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普寧一中2016--2017學年度第二學期高二級 開學考試 文科數(shù)學試題卷 注意事項： 1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卷上。 2.用2B鉛筆將選擇題答案在答題卷對應位置涂黑；答案不能答在試卷上。 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；不準使用鉛筆或涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4.考生必須保持答題卷的整潔。 一．選擇題（每題5分，共60分） 1．“且”是“”的( ) A充要條件 B必要不充分條件 C充分不必要條件 D既不充分也不必要條件 2.若命題p:，則對命題p的否定是（ ） A 　　　 B C. D. 3．已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)等于（ ） A B C D 4．已知拋物線的準線方程是，則的值為（ ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 5．觀察式子：，…，則可歸納出式子為（ ） A． B． C． D． 6．已知命題：，命題：，則下列命題中為真命題的是（ ） A． B． C． D． 7．已知直線過點(－2, 0), 當直線與圓有兩個交點時, 其斜率的取值 范圍是( ) A． B． C． D． 8．已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（－2，－1），則雙曲線的焦距為（ ） A． B． C． D． 9．為了了解某校高三400名學生的數(shù)學學業(yè)水平測試成績，制成樣本頻率分布直方圖如圖，規(guī)定不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是（ ） A.60%，60 B.60%，80 C.80%，80 D.80%，60 10．某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品的數(shù)量之比依次為3∶4∶7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中A型號產(chǎn)品有15件，那么樣本容量n為(　　) A．50 B．60 C．70 D．80 11．有3個活動小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學在同一個興趣小組的概率為（ ） A． B． C． D． 12．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，交其準線于點，若，且，則此拋物線的方程為（ ） A. B. C. D. 二．填空題（每題5分，共20分） 13.某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本．用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40組(1～5號、6～10號，…，196～200號)．若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是________． 14．在長為12cm的線段AB上任取一點C．現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為 . 15．已知雙曲線的一條漸近線方程是 ，則該雙曲線的離心率等于_____________________ 16．已知橢圓的左、右焦點分別為，過且與軸垂直的直線交橢圓于兩點，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為_____________ 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程. 17.（本題滿分12分）在含有3件次品的100件產(chǎn)品中，任取2件，求： （1）取到的次品數(shù)X的分布列（分布列中的概率值用分數(shù)表示，不能含組合符號）； （2）至少取到1件次品的概率. 18.（本題滿分12分）已知函數(shù)的圖象過點，且點在函數(shù)的圖象上. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）令，若數(shù)列的前項和為，求證： 19.（本題滿分12分）如圖，在三棱柱中，在底面上的射影為的中點,是的中點. （1）證明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 20.（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為 （1）求橢圓C的標準方程； （2）如圖，橢圓左頂點為A,過原點O的直線（與坐標軸不重合）與橢圓C交于P,Q兩點，試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結論. 21.（本題滿分12分）已知函數(shù)，且在處的切線斜率為 （1）求的值，并討論在上的單調(diào)性； （2）設函數(shù)，其中，若對任意的總存在，使得成立，求的取值范圍. 請考生在第22、23兩題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號的方框涂黑。 22.（本題滿分10分）【選修4-4 坐標系與參數(shù)方程】 在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以O為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與各有一個交點，當時，這兩個交點間的距離為2，當時，這兩個交點重合. （1）分別說明是什么曲線，并求的值； （2）設當時，與的交點分別為，當時，與的 交點分別為，求直線,的極坐標方程. 23.（本題滿分10分）【選修4-5 不等式選講】 設函數(shù) （1）證明：； （2）若不等式的解集是非空集合，求的范圍. 文科數(shù)學參考答案 一、選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A A B A C C B C C A B 二．填空題 13. 37 14. 15. 16. 17．（Ⅰ）因為從100件產(chǎn)品中任取2件的結果數(shù)為，從100件產(chǎn)品中任取2件其中恰有k件次品的結果數(shù)為，所以從100件產(chǎn)品中任取2件，其中恰有k件次品的概率為 ---------------------------------------4分 X 0 1 2 P ---------------------------------------------------------------8分 （Ⅱ）根據(jù)隨機變量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率為 ---------------------------------------12分 18. （本題滿分12分） 【解析】（Ⅰ）∵函數(shù)的圖象過點， ∴………………………………………………2分 又點在函數(shù)的圖象上 從而，即……………………………………6分 （Ⅱ）證明：由 得………………………………8分 則 兩式相減得， ∴…………………………………………11分 ∴……………………………………………………12分 19.（本題滿分12分） 【解析】（Ⅰ）設E為BC的中點，連接由題意得 所以因為，所以 故………………………………………………3分 由D，E分別為，BC的中點， 得，從而， 所以四邊形為平行四邊形 故,又因為 所以………………………………6分 （Ⅱ）（解法一）作，連接 由，得 由，得全等 由，得， 因此為二面角的平面角……9分 由，得 由余弦定理得………………………………12分 （解法二）以CB的中點E為原點，分別以射線EA，EB為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系Exyz，如圖所示……………………………………7分 由題意知各點坐標如下： 所以……9分 設平面的法向量為，平面的法向量為 由，即 可取 由，即 可取 于是 由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角， 故二面角的平面角的余弦值為……………………12分 20.（本題滿分12分） 【解析】（Ⅰ）由短軸長為，得 由，得 ∴橢圓C的標準方程為……………………………………5分 （Ⅱ）結論：以MN為直徑的圓過定點………………………………7分 證明如下：設，則， 且，即， ∵， ∴直線PA的方程為，∴， 直線QA的方程為，∴， 以MN為直徑的圓為 即………………………………9分 ∵，∴令，則，解得 ∴以MN為直徑的圓過定點…………………………12分 21.（本題滿分12分） 【解析】（Ⅰ）∵ ………………1分 ∴，………………………………………………………3分 當時，或 當時，或 ∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減………6分 （Ⅱ）當時，單調(diào)遞增， ∴， 則只需在上恒成立即可……………………………………7分 ①當時， ∴在上恒成立， 即在上單調(diào)遞增 又，∴ ∴在上恒成立，故時成立；………………………9分 ②當，時，，此時單調(diào)遞減 ∴， 故時不成立………………………………………………………11分 綜上所述，m的取值范圍是…………………………………………12分 22．（本題滿分10分）【選修4—4 坐標系統(tǒng)與參數(shù)方程】 【解析】(Ⅰ) C1是圓，C2是橢圓 當時，射線與C1，C2交點的直角坐標分別為（1，0），（a，0）， 因為這兩點間的距離為2，所以a=3…………………………………………2分 當時，射線與C1，C2交點的直角坐標分別為（0，1），（0，b）， 因為這兩點重合，所以b=1……………………………………………………5分 (Ⅱ) C1，C2的普通方程分別為和 ………………………6分 當時，射線與C1的交點A1的橫坐標為， 與C2的交點B1的橫坐標為 當時，射線與C1，C2的交點A2，分別與A1，B1關于x軸對稱 因此直線A1 A2 、B1B2垂直于極軸，故直線A1 A2 和B1B2的極坐標方程分別為 ，……………………………………………10分 23．（本題滿分10分）【選修4—5 不等式選講】 【解析】 (Ⅰ)函數(shù) 則 ……………3分 …………5分 (Ⅱ) 當時，, 則 當時，， 則； 當時，， 則 于是的值域為…………………………………8分 由不等式的解集是非空集， 即， 解得，由于則的取值范圍是（-1，0）…………………10分