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普寧一中2016--2017學(xué)年度第二學(xué)期高二級 開學(xué)考試 理科數(shù)學(xué)試題卷 注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卷上。 2.用2B鉛筆將選擇題答案在答題卷對應(yīng)位置涂黑；答案不能答在試卷上。 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4.考生必須保持答題卷的整潔。 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求. 1.設(shè)為虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則等于 A. B. C. 2 D. 2.已知集合，則 A. B. C. D. 3.定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則當(dāng)時(shí)，有 A. B. C. D. 4.已知F為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為 A. B. C. D. 5.高考后，4位考生各自在甲、乙兩所大學(xué)中任選一所參觀，則甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的概率為 A. B. C. D. 6. 已知圖甲是函數(shù)的圖象，圖乙是由圖甲變換所得，則圖乙中的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是 A. B. C. D. 7.如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是 A. 34 B. 55 C. 78 D. 89 8.已知，且，則等于 A. B. C. D. 9.若實(shí)數(shù)滿足不等式組，且的最大值為9，則實(shí)數(shù)等于 A. B. C. 1 D. 10.已知直線和直線，拋物線上一點(diǎn)P到直線和的距離之和的最小值是 A. B. C. D.3 11.已知螞蟻從正方體的頂點(diǎn)A處出發(fā)，經(jīng)過正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)的位置，則下列圖中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖是 A. ①② B. ①③ C. ②④ D.③④ 12.定義在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知的展開式中的系數(shù)為5，則 . 14. 分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦B曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，如圖是按照分形的規(guī)律生長成的一個(gè)樹形圖，則第10行的空心圓的個(gè)數(shù)為 . 15.平面向量，且與的夾角等于與的夾角，則等于 . 16.設(shè)G是的重心，且，則角B的大小為 . 三．解答題（共70分） 17（10分）.在長豐中學(xué)舉行的電腦知識競賽中，將九年級兩個(gè)班參賽的學(xué)生成績（得分均為整數(shù)）進(jìn)行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小組的頻數(shù)是40. （1）求第二小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖； （2）求這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)，并回答這兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)應(yīng)落在第幾小組內(nèi). 18（12分）．設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定義域?yàn)镽；命題q：不等式3x－9x＜a對一切正實(shí)數(shù)x均成立．如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 19（12分）．設(shè)是關(guān)于的一元二次方程． （1）若是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率； （2）若是從區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率． 20（12分）．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn) （1）求四棱錐P－ABCD的體積； （2）證明：BD⊥AE。 （3）求二面角P-BD-C的正切值。 21（12分）．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上 有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6. （1）求拋物線的方程； （2）若拋物線與直線相交于不同的兩點(diǎn)、，且中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求的值. 22（12分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí)，求的值． 理科數(shù)學(xué)參考答案 1—5 CACAD;6—10 CBACB;11—12 CD 13． -1 ． 14． 21 ．15． 2 ．16．． 17.解析 （1）∵各小組的頻率之和為，第一、三、四、五小組的頻率分別是，，， ∴第二小組的頻率為： ∴落在的第二小組的小長方形的高，則補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所示 （2）設(shè)九年級兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)為人 ∵第二小組的頻數(shù)為人，頻率為 ∴，解得 所以這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)為人 因?yàn)?，，，? 即第一、第二、第三、第四、第五小組的頻數(shù)分別為，，，， 所以九年級兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)應(yīng)落在第二小組內(nèi) 18.解析　若命題p為真，即ax2－x＋a＞0恒成立， 則有，∴a＞1. 令y＝3x－9x＝－(3x－)2＋，由x＞0得3x＞1， ∴y＝3x－9x的值域?yàn)?－∞，0)． ∴若命題q為真，則a≥0. 由命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，得命題p、q一真一假． 當(dāng)p真q假時(shí)，a不存在；當(dāng)p假q真時(shí)，0≤a≤1. 19.解析 方程有實(shí)根的充要條件為：，即． （1）基本事件有12個(gè)，其中，，，，，，，，滿足條件，則． （2）試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋? 滿足題意的區(qū)域?yàn)椋海? 所以，所求概率為． 20.解析（1）該四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形， 側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ∴ (2)連結(jié)AC，∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC 又∵∴BD⊥平面PAC ∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC ∴BD⊥AE （3）設(shè)相交于，連,由四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PC⊥底面ABCD知，是二面角P-BD-C的的一個(gè)平面角， ,即二面角P-BD-C的正切值為 21.解析（1）設(shè)拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為， 到焦點(diǎn)的距離為6，∴，∴. 即拋物線的方程為. （2）設(shè)，， 由消去，得， 由條件，且，∴且， 又，∴，解得或（舍）. 22.解析（1）由題意知：＝ ∴，∴. 又∵圓與直線相切， ∴，∴， 故所求橢圓C的方程為 （2）設(shè)，其中， 將代入橢圓的方程整理得：， 故．① 又點(diǎn)到直線的距離分別為， ． 所以四邊形的面積為 ， 當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號． 所以當(dāng)四邊形面積的最大值時(shí)，=2.