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第1講 選擇題的解法技巧
題型概述
選擇題注重基本知識(shí)與基本技能的考查，側(cè)重于解題的靈活性和快捷性，以“小”“巧”著稱，試題層次性強(qiáng)，一般按照由易到難的順序排列，能充分體現(xiàn)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．
解題策略：充分利用題設(shè)和選擇支兩方面所提供的信息作出判斷，一般有兩種思路：一是從題干出發(fā)考慮探求結(jié)果；二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件；先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排除后求解，一定要小題巧解，避免小題大做．
方法一 直接法
直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí)，通過嚴(yán)密地推理和準(zhǔn)確地運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”，作出相應(yīng)的選擇．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡單的題目常用直接法．
例1 (1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，B＝2A，則cos A的值為( )
A. B.
C. D.
(2)某班有6位學(xué)生與班主任老師畢業(yè)前夕留影，要求班主任站在正中間且女生甲、乙不相鄰，則排法的種數(shù)為( )
A．96 B．432
C．480 D．528
解析 (1)在△ABC中，＝，
∴＝＝＝，
∴cos A＝.
(2)當(dāng)甲、乙在班主任兩側(cè)時(shí)，甲、乙兩人有332種排法，共有33224種排法；當(dāng)甲乙在班主任同側(cè)時(shí)，有424種排法，因此共有排法33224＋424＝528(種)．
答案 (1)A (2)D
思維升華 涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡單的題目常用直接法．只要推理嚴(yán)謹(jǐn)，運(yùn)算正確必能得出正確的答案．平時(shí)練習(xí)中應(yīng)不斷提高用直接法解選擇題的能力，不能一味求快導(dǎo)致快中出錯(cuò)．
跟蹤演練1 (1)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝，其前n項(xiàng)積為Tn，則T10等于( )
A. B．－
C．6 D．－6
(2)(2015四川)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 (1)D (2)D
解析 (1)由an＝?an＋1＝，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3，…，由此可知數(shù)列{an}的項(xiàng)具有周期性，且周期為4，第一周期內(nèi)的四項(xiàng)之積為1，則a9＝a1＝2，a10＝a2＝－3，所以數(shù)列{an}的前10項(xiàng)之積為112(－3)＝－6.
(2)每次循環(huán)的結(jié)果依次為：
k＝2，k＝3，k＝4，k＝5＞4，
∴S＝sin ＝.故選D.
方法二 特例法
從題干(或選項(xiàng))出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進(jìn)行判斷．特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用．特殊情況可能是：特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等．
例2 (1)設(shè)f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為( )
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
(2)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1,2,3，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，當(dāng)n≥1時(shí)，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析 (1)若a＝－1，則f(x)＝
易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；
若a＝0，則f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.D正確．
(2)因?yàn)閍5a2n－5＝22n(n≥3)，
所以令n＝3，代入得a5a1＝26，
再令數(shù)列為常數(shù)列，得每一項(xiàng)為8，
則log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32.
結(jié)合選項(xiàng)可知只有C符合要求．
答案 (1)D (2)C
思維升華 特例法具有簡化運(yùn)算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，但用特例法解選擇題時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：
第一，取特例盡可能簡單，有利于計(jì)算和推理；
第二，若在不同的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解．
跟蹤演練2 (1)已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A＝60，＋＝2m，則m的值為( )
A. B.
C．1 D.
(2)如圖，在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動(dòng)點(diǎn)P、Q滿足A1P＝BQ，過P、Q、C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為( )
A．3∶1 B．2∶1
C．4∶1 D.∶1
答案 (1)A (2)B
解析 (1)如圖，當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，A＝B＝C＝60，取D為BC的中點(diǎn)，
＝，則有＋＝2m，
∴(＋)＝2m，
∴2＝m，
∴m＝，故選A.
(2)將P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時(shí)仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，
則有故選B.
方法三 排除法
排除法就是充分運(yùn)用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個(gè)正確選擇項(xiàng)這一信息，從選擇項(xiàng)入手，根據(jù)題設(shè)條件與各選擇項(xiàng)的關(guān)系，通過分析、推理、計(jì)算、判斷，對(duì)選擇項(xiàng)進(jìn)行排除，將其中與題設(shè)矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除，從而獲得正確結(jié)論的方法．
一般選擇支與題干或常識(shí)矛盾，選擇支互相矛盾時(shí)用排除法．
例3 (1)(2015課標(biāo)全國Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖．以下結(jié)論不正確的是( )
A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效
C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢
D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)
(2)已知函數(shù)f(x)＝x(1＋a|x|)．設(shè)關(guān)于x的不等式f(x＋a)
0，排除C，所以選擇A.
答案 (1)D (2)A
思維升華 排除法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題．當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí)，先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項(xiàng)的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案．
跟蹤演練3 (1)設(shè)函數(shù)若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
(2)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，若將其圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的圖象( )
A．關(guān)于直線x＝對(duì)稱 B．關(guān)于直線x＝對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱
答案 (1)C (2)B
解析 (1)取a＝2驗(yàn)證滿足題意，排除A、D，取a＝－2驗(yàn)證不滿足題意，排除B.∴正確選項(xiàng)為C.
