《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第20練 關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第20練 關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型 文（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第20練　關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型 [題型分析高考展望]　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是平面向量的一種重要運(yùn)算，應(yīng)用十分廣泛，對(duì)向量本身，通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算可以解決位置關(guān)系的判定、夾角、模等問(wèn)題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問(wèn)題，因此是高考必考內(nèi)容，題型有選擇題、填空題，也在解答題中出現(xiàn)，常與其他知識(shí)結(jié)合，進(jìn)行綜合考查． 體驗(yàn)高考 1．(2015山東)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60 ，則等于(　　) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 答案　D 解析　如圖所示， 由題意，得BC＝a， CD＝a，∠BCD＝120. BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos 120 ＝a2＋a2－2aa＝3a2， ∴BD＝a.∴ ＝||||cos 30＝a2＝a2. 2．(2015重慶)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D．π 答案　A 解析　由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)(3a＋2b)＝0，即3a2－ab－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，設(shè)〈a，b〉＝θ， 即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0， ∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0， ∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 3．(2015陜西)對(duì)任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是(　　) A．|ab|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 答案　B 解析　對(duì)于A，由|ab|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；對(duì)于B，當(dāng)a，b均為非零向量且方向相反時(shí)不成立；對(duì)于C、D容易判斷恒成立．故選B. 4．(2016課標(biāo)全國(guó)乙)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. 答案?。? 解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m1＋12＝0，得m＝－2. 5．(2016上海)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1,0)，B(0，－1)，P是曲線y＝上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是________． 答案　[0,1＋] 解析　由題意知y＝表示以原點(diǎn)為圓心， 半徑為1的上半圓． 設(shè)P(cos α，sin α)，α∈[0，π]，＝(1,1)， ＝(cos α，sin α＋1) 所以＝cos α＋sin α＋1 ＝sin(α＋)＋1∈[0,1＋] 的范圍為[0,1＋]． 高考必會(huì)題型 題型一　平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算 例1　(1)(2015四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點(diǎn)M，N滿足＝3，＝2，則等于(　　) A．20 B. 15 C．9 D．6 (2)(2015福建)已知⊥，||＝，||＝t，若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且＝＋，則的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)＝＋，＝－ ＝－＋， ∴＝(4＋3)(4－3) ＝(162－92)＝(1662－942)＝9， 故選C. (2)建立如圖所示坐標(biāo)系，則 B，C(0，t)，＝， ＝(0，t)， ＝＋＝t＋ (0，t)＝(1,4)， ∴P(1,4)，＝(－1，t－4) ＝17－≤17－2＝13，故選A. 點(diǎn)評(píng)　(1)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長(zhǎng)度和夾角，二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來(lái)選擇．注意兩向量a，b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a，b的乘積寫(xiě)法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“”． (2)向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問(wèn)題：ab＝0時(shí)得不到a＝0或b＝0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2＝a2，但|ab|≤|a||b|. 變式訓(xùn)練1　在△ABC中，AD⊥AB，＝2，||＝1，則等于(　　) A．2 B. C. D. 答案　A 解析　在△ABC中，＝2， 所以＝(＋) ＝(＋2)， 又因?yàn)椋剑? 所以＝[(1－2)＋2] ＝(1－2)＋2 ＝(1－2)＋22， 因?yàn)锳D⊥AB，所以⊥，所以＝0， 所以＝(1－2)0＋21＝2，故選A. 題型二　利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 例2　(1)設(shè)a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成．若x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4的所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D．0 (2)已知向量a，b滿足|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6abx＋5在R上單調(diào)遞減，則向量a，b的夾角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)設(shè)a與b的夾角為θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成，記S＝(xiyi)，則S有以下三種情況： ①S＝2a2＋2b2；②S＝4ab；③S＝|a|2＋2ab＋|b|2. ∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cos θ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cos θ. 易知②最小，即8|a|2cos θ＝4|a|2，∴cos θ＝， 又0≤θ≤π，∴θ＝，故選B. (2)設(shè)向量a，b的夾角為θ，因?yàn)閒(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6abx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6ab，又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4(－6)(6ab)≤0，解得ab≤－|a|2，因?yàn)閍b＝|a||b|cos θ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cos θ＝|a|2cos θ≤－|a|2，解得cos θ≤－，因?yàn)棣取蔥0，π]，所以向量a，b的夾角θ的取值范圍是，故選D. 點(diǎn)評(píng)　求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律．(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)，兩向量的夾角為鈍角． 