高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第二部分 技巧規(guī)范篇 第一篇 快速解答選擇填空題 第2講 四種策略搞定填空題 文
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第2講 四種策略搞定填空題 [題型分析高考展望] 填空題的基本特點是：(1)題目小巧靈活，結(jié)構(gòu)簡單；(2)答案簡短明確，不反映過程，只要結(jié)果；(3)填空題根據(jù)填寫內(nèi)容，可分為定量型(填寫數(shù)值，數(shù)集或數(shù)量關(guān)系)和定性型(填寫某種性質(zhì)或是有某種性質(zhì)的對象)． 根據(jù)填空題的特點，在解答時要做到四個字——“快”“穩(wěn)”“全”“細(xì)”． 快——運算要快，力戒小題大做；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意． 高考必會題型 方法一 直接法 根據(jù)題目中給出的條件，通過數(shù)學(xué)計算找出正確答案．解決此類問題需要直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論等，通過巧妙變化，簡化計算過程．解題過程要靈活地運用相關(guān)的運算規(guī)律和技巧，合理轉(zhuǎn)化、巧妙處理已知條件． 例1 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且＝－，則角B的值為________． 答案 解析 方法一 由正弦定理， 即＝＝＝2R， 得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入＝－，得＝－， 即2sin Acos B＋sin Ccos B＋cos Csin B＝0， 所以2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0. 在△ABC中，sin(B＋C)＝sin A， 所以2sin Acos B＋sin A＝0， 又sin A≠0，所以cos B＝－. 又角B為△ABC的內(nèi)角，所以B＝. 方法二 由余弦定理，即cos B＝， cos C＝，代入＝－， 得＝－， 整理，得a2＋c2－b2＝－ac， 所以cos B＝＝－＝－， 又角B為△ABC的內(nèi)角，所以B＝. 點評 直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵． 變式訓(xùn)練1 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n，則S2 016＝____________. 答案 321 008－3 解析 由題意得anan＋1＝2n，an＋2an＋1＝2n＋1?＝2， 因此a1，a3，a5，…構(gòu)成一個以1為首項，2為公比的等比數(shù)列； a2，a4，a6，…構(gòu)成一個以2為首項，2為公比的等比數(shù)列； 從而S2 016＝(a1＋a3＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋…＋a2 016)＝＋2＝3(21 008－1)． 方法二 特例法 當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論．為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應(yīng)多取幾個特例． 例2 (1)若函數(shù)f(x)＝sin 2x＋acos 2x的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，則a＝________. (2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是________． 答案 (1)－1 (2) 解析 (1)由題意，對任意的x∈R， 有f(－＋x)＝f(－－x)， 令x＝，得f(0)＝f(－)，得a＝－1. (2)方法一 △ABC為等邊三角形時滿足條件， 則S△ABC＝. 方法二 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. ∴S△ABC＝absin C＝6＝. 點評 求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解． 變式訓(xùn)練2 (1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________. (2)如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________． 答案 (1)－ (2)2 解析 (1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R， 又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以f(－)－f()＝0， 即ln(e－1＋1)－－ln(e＋1)－＝0， ln e－1－a＝0， 解得a＝－，將a＝－代入原函數(shù)， 檢驗知f(x)是偶函數(shù)， 故a＝－. (2)用特殊值法，可設(shè)AB＝AC＝BM＝1， 因為＝m， 所以m＝，過點C引AM的平行線，并延長MN， 兩線相交于點E， 則AE＝BC＝2OC，易得AN＝AC， 因為＝n，所以n＝， 可知m＋n＝＋＝2. 方法三 數(shù)形結(jié)合法 對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率或截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確、規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形． 例3 (1)已知點P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是________________________________________________________________________． (2)已知函數(shù)f(x)＝x|x－2|，則不等式f(－x)≤f(1)的解集為________． 答案 (1)[2,16] (2)[－1，＋∞) 解析 (1)畫出可行域如圖， 所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方， 由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方， ∴d＝[]2＝()2＝2. 最大值為點Q到點A的距離的平方， ∴d＝16. ∴取值范圍是[2,16]． (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖， 由不等式f(－x)≤f(1)知， －x≤＋1， 從而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集為[－1，＋∞)． 點評 數(shù)形結(jié)合在解答填空題中的應(yīng)用，就是利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點．準(zhǔn)確運用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果． 變式訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案 (1，＋∞) 解析 方程f(x)＋x－a＝0的實根也就是函數(shù)y＝f(x)與y＝a－x的圖象交點的橫坐標(biāo)，如圖所示，作出兩個函數(shù)的圖象，顯然當(dāng)a≤1時，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，當(dāng)a>1時，兩個函數(shù)圖象的交點只有一個．所以實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)． 方法四 構(gòu)造法 構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是綜合運用各種知識和方法，依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚恚瑯?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法． 例4 (1)若a＝ln －，b＝ln －，c＝ln －，則a，b，c的大小關(guān)系為________． (2)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、BC的中點，△AED、△EBF、△FCD分別沿著DE、EF、FD折起，使A、B、C三點重合于點A′，若四面體A′EFD的四個頂點在同一個球面上，則該球的半徑為________． 答案 (1)a下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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