(2)∵f(x)的最小正周期為π，∴＝π，ω＝2，
∴f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到g(x)＝sin[2(x－)＋φ]＝sin(2x－＋φ)的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|<，∴|＋kπ|<，∴k＝－1，φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)，當(dāng)x＝時(shí)，2x－＝－，∴A，C錯(cuò)誤，當(dāng)x＝時(shí)，2x－＝，∴B正確，D錯(cuò)誤．
方法四 數(shù)形結(jié)合法
根據(jù)命題條件中的函數(shù)關(guān)系或幾何意義，作出函數(shù)的圖象或幾何圖形，將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、判斷單調(diào)性、求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來，利用圖象的直觀性，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到解決，這種方法稱為數(shù)形結(jié)合法．
例4 若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)y＝f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(注：點(diǎn)對(duì)[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”)．已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有( )
A．0對(duì) B．1對(duì)
C．2對(duì) D．3對(duì)
解析 根據(jù)題意，將函數(shù)f(x)＝－x2－4x(x≤0)的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為y＝x2－4x(x≥0)，再作出函數(shù)y＝log2x(x>0)的圖象，如圖所示．由題意，知函數(shù)y＝x2－4x(x>0)的圖象與函數(shù)f(x)＝log2x(x>0)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為“友好點(diǎn)對(duì)”的對(duì)數(shù)．由圖可知它們的圖象交點(diǎn)有2個(gè)，所以此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有2對(duì)．
答案 C
思維升華 數(shù)形結(jié)合法是依靠圖形的直觀性進(jìn)行分析的，用這種方法解題比直接計(jì)算求解更能抓住問題的實(shí)質(zhì)，并能迅速地得到結(jié)果．使用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)一定要準(zhǔn)確把握?qǐng)D形、圖象的性質(zhì)，否則會(huì)因?yàn)殄e(cuò)誤的圖形、圖象得到錯(cuò)誤的結(jié)論．
跟蹤演練4 (1)已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為( )
A．60 B．90
C．120 D．150
(2)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
答案 (1)B (2)D
解析 (1)如圖，因?yàn)椤碼，b〉＝120，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC與CO的夾角為90，即a與c的夾角為90.
(2)函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖所示．
①當(dāng)a＝0時(shí)，|f(x)|≥ax顯然成立．
②當(dāng)a>0時(shí)，只需在x>0時(shí)，ln(x＋1)≥ax成立．比較對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長速度．顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③當(dāng)a<0時(shí)，只需x<0，x2－2x≥ax成立，即a≥x－2成立，∴a≥－2.
綜上所述：－2≤a≤0.故選D.
方法五 構(gòu)造法
構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法，依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?，?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法．
例5 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，則有( )
A．e2 018f(－2 018)e2 018f(0)
B．e2 018f(－2 018)f(0)，f(2 018)>e2 018f(0)
D．e2 018f(－2 018)>f(0)，f(2 018)f′(x)，并且ex>0，
所以g′(x)<0，
故函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減，
所以g(－2 018)>g(0)，g(2 018)f(0)，f(0)，
f(2 018)0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，給出下列五個(gè)命題：
①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直；
②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等；
③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180；
④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分；
⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 (1)A (2)B
解析 (1)因?yàn)閒(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.當(dāng)x≠0時(shí)，令g(x)＝，則g(x)為偶函數(shù)，且g(1)＝g(－1)＝0.則當(dāng)x＞0時(shí)，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)．所以在(0，＋∞)上，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞g(1)＝0?＞0?f(x)＞0；在(－∞，0)上，當(dāng)x＜－1時(shí)，g(x)＜g(－1)＝0?＜0?f(x)＞0.綜上，得使f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0,1)，選A.
(2)構(gòu)造長方體，使三組對(duì)棱恰好是長方體的三組平行面中異面的對(duì)角線，在此背景下，長方體的長、寬、高分別為x、y、z.
對(duì)于①，需要滿足x＝y(tǒng)＝z，才能成立；
因?yàn)楦鱾€(gè)面都是全等的三角形(由對(duì)棱相等易證)，則四面體的同一頂點(diǎn)處對(duì)應(yīng)三個(gè)角之和一定恒等于180，故②成立，③顯然不成立；
對(duì)于④，由長方體相對(duì)面的中心連線相互垂直平分判斷④成立；
從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長恰好分別等于各個(gè)面的三角形的三邊長，⑤顯然成立．故正確命題有②④⑤.
方法六 估算法
由于選擇題提供了唯一正確的選項(xiàng)，解答又無需過程，因此，有些題目不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，只需對(duì)其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，便能作出正確的判斷，這就是估算法．估算法往往可以減少運(yùn)算量，但是加強(qiáng)了思維的層次．
例6 (1)圖中陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0≤h≤H)，則該函數(shù)的大致圖象是( )
(2)已知三棱錐S—ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)由題圖知，隨著h的增大，陰影部分的面積S逐漸減小，且減小得越來越慢，結(jié)合選項(xiàng)可知選B.
(2)容易得到△ABC的面積為，而三棱錐的高一定小于球的直徑2，所以V<2＝，立即排除B、C、D，答案選A.
答案 (1)B (2)A
思維升華 估算法一般包括范圍估算，極端值估算和推理估算．當(dāng)題目從正面解析比較麻煩，特值法又無法確定正確的選項(xiàng)時(shí)(如難度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖象的變化等問題)常用此種方法確定選項(xiàng)．
跟蹤演練6 (1)已知x1是方程x＋lg x＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，則x1＋x2等于( )
A．6 B．3
C．2 D．1
(2)(2015湖北)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則( )
A．p1
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