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專題七 概率與統(tǒng)計 第三講 概率、隨機變量及分布列適考素能特訓 理
一、選擇題
1．[2016合肥質(zhì)檢]某企業(yè)的4名職工參加職業(yè)技能考核，每名職工均可從4個備選考核項目中任意抽取一個參加考核，則恰有一個項目未被抽中的概率為( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由題意得，所有的基本事件總數(shù)為44＝256，若恰有一個項目未被抽中，則說明4名職工總共抽取了3個項目，符合題意的基本事件數(shù)為CCCA＝144，故所求概率P＝＝，故選A.
2．[2016武昌調(diào)研] 在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為( )
A．1193 B．1359
C．2718 D．3413
附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ
0)，統(tǒng)計結(jié)果顯示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假設(shè)我校參加此次考試有780人，那么試估計此次考試中，我校成績高于120分的有________人．
答案 78
解析 因為成績ξ～N(90，σ2)，所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝90對稱．又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由對稱性知成績在120分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的(1－0.8)＝0.1，所以估計成績高于120分的有0.1780＝78人．
8．[2016河南信陽一模] 如圖所示，A，B兩點由5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)都通過的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8)＝________.
答案
解析 解法一(直接法)：由已知得，ξ的可能取值為7,8,9,10，
∵P(ξ＝7)＝＝，
P(ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，
P(ξ＝10)＝＝，
∴ξ的概率分布列為：
ξ
7
8
9
10
P
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝.
解法二(間接法)：由已知得，ξ的可能取值為7,8,9,10，故P(ξ≥8)與P(ξ＝7)是對立事件，所以P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝.
三、解答題
9．[2016云南統(tǒng)檢]某市教育與環(huán)保部門聯(lián)合組織該市中學參加市中學生環(huán)保知識團體競賽，根據(jù)比賽規(guī)則，某中學選拔出8名同學組成參賽隊，其中初中學部選出的3名同學有2名女生；高中學部選出的5名同學有3名女生，競賽組委會將從這8名同學中隨機選出4人參加比賽．
(1)設(shè)“選出的4人中恰有2名女生，而且這2名女生來自同一個學部”為事件A，求事件A的概率P(A)；
(2)設(shè)X為選出的4人中女生的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．
解 (1)由已知，得P(A)＝＝.
所以事件A的概率為.
(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.
由已知得P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以隨機變量X的分布列為：
X
1
2
3
4
P
隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝1＋2＋3＋4＝.
10．[2016鄭州質(zhì)檢]某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：
周一
無雨
無雨
有雨
有雨
周二
無雨
有雨
無雨
有雨
收益
20萬元
15萬元
10萬元
7.5萬元
若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務(wù)．無雨時收益為20萬元；有雨時收益為10萬元．額外聘請工人的成本為a萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.
(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益；
(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人，請說明理由．
解 (1)設(shè)下周一無雨的概率為p，由題意，p2＝0.36，p＝0.6，
基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，
則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，
所以基地收益X的分布列為：
X
20
15
10
7.5
P
0.36
0.24
0.24
0.16
基地的預(yù)期收益E(X)＝200.36＋150.24＋100.24＋7.50.16＝14.4，
所以，基地的預(yù)期收益為14.4萬元．
(2)設(shè)基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，收益P可能取值為20－a,10－a，
P(Y＝20－a)＝0.6，P(Y＝10－a)＝0.4，
則其預(yù)期收益E(Y)＝200.6＋100.4－a＝16－a(萬元)，
E(Y)－E(X)＝1.6－a，
綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；成本低于1.6萬元時，外聘工人；成本恰為1.6萬元時，是否外聘工人均可以．
11．[2015安徽安慶六校聯(lián)考]前不久，省社科院發(fā)布了2014年度“安徽城市居民幸福排行榜”，蕪湖市成為本年度安徽最“幸福城市”．隨后，師大附中學生會組織部分同學，用“10分制”隨機調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：
(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
(2)若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”，求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕?；
(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望．
解 (1)眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75.
(2)設(shè)Ai表示所取3人中有i個人是“極幸?！保炼嘤?人是“極幸?！庇洖槭录嗀，則P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.
(3)ξ的可能取值為0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝3＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝3＝.
則ξ的分布列為：
ξ
0
1
2
3
P
ξ～B
所以E(ξ)＝3＝0.75.
12．[2016沈陽質(zhì)檢]某中學根據(jù)2002～2014年期間學生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“攝影”“棋類”“國學”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.2015年某新生入學，假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“攝影”“棋類”“國學”三個社團的概率依次為m、、n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且m>n.
(1)求m與n的值；
(2)該校根據(jù)三個社團活動安排情況，對進入“攝影”社的同學增加校本選修學分1分，對進入“棋類”社的同學增加校本選修學分2分，對進入“國學”社的同學增加校本選修學分3分．求該新同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)的分布列及期望．
解 (1)依題，
解得
(2)令該新同學在社團方面獲得校本選修課學分的分數(shù)為隨機變量X，則X的值可以為0,1,2,3,4,5,6.
而P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＋＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝；
P(X＝6)＝＝.
X的分布列為：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
于是，E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＝.
典題例證
[2016全國卷Ⅰ]某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：
以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；
(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個？
審題過程
由柱狀圖得頻率，分別求出隨機變量每個取值所對應(yīng)的概率，進而可得分布列．
由(1)可求出n的最小值；分別求出n＝19，n＝20的期望值，再比較選取哪一個較好.
(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，1臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2，從而①
P(X＝16)＝0.20.2＝0.04；
P(X＝17)＝20.20.4＝0.16；
P(X＝18)＝20.20.2＋0.40.4＝0.24；
P(X＝19)＝20.20.2＋20.40.2＝0.24；
P(X＝20)＝20.20.4＋0.20.2＝0.2；
P(X＝21)＝20.20.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.20.2＝0.04.②
所以X的分布列為
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.
(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)．
當n＝19時，
E(Y)＝192000.68＋(19200＋500)0.2＋(19200＋2500)0.08＋(19200＋3500)0.04＝4040.③
當n＝20時，
E(Y)＝202000.88＋(20200＋500)0.08＋(20200＋2500)0.04＝4080.
可知當n＝19時所需費用的期望值小于當n＝20時所需費用的期望值，故應(yīng)選n＝19.
模型歸納
求離散型隨機變量的分布列與均值的模型示意圖如下：
高考數(shù)學大二輪專題復(fù)習 第二編 專題整合突破 專題七 概率與統(tǒng)計 第三講 概率、隨機變量及分布列適考素能特訓 理
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