《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 函數(shù)的應(yīng)用練習(xí) 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 函數(shù)的應(yīng)用練習(xí) 文（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第2講 函數(shù)的應(yīng)用
1．(2016天津改編)已知函數(shù)f(x)＝sin2＋sin ωx－ (ω>0，x∈R)．若f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是__________．
答案 ∪
解析 f(x)＝＋sin ωx－
＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，ωx－∈，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)有零點(diǎn)，則ωπ－
0，且a≠1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|＝2－x恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是____________．
答案 ∪
解析 由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上遞減，得02，即a>時(shí)，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，則Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)；
當(dāng)1≤3a≤2，即≤a≤時(shí)，由圖象可知，符合條件．
綜上所述，a∈∪.
3．(2016山東)已知函數(shù)f(x)＝ 其中m>0，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________．
答案 (3，＋∞)
解析 如圖，當(dāng)x≤m時(shí)，f(x)＝|x|；當(dāng)x>m時(shí)，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m2－2mm＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.
4．某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長(zhǎng)l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝.
(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時(shí)；
(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時(shí)．
答案 (1)1 900 (2)100
解析 (1)當(dāng)l＝6.05時(shí)，F(xiàn)＝
＝≤＝＝1 900.
當(dāng)且僅當(dāng)v＝11 米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車流量最大為1 900輛/時(shí)．
(2)當(dāng)l＝5時(shí)，F(xiàn)＝＝
≤＝＝2 000.
當(dāng)且僅當(dāng)v＝10 米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車流量最大為2 000 輛/時(shí)．
比(1)中的最大車流量增加100 輛/時(shí)．
1.求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見(jiàn)題型，主要以填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問(wèn)題.
熱點(diǎn)一 函數(shù)的零點(diǎn)
1．零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
例1 (1)函數(shù)f(x)＝log2－x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
(2)函數(shù)f(x)＝3－x＋x2－4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．
答案 (1)2 (2)2
解析 (1)令f＝log2－x2＝0，log2＝x2，分別畫出左右兩個(gè)圖象如圖所示，由此可知這兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，也即原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(2)f(x)＝3－x＋x2－4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程3－x＝4－x2的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y＝3－x＝()x與y＝4－x2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出函數(shù)y＝()x與y＝4－x2的圖象，如圖所示，可得函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
思維升華 函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問(wèn)題，常見(jiàn)的有：(1)函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定；(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；(3)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定．解決這類問(wèn)題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解．
跟蹤演練1 (1)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋5－2ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(1－x)－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
答案 (1)2 (2)3
解析 (1)由題意可得x＞0，求函數(shù)f(x)＝x2－4x＋5－2ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求方程ln x＝(x－2)2＋的解的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合(圖略)可得，函數(shù)y＝ln x的圖象和函數(shù)y＝(x－2)2＋的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
則f(x)＝x2－4x＋5－2ln x有2個(gè)零點(diǎn)．
(2)函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y＝f(1－x)的圖象與直線y＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．令t＝1－x，則f(t)＝
作出函數(shù)y＝f(t)的圖象，與直線y＝1有3個(gè)交點(diǎn)，
故g(x)有3個(gè)零點(diǎn)．
熱點(diǎn)二 函數(shù)的零點(diǎn)與參數(shù)的范圍
解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．
例2 (1)已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝2－f(x) ，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝kx＋1，若方程f(x)－g(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (1)(2,3] (2)(，1)∪(1，e－1]
解析 (1)由題意當(dāng)y＝f(x)－g(x)＝2＝0時(shí)，即方程f(x)＝1有4個(gè)解. 又由函數(shù)y＝a－與函數(shù)y＝(x－a)2的大致形狀可知，直線y＝1與函數(shù)f(x)＝的左右兩支曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示.
那么，有
即解得20，所以f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a.由于所以f(x)有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)2－2ln 2＋a≤0，所以a≤2ln 2－2.
(2)當(dāng)x<3時(shí)，令ln|x－1|＝0，求得x＝0或x＝2，
即f(x)在(－∞，3)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
由題意，知f(x)＝2x－a在[3，＋∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則由f(x)＝0，得a＝2x∈[8，＋∞)．
熱點(diǎn)三 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域．其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實(shí)際問(wèn)題作答：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問(wèn)題作出解答．
例3 某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為x(單位：元，x>0)時(shí)，銷售量q(x)(單位：百臺(tái))與x的關(guān)系滿足：若x不超過(guò)20，則q(x)＝；若x大于或等于180，則銷售量為零；當(dāng)200，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)80180時(shí)，f(x)＝0.