變式訓(xùn)練2　若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 答案　C 解析　設(shè)a與b的夾角為θ， 由題意得|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，可得2ab＋b2＝2|a||b|cos θ＋b2＝2|a||a|cos θ＋|a|2＝0，解得cos θ＝－，因?yàn)?≤θ≤180，所以θ＝120，故選C. 題型三　利用數(shù)量積求向量的模 例3　(1)已知向量a，b的夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝____________. (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為_(kāi)_______． 答案　(1)3　(2)5 解析　(1)由|2a－b|＝，則|2a－b|2＝10，及4a2－4ab＋b2＝10，又向量a，b的夾角為45，且|a|＝1，所以41－41|b|cos ＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3. (2)方法一　以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝x. ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)， ∴＋3＝(5,3a－4x)， |＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25， ∴|＋3|的最小值為5. 方法二　設(shè)＝x(0＜x＜1)， ∴＝(1－x)，＝－＝－x， ＝＋＝(1－x)＋， ∴＋3＝＋(3－4x)， |＋3|2＝2＋2(3－4x)＋(3－4x)2＝25＋(3－4x)22≥25， ∴|＋3|的最小值為5. 點(diǎn)評(píng)　(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解． (2)向量不放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問(wèn)題的方法是利用向量的運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|＝. 變式訓(xùn)練3　已知向量a，b，c滿足|a|＝4，|b|＝2，a與b的夾角為，(c－a)(c－a)＝－1，則|c－a|的最大值為(　　) A.＋ B.＋1 C. D.＋1 答案　D 解析　在平面直角坐標(biāo)系中，取B(2，0)，A(2，2)，則＝a，＝b，設(shè)c＝＝(x，y)， 則(c－a)(c－b)＝(x－2，y－2)(x－2，y) ＝(x－2)2＋y(y－2)＝－1， 即(x－2)2＋(y－)2＝1， 所以點(diǎn)C(x，y)在以D(2，)為圓心，1為半徑的圓上，|c－a|＝， 最大值為|AD|＋1＝＋1.故選D. 高考題型精練 1．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　由題四邊形ABCD的邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EF平行于BD，則＝＝11cos 120＝－. 2．(2016課標(biāo)全國(guó)丙)已知向量＝，＝，則∠ABC等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．120 答案　A 解析　||＝1，||＝1， cos∠ABC＝＝. 又∵0≤∠ABC≤180， ∴∠ABC＝30. 3．(2015湖南)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則|＋＋|的最大值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　B 解析　由A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC， ∴AC為圓的直徑， 故＋＝2＝(－4,0)， 設(shè)B(x，y)， 則x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)， 所以＋＋＝(x－6，y)． 故|＋＋|＝，－1≤x≤1， ∴當(dāng)x＝－1時(shí)有最大值＝7， 故選B. 4．已知三點(diǎn)A(－1，－1)、B(3,1)、C(1,4)，則向量在向量方向上的投影為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　＝(－2,3)，＝(－4，－2)，向量在向量方向上的投影為＝＝，故選A. 5．(2015安徽)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)b＝1 D．(4a＋b)⊥ 答案　D 解析　在△ABC中， 由＝－＝2a＋b－2a＝b， 得|b|＝2. 又|a|＝1，所以ab＝|a||b|cos 120＝－1， 所以(4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2 ＝4(－1)＋4＝0， 所以(4a＋b)⊥，故選D. 6．已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a，b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(－∞，) B．(，＋∞) C．(－2，)∪(，＋∞) D．(－∞，－2)∪(－2，) 答案　D 解析　∵a，b的夾角為銳角， ∴ab＝11＋(－2)λ＞0且1(－2)－1λ≠0， ∴λ∈(－∞，－2)∪(－2，)，故選D. 7．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，則向量a和b的夾角是________． 答案　 解析　∵(a＋b)⊥a， ∴(a＋b)a＝a2＋ab＝3＋2cos〈a，b〉＝0， cos〈a，b〉＝－，又0≤〈a，b〉≤π， ∴a和b的夾角為. 8．(2016浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若對(duì)任意單位向量e，均有|ae|＋|be|≤，則ab的最大值是________． 答案　 解析　由已知可得， ≥|ae|＋|be|≥|ae＋be| ＝|(a＋b)e|， 由于上式對(duì)任意單位向量e都成立． ∴≥|a＋b|成立． ∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab ＝12＋22＋2ab. 即6≥5＋2ab， ∴ab≤. 9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60，則||＝________. 答案　 解析　因?yàn)椤?，〉?0， 所以＝||||cos 60 ＝13＝， 又＝(＋)， 所以2＝(＋)2 ＝(2＋2＋2)， 即2＝(1＋3＋9)＝， 所以||＝. 10．(2016湖南衡陽(yáng)八中第六次月考)已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心，AB＝8，AC＝12，A＝.若＝x＋y，則6x＋9y＝________. 答案　5 解析　如圖，設(shè)點(diǎn)O在AB，AC上的射影分別是點(diǎn)D，E，它們分別為AB，AC的中點(diǎn)， 連接OD，OE. 由數(shù)量積的幾何意義， 可得＝||||＝32，＝||||＝72， 依題意有 ＝x2＋y ＝64x＋48y＝32， 即4x＋3y＝2， ＝x＋y2 ＝48x＋144y＝72， 即2x＋6y＝3， 將兩式相加可得6x＋9y＝5. 11．設(shè)a＝(－1,1)，b＝(x,3)，c＝(5，y)，d＝(8,6)，且b∥d，(4a＋d)⊥c. (1)求b和c； (2)求c在a方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b. 解　(1)∵b∥d， ∴6x－24＝0，∴x＝4. ∵4a＋d＝(4,10)，(4a＋d)⊥c， ∴54＋10y＝0，y＝－2， ∴b＝(4,3)，c＝(5，－2)． (2)cos〈a，c〉＝＝＝－， ∴c在a方向上的投影為|c|cos〈a，c〉＝－. (3)∵c＝λ1a＋λ2b， ∴ 解得λ1＝－，λ2＝. 12．(2016黃岡模擬)在△ABC中，AC＝10，過(guò)頂點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，AD＝5，且滿足＝. (1)求|－|； (2)存在實(shí)數(shù)t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝xy，求k的最小值． 解　(1)由＝，且A，B，D三點(diǎn)共線， 可知||＝||. 又AD＝5，所以DB＝11. 在Rt△ADC中， CD2＝AC2－AD2＝75， 在Rt△BDC中， BC2＝DB2＋CD2＝196， 所以BC＝14. 所以|－|＝||＝14. (2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14. 由余弦定理， 得cos A＝＝. 由x＝＋t，y＝t＋， 知k＝xy ＝(＋t)(t＋) ＝t||2＋(t2＋1)＋t||2 ＝256t＋(t2＋1)1610＋100t ＝80t2＋356t＋80. 由二次函數(shù)的圖象，可知該函數(shù)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)t＝1時(shí)，k取得最小值516.