1/5=0.22/5=0.43/5=0.6 4/5=0.8 1/8=0.1253/8=0.3755/8=0.6257/8=0.8751/20=0.051/25=0.04 14、兩個數(shù)互質(zhì)的特殊判斷方法: ① 1和任何大于1的自然數(shù)互質(zhì)。 ② 2和任何奇數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。 ③相鄰的兩個自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。 ④相鄰的兩個奇數(shù)互質(zhì)。 ⑤不相同的兩個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 ⑥當(dāng)一個數(shù)是合數(shù)，另一個數(shù)是質(zhì)數(shù)時(除了合數(shù)是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)情況下)，一般情況下這兩個數(shù)也都是互質(zhì)數(shù)。 15、求最大公因數(shù)的方法: ①倍數(shù)關(guān)系:最大公因數(shù)就是較小數(shù)。 ②互質(zhì)關(guān)系:最大公因數(shù)就是1 ③一般關(guān)系:從大到小看較小數(shù)的因數(shù)是否是較大數(shù)的因數(shù)。 16、分?jǐn)?shù)知識圖解: 第五單元圖形運(yùn)動三 圖形變換的基本方式是平移、對稱和旋轉(zhuǎn)。 1、軸對稱:如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。 (1)學(xué)過的軸對稱平面圖形:長(正)方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形…… 等腰三角形有1條對稱軸， 等邊三角形有3條對稱軸， 長方形有2條對稱軸， 正方形有4條對稱軸， 等腰梯形有1條對稱軸， 任意梯形和平行四邊形不是軸對稱圖形。 (2)圓有無數(shù)條對稱軸。 (3)對稱點(diǎn)到對稱軸的距離相等。 (4)軸對稱圖形的特征和性質(zhì): ①對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等; ②對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸垂直; ③對稱軸兩邊的圖形大小、形狀完全相同。 (5)對稱圖形包括軸對稱圖形和中心對稱圖形。平行四邊形(除棱形)屬于中心對稱圖形。 2、旋轉(zhuǎn):在平面內(nèi)，一個圖形繞著一個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到另一個圖形的變化較做旋轉(zhuǎn)，定點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，原圖形上的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后成為的另一點(diǎn)成為對應(yīng)點(diǎn)。 (1)生活中的旋轉(zhuǎn):電風(fēng)扇、車輪、紙風(fēng)車 (2)旋轉(zhuǎn)要明確繞點(diǎn)，角度和方向。 (3)長方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度與原來重合，正方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度與原來重合。等邊三角形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120度與原來重合。 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì): (1)圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動; (2)其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等; (3)旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變; (4)兩組對應(yīng)點(diǎn)非別與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角; (5)旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動的點(diǎn)。 3、對稱和旋轉(zhuǎn)的畫法:旋轉(zhuǎn)要注意:順時針、逆時針、度數(shù) 第六單元分?jǐn)?shù)的加減法 1、分?jǐn)?shù)數(shù)的加法和減法 (2)異分母分?jǐn)?shù)加、減法 (通分后再加減) (3)分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算:同整數(shù)。 (4)結(jié)果要是最簡分?jǐn)?shù) 2、帶分?jǐn)?shù)加減法: 帶分?jǐn)?shù)相加減，整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的結(jié)果合并起來。 附:具體解釋 (一)同分母分?jǐn)?shù)加、減法 1、同分母分?jǐn)?shù)加、減法: 同分母分?jǐn)?shù)相加、減，分母不變，只把分子相加減。 2、計算的結(jié)果，能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。 (二)異分母分?jǐn)?shù)加、減法 1、分母不同，也就是分?jǐn)?shù)單位不同，不能直接相加、減。 2、異分母分?jǐn)?shù)的加減法: 異分母分?jǐn)?shù)相加、減，要先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的方法進(jìn)行計算。 (三)分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算 1、分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)加減混合運(yùn)算的順序相同。 在一個算式中，如果有括號，應(yīng)先算括號里面的，再算括號外面的;如果只含有同一級運(yùn)算，應(yīng)從左到右依次計算。 2、整數(shù)加法的交換律、結(jié)合律對分?jǐn)?shù)加法同樣適用。 第七單元統(tǒng)計 1、眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的一個數(shù)或幾個數(shù)，就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。 在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有眾數(shù)。 2、中位數(shù): (1)按大小排列; (2)如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是單數(shù)，那么最中間的那個數(shù)就是中位數(shù); (3)如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是雙數(shù)，那么最中間的那兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。 3、平均數(shù)的求法: 總數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù) 4、一組數(shù)據(jù)的一般水平: (1)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中沒有偏大偏小的數(shù)，也沒有個別數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)，用平均數(shù)表示一般水平。 (2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有偏大或偏小的數(shù)時，用中位數(shù)來表示一般水平。 (3)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個別數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)，就用眾數(shù)來表示一般水平。 5、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別: ①平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 容易受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的平均情況。 ②中位數(shù): 將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 。 它不受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的一般情況。 ③眾數(shù): 在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 它不受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的集中情況。 5、統(tǒng)計圖:我們學(xué)過--條形統(tǒng)計圖、復(fù)式折線統(tǒng)計圖。 條形統(tǒng)計圖優(yōu)點(diǎn):條形統(tǒng)計圖能形象地反映出數(shù)量的多少。 折線統(tǒng)計圖優(yōu)點(diǎn):折線統(tǒng)計圖不僅能表示出數(shù)量的多少，還能反映出數(shù)量的變化情況。 注:①畫圖時注意: 一“點(diǎn)”(描點(diǎn))、二“連”(連線)、三“標(biāo)”(標(biāo)數(shù)據(jù))。 ②要用不同的線段分別連接兩組數(shù)據(jù)中的數(shù)。 6、打電話: 規(guī)律--人人不閑著，每人都在傳。(技巧:已知人數(shù)依次 × 2) (1)逐個法:所需時間最多。 (2)分組法:相對節(jié)約時間。 (3)同時進(jìn)行法:最節(jié)約時間 第八單元數(shù)學(xué)廣角 用天平找次品規(guī)律: 1、把所有物品盡可能平均地分成3份，(如余1則放入到最后一份中;如余2則分別放入到前兩份中)，保證找出次品而且稱的次數(shù)一定最少。 2、數(shù)目與測試的次數(shù)的關(guān)系: 2~3個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是1次 4~9個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是2次 10~27個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是3次 28~81個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是4次 82~243個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是5次 244~729個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是6次 16 .