答 當(dāng)x等于80元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值240 000元．
思維升華 (1)關(guān)于解決函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要耐心、細(xì)心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識(shí)求解，解答后再回到實(shí)際問(wèn)題中去．
(2)對(duì)函數(shù)模型求最值的常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法．
跟蹤演練3 (1)國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法為：不超過(guò)800元的不納稅；超過(guò)800元而不超過(guò)4 000元的按超過(guò)部分的14%納稅；超過(guò)4 000元的按全稿酬的11%納稅．某人出版了一本書共納稅420元，則他的稿費(fèi)為________元．
(2)某租賃公司擁有汽車100輛．當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時(shí)，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未出租的車將會(huì)增加一輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元，要使租賃公司的月收益最大，則每輛車的月租金應(yīng)定為________元．
答案 (1)3 800 (2)4 050
解析 (1)假設(shè)個(gè)人稿費(fèi)為x元，所繳納稅費(fèi)為y元，由已知條件可知y為x的函數(shù)，且滿足
y＝
共納稅420元，
所以有0.14(x－800)＝420?x＝3 800.
(2)設(shè)每輛車的月租金為x(x>3 000)元，則租賃公司月收益為y＝(100－)(x－150)－50，整理得y＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以當(dāng)x＝4 050時(shí)，y取最大值為307 050，即當(dāng)每輛車的月租金定為4 050元時(shí)，租賃公司的月收益最大為307 050元.
1．函數(shù)f(x)＝2sin πx－x＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
押題依據(jù) 函數(shù)的零點(diǎn)是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)是一種常用方法．
答案 5
解析 令2sin πx－x＋1＝0，則2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，則f(x)＝2sin πx－x＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)h(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．h(x)＝2sin πx的最小正周期為T＝＝2，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)閔(1)＝g(1)，h()>g()，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)一共有5個(gè)，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.
2．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
押題依據(jù) 利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定參數(shù)范圍，較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．
答案 [－1,2)
解析 g(x)＝f(x)－2x＝要使函數(shù)g(x)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，只需g(x)＝0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以或
所以g(x)＝0的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為x＝2(x>a)，x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)．
再借助數(shù)軸，可得－1≤a<2.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1,2)．
3．已知f是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意的x∈，滿足f＝f，若當(dāng)x∈，f＝，則函數(shù) y＝f－1在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
押題依據(jù) 結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想解決此類問(wèn)題是關(guān)鍵．
答案 7
解析 ∵偶函數(shù)f滿足f＝f，∴函數(shù)f的周期為2.又當(dāng)x∈，f＝，∴f＝f＝1，f＝1，∴f＝f＝f＝f＝f＝f＝f＝1.函數(shù)y＝f－1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程f－1＝0解的個(gè)數(shù)．在區(qū)間上，方程f－1＝0的解有：－2，－1，0,1,2,3,4共7個(gè)．
4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為________m.
押題依據(jù) 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是高考的必考點(diǎn)，函數(shù)的最值問(wèn)題是應(yīng)用問(wèn)題考查的熱點(diǎn)．
答案 20
解析 如圖，過(guò)A作AH⊥BC交于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)F，易知＝＝＝?AF＝x?FH＝40－x，則S＝x(40－x)≤()2，當(dāng)且僅當(dāng)40－x＝x，即x＝20時(shí)取等號(hào)，所以滿足題意的邊長(zhǎng)x為20 m.
A組 專題通關(guān)
1．(教材改編)若函數(shù)f(x)＝x2－mx＋3在R上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．
答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 ∵函數(shù)f(x)＝x2－mx＋3在R上存在零點(diǎn)，
∴x2－mx＋3＝0有解，∴Δ＝m2－43≥0，
解得，m≥2或m≤－2.
2．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有______個(gè)．
答案 3
解析 依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有3個(gè)．
3．已知x0(x0>1)是函數(shù)f(x)＝ln x－的一個(gè)零點(diǎn)，若a∈(1，x0)，b∈(x0，＋∞)，則f(a)________0，f(b)________0.
答案 < >
解析 由題意得f(x0)＝0，又y＝ln x在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝－在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．又10時(shí)，令f(x)＝|ln x|－1＝0，解得x＝e或，均滿足題意；
當(dāng)x≤0時(shí)，令f(x)＝－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1(x＝3舍去)．所以函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.
5．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x＋x＋x＝________.
答案 5
解析 作出f(x)的圖象，如圖所示．
由圖象知，只有當(dāng)f(x)＝1時(shí)有3個(gè)不同的實(shí)根；
∵關(guān)于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，
∴必有f(x)＝1，從而x1＝1，x2＝2，x3＝0，
故可得x＋x＋x＝5.
6．若函數(shù)f(x)＝有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (0,1]
解析 當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個(gè)零點(diǎn)，
令f(x)＝0得a＝2x，
因?yàn)?<2x≤20＝1，所以00，b>0)的函數(shù)因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故生動(dòng)地稱為“囧函數(shù)”，若當(dāng)a＝1，b＝1時(shí)的“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則n＝________.
答案 4
解析 由題意知，當(dāng)a＝1，b＝1時(shí)，
y＝＝
在同一坐標(biāo)系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的圖象如圖所示，易知它們有4個(gè)交點(diǎn)．
9．某駕駛員喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時(shí)間x(小時(shí))變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式《酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不超過(guò)0.02毫克/毫升．此駕駛員至少要過(guò)______小時(shí)后才能開車．(不足1小時(shí)部分算1小時(shí)，結(jié)果精確到1小時(shí))
答案 4
解析 因?yàn)?≤x≤1，所以－2≤x－2≤－1，
所以5－2≤5x－2≤5－1，而5－2>0.02，
又由x>1，得x≤，
得x≤，所以x≥4.
故至少要過(guò)4小時(shí)后才能開車．
10．隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員2a人(140<2a<420，且a為偶數(shù))，每人每年可創(chuàng)利b萬(wàn)元．據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01b萬(wàn)元，但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬(wàn)元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？
解 設(shè)裁員x人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y萬(wàn)元，則
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx
＝－[x2－2(a－70)x]＋2ab.
依題意得2a－x≥2a，
所以0，即1400(其中f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))．
則方程f(x)＝|sin x|在[－2π，2π]上的根的個(gè)數(shù)為________．
答案 8
解析 由(1)知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；
由(2)知，f(x＋π)＝1－f(x)，
故f(x＋2π)＝1－f(x＋π)＝1－[1－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是周期函數(shù)，其周期為2π.
由(3)知，函數(shù)f(x)的圖象在y＝0與y＝1之間．
由(4)知，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，
故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，
故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)＝|1－x|，畫出函數(shù)f(x)和y＝|sin x|在[－2π，2π]上的圖象，如圖所示，兩函數(shù)在[－2π，2π]上共有8個(gè)交點(diǎn)，所以方程f(x)＝|sin x|在[－2π，2π]上共有8個(gè)零點(diǎn)．
12．某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表所示.
銷售單價(jià)/元
6
7
8
9
10
11
12
日均銷售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部定價(jià)在_________元/桶才能獲得最大利潤(rùn)．
答案 11.5
解析 設(shè)每桶水的價(jià)格為元，公司日利潤(rùn)y元，則：y＝－200＝－40x2＋440x＋280，∵－40<0，∴當(dāng)x＝－＝5.5時(shí)函數(shù)有最大值，因此，每桶水的價(jià)格為11.5元，公司日利潤(rùn)最大．
13．已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，g(x)＝則方程|f(x)＋g(x)|＝1實(shí)根的個(gè)數(shù)為________．
答案 4
解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故當(dāng)1＜x＜2時(shí)h(x)單調(diào)遞減，在同一坐標(biāo)系中畫出y＝|h(x)|和y＝1的圖象如圖所示．
由圖象可知|f(x)＋g(x)|＝1的實(shí)根個(gè)數(shù)為4.
14．已知函數(shù)f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，給出下列命題：
①?a∈R，使f(x)為偶函數(shù)；
②若f(0)＝f(2)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；
③若a2－b≤0，則f(x)在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數(shù)；
④若a2－b－2>0，則函數(shù)h(x)＝f(x)－2有2個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)為________．
答案 ①③
解析?、佼?dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝|x2＋b|顯然是偶函數(shù)，故①正確．②由f(0)＝f(2)，得|b|＝|4－4a＋b|，
而f(x＋1)＝|(x＋1)2－2a(x＋1)＋b|＝|x2＋(2－2a)x＋1－2a＋b|，f(1－x)＝|(1－x)2－2a(1－x)＋b|
＝|1－2x＋x2－2a＋2ax＋b|
＝|x2＋(2a－2)x＋1－2a＋b|.
f(x＋1)≠f(1－x)，
∵|b|＝|4－4a＋b|不能判定a＝1，
∴f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故②錯(cuò)誤．③f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數(shù)，故③正確．④如圖所示，當(dāng)a2－b－2>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝2有4個(gè)交點(diǎn)，故h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．
高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 函數(shù)的應(yīng)用練習(xí) 文
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